книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

(6.43) позволяют вместе с условием совместности найти явные выражения для р2 и других множителей Лагранжа на характе­ ристике DB. При этом р-2 определяется непосредственно форму­ лой (6.49), в которой вместо kli2 следует подставить

К = ‘ѵ в У в ' , / 2 У [е(нл:' + '0)]в1 (и— ѵх')в ехр | j Udy

Рассмотрим вначале плоское течение (ѵ= 0). Как следует из формулы (6.49), при подходе к оси сверху ц2ф0. Однако, как отмечалось выше, на оси р2 = 0. Чтобы удовлетворить этому ус­ ловию, характеристика второго семейства ND должна быть ли­ нией разрыва множителей рь р2, рз и щ. При осесимметричном течении множитель рг в точке D является непрерывным, однако, производная ду2/ д х ^ 0 вдоль линии HD и д\х2/ д х ~ у_1/2на ли­ нии BD. Это приводит к тому, что характеристика второго се­ мейства ND оказывается линией разрыва множителей Лагран­ жа и при ѵ= 1.

Поскольку на оси о=0 х /= —хг\ то из формулы (6.49) и из

Если і>в = 0, то, как следует из формул (6.49) и (6.50), разры­ ва множителей вдоль характеристики ND не происходит.

Разрыв величин pt, р2, р3 и р4, имеющий место на характери­ стике DN, отражается в точке N вдоль характеристики первого семейства. При этом, как следует из выражений (6.44), (6.47) и (6.48), при отсутствии излома в этой точке

Здесь [a]jv — разность значений множителя Лагранжа а на стен­ ке слева и справа от точки N. При этом в соотношении для ва­ риации 6/ появляется внеинтегральный член [ajjvöxjv.

После выбора множителей Лагранжа выражение для вариа­ ции функционала для любого контура можно записать в виде

ЪІ — {Uikx-\-Uiky)BJ\r '*^ä{V1kx-\-V2k.y)i-\-[a\N 8-Xjv-f

І

197

где 2 — означает, что суммирование ведется по всем точкам из­

лома (приращения их жоординат обозначены через Ах и Ау); N — точка непрерывности в которую приходит характери­

стика второго семейства, являющаяся линией разрыва множи­

телей Ц і, |Л2 , Цз и Р"Ь

первые два интеграла вычисляются вдоль контура AB. Точек типа N может быть несколько; при этом в выражении

ров потока, множителей Лагранжа а, рь р2, Цз, Р4, координат стенки и их производных.

Необходимые условия экстремума функционала I получают­

значение U2 = 0.

Если угловые точки находятся в области z > 0 , то изменения их координат Ах и Ау произвольны и Ѵц= Ѵ2і = 0.

Если же в рассматриваемой точке излома z = 0, то допустимо

[a]jv= 0, что, как следует из второго соотношения (6.51), эквива­ лентно У С Л О В И Ю [р2]2дг = 0.

Контур сопла, для которого выполнены все выписанные не­ обходимые условия, является экстремальным; при этом экстре­

198

теристика DiNi. Этот процесс повторяется до тех пор, пока ха­ рактеристика первого семейства, исходящая из угловой точки, не дойдя до оси, встретится с характеристикой второго семейства, исходящей из точки А (или с последней характеристикой пучка, исходящего из точки А).

Таким образом, если замыкающая характеристика попадает на ось, то экстремальное сопло имеет по меньшей мере одну точ­ ку излома контура.

Необходимость наличия угловых точек N, Nі и т. д. (см. рис. 6.6) можно объяснить и следующим образом. Допустим, что кон­ тур сопла не имеет излома в точке N (рис. 6.7). Изменим немно­ го его форму в малой окрестности точки N, как это показано пунктиром. При этом давление на стенке повысится, а затем по­ низится (области пониженного и повышенного давления на рис. 6.7 обозначены соответственно значками «—» и «+ »). Зоны е по­ ниженным и повышенным давлениями, распространяясь вдоль характеристик второго семейства, достигнут оси и отразятся от нее по характеристикам первого семейства, не изменив своих знаков. Вне полос, изображенных на рис. 6.7, изменения давле­ ния имеют более высокий порядок малости. Далее можно пока­ зать, что приращение тяги, вызванное проведенным варьирова­ нием контура в точке N, в первом приближении определяется приращением давления в окрестности точки В. При этом на кон­ цевой участок сопла (рис. 6.7) придет лишь возмущение с поло­ жительным знаком и, следовательно, тяга сопла увеличится. Это означает, что исходный контур не является экстремальным. От­ сюда следует, что точка N должна быть угловой.

Полученный результат нетрудно объяснить и на основе сооб­ ражений общего характера. Действительно, замена одного ин­ тенсивного пучка волн разрежения несколькими менее интенсив­ ными пучками уменьшает отставание частиц и связанные с этим потери.

199

§ 6.4. Заключительные замечания по выбору профиля сопла

Изложенные в этой главе решения вариационных задач хотя и позволяют несколько глубже понять основные принципы про­ филирования сопел для двухфазных потоков, однако, в инженер­ ной практике их использование ограничено как сложностью тре­ бующихся вычислительных работ, так и неполным учетом неко­ торых факторов (последнее, в основном, касается § 6.1 и 6.2).

В отличие от потоков газа, для которых методы профилиро­ вания оптимальных сопел полностью разработаны [43, 135, 161, ПО, 111, 42, 71, 70] для двухфазных потоков подобного типа ре­ комендации отсутствуют. Это объясняется как сложностью проб­ лемы, так и ее многопараметричностью: контур оптимального сопла должен, кроме прочих факторов, зависеть от содержания частиц в газе W и от коэффициентов взаимодействия срі и срг- Поэтому при профилировании сопла для двухфазного потока обычно проводят численные работы по определению потерь изза многофазности, трения, рассеяния, химической неравновесности и т. д. для некоторого семейства контуров сопел и лишь за­ тем выбирают контур, обладающий наименьшими суммарными потерями.

Как показывают расчеты в работе [53], в качестве такого ис­ ходного семейства может быть принято двухпараметрическое се­ мейство сопел с равномерным потоком в выходном сечении, об­ разованное контурами с угловыми точками и промежуточными линиями тока. Профилирование докритической части сопла, как следует из § 6.1 и 6.2, не является специфичным для двухфазных

полидисперсных потоков с жидкими частицами такая форма соп­ ла неприемлема, так как при течениях в соплах с вытянутой околокритической областью происходит интенсификация коагу­ ляции и роста жидких частиц. Кроме того, у таких сопел сущест­ венно большие потери из-за трения. На основании изложенного можно, например, принять дозвуковую сужающуюся часть сопла спрофилированной по дуге окружности радиуса, равного диамет­ ру минимального сечения, с дальнейшим сопряжением этой ок­ ружности (в направлении вверх по потоку) с конусом и затем с окружностью достаточно большого радиуса, заканчивающейся точкой, в которой касательная параллельна оси сопла.

Расширяющаяся околокритическая часть контура сопла в за­

200

представлять собой дугу окружности радиуса, обычно меньшего радиуса скругления сужающейся околокритической части конту­ ра сопла.

В работе [53] представлены результаты серии расчетов пото­ ков в осесимметричных соплах с различными контурами при от­ носительном содержании частиц в смеси около 30% и радиусе скругления в расширяющейся части сопла го, равном 0,4 радиуса минимального сечения. Предполагается, что любой контур, при­ надлежащий исходному двухпараметрическому семейству конту­ ров, может быть аппроксимирован полиномом третьей степени. Два параметра этого полинома подбирают из условий его про­ хождения через заданную конечную точку и касания окружности радиуса го, а два определяют углы наклона контура к оси — Ѳі и Ѳг — в начальной и конечной точках. При проведении расчетов

большой серии расчетов на ЭВМ получены зависимости потерь удельного импульса от углов и найдены оптимальные значения Ѳ ю п т = 25°, 02опт^ 8°. (Полином с такими значениями Ѳі и Ѳг хо­ рошо аппроксимирует один из контуров двухпараметрического

влияние отклонения Ѳг от своего оптимального значения: изме­ нение Ѳг в диапазоне 4—12° приводит к изменению удельного им­ пульса на 0,1 %.

Слабое изменение удельного импульса при значительном от­ клонении контура от оптимального для сверхзвукового двухфаз­ ного течения объясняется противоположным характером влия­ ния этих отклонений на потери из-за двухфазности и из-за рас­ сеяния.

При профилировании сопел для двухфазных потоков следует иметь в виду возможность попадания частиц на стенку. Это яв­ ляется крайне нежелательным, так как с одной стороны сопро­ вождается эрозией стенки, а с другой — приводит к потерям удельного импульса. Величина этих потерь в сверхзвуковой час­ ти сопла определяется в соответствии с формулами (5.55) и (5.56), представленными в конце § 5.3 для случая скольжения частиц вдоль стенки. В случае оседания частиц на стенке потери удельного импульса пропорциональны проекции на ось импуль­

сужающейся части сопла последнюю можно делать конической. Количество частиц заданного размера, выпадающих на стен­ ку в расширяющейся части, уменьшается вдоль сопла, поскольку

траектории частиц, находящихся на большем удалении от линии раздела, пересекаются с линиями тока газа под меньшими уг­ лами.

201

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Альтман Д., Картер Д. М. Процессы расширения. — В кн.: Аэродина­ мика больших скоростей и реактивная техника. Процессы горения. М., Физ-

матгиз, 196ІІ, с. 35—65.

2.Амелин А. Г. Теоретические основы образования тумана при конденса­ ции пара. М., «Химия», 1966, 294 с.

3.Амелин А. Г., Яшке Е. В., Кургин Ю. С. Температура капли в пересы­

щенном паре. — «Коллоидный журнал», 1961, вып. 23, № 6, с. 652—657.

4.Бабуха Г. Л. и др. Экспериментальное исследование устойчивости ка­ пель при соударениях. — Сб. «Теплофизика и теплотехника», Киев, «Наукова думка», 1972, вып. 21, с. 41—44.

5.Бабуха Г. Л., Сменковская П. Т., Шрайбер А. А. Экспериментальное

исследование взаимодействия капель жидкости. — Сб. «Гидромеханика», Ки­ ев, «Наукова думка», 1971, вып. 18, с. 76—79.

6.Бабуха Г. Л., Стернин Л. Е., Шрайбер А. А. Расчет двухфазных потерь

всоплах при наличии коагуляции и дробления капель конденсата. — «Изве­ стия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1974, № 1, с. 175—177.

7.Бабуха Г. Л., Шрайбер А. А. Взаимодействие частиц полидисперсного материала в двухфазных потоках. Киев, «Наукова думка», 1972, 175 с.

8.Бабуха Г. Л., Шрайбер А. А. Влияние соударений частиц полидисперс­ ного материала на движение и межфазовый теплообмен в вертикальном двух­ фазном потоке. — «Журнал прикладной механики и технической физики», 1966, № 4, с. 23—29.

9.Баханов В. П. К обоснованию квазистационарного приближения в тео­ рии кинетики гомогенной конденсации.— «Труды УкрНИГМИ», М., Гидрометеоиздат, 1971, вып. 99, с. 41—20.

10.Баханов В. П. Спонтанная Конденсация водяного пара при течении в сверхзвуковом сопле. — «Труды УкрНИГМИ», М., Гидрометеоиздат, 4972, вып. 118, с. 46—59.

41.Баханов В. П., Буйков М. В. Замкнутая система уравнений двухфаз­

ной газодинамики при наличии химических реакций и квазистационаряой го­ могенной конденсации. — «Труды УкрНИГМИ», М., Гидрометеоиздат, 1971, вып. 99, с. 21—24.

12.Баханов В. П., Буйков М. В. Кинетика спонтанной квазистационарной конденсации пересыщенного пара в камере Вильсона. — «Коллоидный жур­ нал», 1967, вып. 2Э, № 6, с, 779—785.

13.Баханов В. П., Буйков М. В. Кинетика спонтанной квазистационарной конденсации пересыщенного пара в камере Вильсона. — «Коллоидный жур­ нал», 1970, вып. 32, № 5, с. 654—661.

14.Баханов В. П., Буйков М. В. Кинетика спонтанной конденсации в ка­ мере Вильсона. — «Труды шестой межвузовской конференции по вопросам ис­ парения, горения и газовой динамики дисперсных систем» (Одесса), Изд-во Киевского университета, 1966, с. 18.

15.Баханов В. П., Буйков М. В. Об учете трансляционных и вращатель­

ных степеней свободы при вычислении работы образования зародыша в тео-

203

рии нуклеации. — «Украинский физический журнал», Киев, «Наукова думка»,

ской капли в газовом потоке. — «Журнал прикладной механики и техниче­

ской физики», 1962, № 1, с. 85—92.

« - 20. Браун Б. Запаздывание скорости частиц в металлизированных топли­ вах. —• В кн.: Детонация и двухфазное течение, М., «Мир», 1966, с. 202—243.

21.Бухман С. В. Экспериментальное исследование распада капель. — «Вестник АН Каз. ССР», 1954, № 11, с. 80—87.

22.Ван Де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М., ИЛ, 1961,

536с.

23.Варвинг, Мэзон. Исследование конденсации в профилированных соп­

X.Драйдена и Т. Кармана. М. ИЛ, 1961, т. 3, с. 254—367.

25.Вегенер П. П. Явление конденсации в соплах. — В кн.: Гетерогенное горение. М., «Мир», 1967, с. 477—498.

26.Верещака Л. П., Крайко А. Н., Стернин Л. Е. Метод характеристик для расчета сверхзвуковых течений газа с инородными частицами в плоских и

осесимметричных соплах — «Вычислительный центр АН СССР. Сообщения по прикладной математике». М., 1969, вып. I, 46 с.

27.Верещака Л. П. и др. Результаты расчета методом характеристик те­ чения газа с частицами в осесимметричных соплах и сравнение с результата­ ми одномерного приближения. — «Известия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, № 3, с. 123—128.

28.Верещака Л. П., Крайко А. Н., Стернин Л. Е. Сеточно-характеристи­ ческий метод расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых двухфазных течений. — Сб. «Лопаточные машины и струйные аппараты». М., «Машино­ строение», 4972, № 6, с. 163—178.

29.Волынский М. С. Изучение дробления капель в газовом потоке. — «ДАН СССР», 1349, 18, № 2, с. 237.

30.Волынский 1W. С., Липатов А. С. Деформация и дробление капель в потоке газа. — «Инженерно-физический журнал». Минск, «Наука и техника», 1970, вып. 18, № 5, с. 838—843.

31.Галюн Н. С., Крайко А. Н. К расчету неравновесных течений. — «Из­ вестия АН СССР. Механика и машиностроение», 1964, № 6, с. 44—47.

32.Гильберт, Олпорт, Данлэп. Динамика, двухфазных течений в ракетных

соплах. — «Ракетная техника», 1962, № 12, с. 108— ПО.

33. Глауц. Смешанное дозвуковое и сверхзвуковое течение газа с тверды­ ми частицами. — «Ракетная техника», 4962, № 15, с. 147—148.

34. Гленн. Повторная конденсация при истечении в вакуум смеси пара и жидких частиц. — «Ракетная техника и космонавтика», 1969, № 4, с. 24—29.

35. Гойн, Лоуренс. Лобовое сопротивление сфер при числах Рейнольдса

от 200 до 10000. — «Ракетная техника и космонавтика», 1968, № 5, с. 247—249. 36. Головин А. М. К теории колебаний и дробления капли в газовом по­ токе при наличии вихревого движения внутри капли. — «Известия АН СССР,

Серия геофизическая», 1964, № 7, с. 1084—1092.

37. Горбачев С. В., Никифорова В. М. О верхнем пределе устойчивости капель при их соударении. — «Журнал геофизики», 4935, вып. 2, № 5, с. 237— 246.

204

38.Горбис 3. Р. Теплообмен дисперсных сквозных потоков. М.—Л., «Энер­ гия», 1964, 296 с.

39.Гоффман, Томпсон. Обобщенный метод определения оптимального

контура сопла в случае двухфазных потоков. — «Вопросы ракетной техники», М„ «Мир», 1967, № 3, с. 46—63.

40.Грин X,. Лейн В. Аэрозоли — пыли, дымы и туманы. Л., «Химия», 1972, 428 с.

41.Гришин С. Д., Тишин А. П., Хайрутдинов Р. И. Неравновесное двух­

фазное течение в сопле Лаваля с коагуляцией частиц полидисперсного кон­ денсата. — «Известия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1969, № 2, с. 1112— 117.

42. Гудерлей К. Г., Армитейдж Д. В. Общий метод определения оптималь­ ных сверхзвуковых ракетных сопел. — Сб. «Механика». М., ИЛ, 1963, № 6, с. 85—101.

43.Гудерлей, Хантш. Наилучшие формы сверхзвуковых осесимметричных реактивных сопел. — Сб. «Механика», 1956, вып. 38, № 4, с. 53—69.

44.Давыдов Л. М. Исследование неравновесной конденсации в сверхзву­ ковых соплах и струях. — «Известия АН СССР, Механика жидкости и газа», 1971, № 3, с. 66—73.

45.Даум, Джайармати. Конденсация воздуха и азота в гиперзвуковых

аэродинамических трубах. — «Ракетная техника и космонавтика», 1968, № 3, с. 94—103.

46.Де Брейн И. Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961, 247 с.

47.Дейч М. Е. и Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М.,

«Энергия», 1968, 423 с.

48.Дженкинс, Хогланд. Обобщенная теория роста частиц в камере сгора­ ния и сопле ракетного двигателя. — «Вопросы ракетной техники», М., «Мир», 1970, № 2, с. ЗЭ—52.

49.Доббинс. Измерение среднего размера твердых частиц в газовом пото­ ке. — «Ракетная техника и космонавтика», 1963, № 8, с. 221—223.

50.Доббинс и др. Измерение средних размеров частиц струи по дифрак­

ционному рассеянию света. —• «Ракетная техника и космонавтика», 1963, № 8. с. 157— 162.

51.Доббинс и Стрэнд. Сравнение результатов двух методов определения размеров частиц А120з в продуктах сгорания небольшого ракетного двигате­ ля. — «Ракетная техника и космонавтика», 1970, № 9, с. 10—18.

52.Доумен, Льюис мл. Радиальное рассеяние твердых частиц в струях, истекающих из сверхзвуковых сопел. — «Ракетная техника и космонавтика», 1965, № 1, с. 250—251.

*53. Дритов Г. В., Тишин А. П. О профилировании сопел, работающих на газе с частицами конденсата. — «Известия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1971, № 1, с. 1170—175.

54.Дритов Г. В., Тишин А. П. Расчет неравновесного течения газа с час­ тицами конденсата в сопле Лаваля. — «Известия АН СССР. Механика жид­ кости и газа», 1969, № 5, с. 36—42.

55.Дунский В. Ф., Никитин Н. В. Распыление жидкости вращающимся диском. — «Инженерно-физический журнал», Минск, «Наука и техника», 1965,

10, № 1, с. 54—60.

56.Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация. — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1942, № 12, вып. 11— 12, с. 525—1538.

57.Ильинский В. А. Адиабатическое истечение аэрозолей. — «Научные труды Сталинградского механического института», 4952, т. 1, с. 199—210.

58.Ильинский В. А. Вступительная статья редактора к русскому изданию. Сб. «Гетерогенное горение», М., «Мир», 1967, с. 5—20.

59.Камзолов В. Н., Маслов Б. Н., Пирумов У. Г. Исследование траекто­ рий частиц в соплах Лаваля. — «Известия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1971, № 5, с. 136—143.

205

60.Камзолов В. Н., Пирумов У. Г. Расчет неравновесных течений в соп­ лах. —«Известия АН СССР. Механика жидкости и газа», 1966, № 6, с. 25—33.

61.Кань Сан-вук. Исследование роста конденсированных частиц в разре­

женных и континуальных средах. — «Ракетная техника и космонавтика», 1967,

№7, с. 91—99.

62.Карлсон. Экспериментальное определение теплового запаздывания при

с. 104—109.

64.Кіацкова О. Н. и др. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверх­ звуковых течений газа методом характеристик. М., — «Вычислительный центр АН СССР», 1961, 60 с.

65.Клигель. Течение смеси газа с частицами в сопле. — «Вопросы ракет­

ной техники», М., «Мир», 1965, № 10, с. 3—29.

66.Клигель Дж., Никерсон Г. Течение смеси газа и твердых частиц в осе­ симметричном сопле. В кн.: Детонация и двухфазное течение. М., «Мир», 1966, с. 183—201.

67.Клячко Л. А. К теории дробления капли потоком газа. —■«Инженер­

но-физический журнал», Минск, «Наука и техника», 1963, № 3, с. 554—557.

68.Корсунов Ю. А., Тишин А. П. Экспериментальное исследование дроб­ ления капель жидкости при низких значениях числа Рейнольдса. — «Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1971, № 2, с. 182—186.

69.Коузов П. А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пы­ лей и измельченных материалов. Л., «Химия», 1971, 279 с.

70.Крайко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных

и равновесных течений. — «Прикладная математика и механика», 1964, вып. 28, № 2, с. 286—295.

телей. — «Ракетная техника и космонавтика», 1966, № 9, с. 243—244.

79.Куртни. Конденсация в соплах. — «Вопросы ракетной техники», 1965,

№11, с. 3—22.

80.Куршаков А. В., Салтанов Г. А., Ткаленко Р. А. Теоретическое и экс­ периментальное исследование конденсации в центрированной волне разреже­

ния.— «Журнал прикладной механики и технической физики», 1971, № 5, с. 117—122.

81. Левин Л. М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей. М., Изд-во АН СССР; 1961, 267 с.

206