книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

степени. Часто под f(r) понимается нормированная функция. Тогда f(r)dr означает относительное (долевое) содержание час­ тиц рассматриваемой фракции и

J f { r ) d r = l ,

О

где 0 и оо условно придаются наибольшим и наименьшим раз­

время как под интегральной функцией распределения частиц понимается

г

J іг) ~ \ f {г) dr.

о

Интегральная функция определяет количество частиц с раз­ мерами от 0 до г или их долю, если функция J (г) нормирована. Функция f(r) обычно имеет максимум, а / (г) — монотонно воз­ растает, начиная изменяться от нуля.

В отечественной и зарубежной литературе для описания ин­ тегральных импульсно-энергетических характеристик полидисперсного потока пользуются средними радиусами частиц, опре­ деляемыми следующим образом. Так, среднеарифметический радиус определяется равенством

f r f { r ) d r

ö

оо

I f (Г) dr

о

среднеквадратичный

'о

среднекубический ■—

о

57

Индекс «О» часто опускается и радиусы обозначаются гt, г2 и г3. Кроме этого, часто используются средний объемно-поверхно­

стный радиус

J г Ч (г) dr

О

Г 3 2 — со

[ г Ч (г) dr

о

среднемассовый (mass mean) радиус

j dm j л3/ (г) dr

оо

имассмедианный (mass median) радиус г1/2, разделяющий мас­ су частиц всех размеров на две равные части,

г1/2

другие способы определения средних радиусов частиц.

Средние диаметры могут быть записаны аналогичным обра­ зом.

Различие между средними радиусами, определенными разны­ ми формулами, является весьма существенным. Рассмотрим вна­

где параметры r0 и lg a являются соответственно математиче­ ским ожиданием и среднеквадратическим отклонением логариф­ мов радиусов частиц.

В таблице 2.1 приведены результаты расчетов средних ради­ усов частиц для нормально-логарифмического закона распреде­ ления.

58

Как видно из этой таблицы, средние размеры частиц сущест­ венно увеличиваются с ростом сг.

При расчетах полидисперсных течений часто бывает полезно знать, можно ли данное течение заменить монодисперсным те­ чением с некоторым эквивалентным радиусом частиц. Естествен­ но, что величина эквивалентного радиуса в первую очередь оп­ ределяется характером задачи, ради решения которой произво­ дится такая замена. При полидисперсном течении в сопле под эквивалентным радиусом (диаметром) частиц понимается такое значение их радиуса (диаметра) в монодисперсном потоке, ко­ торое в одном и том же сопле и при одних и тех же исходных параметрах (давлении, температуре и т. д.) обеспечивает те же значения удельного импульса для обоих потоков. В работе [131] считается, что такой эффективный средний радиус близок к г32 и г30. Рэнни [100] провел теоретический анализ линеаризованно­ го одномерного течения и получил, что для стоксовского течения эквивалентный средний радиус частиц равен гЭкв = г53, а при отк­ лонениях от стоксовского закона эквивалентный радиус меня­ ется вдоль сопла. В работах, описывающих течения с коагуля­ цией [41, 117], и других эквивалентный радиус оказывается рав­ ным г43, определенному у минимального сечения сопла, а при больших запаздываниях — средним между г43 и г32.

Хотя для каждой конкретной задачи эквивалентный радиус заранее точно предсказать трудно, как правило, его принимают равным г43 или находящимся между г43 и г32.

Рассмотрим теперь основные уравнения, определяющие дви­ жение полидисперсных аэрозолей.

Расход частиц с массами от т до m+dm равен dms(т)—msg (т) d т — ws(т) Fdqs(т),

где под g{m) понимается нормированная функция распределе­ ния по расходам фракций.

Пользуясь уравнением расхода газа, из последнего равенства

59

Уравнение движения газа и частиц имеет вид

Чтобы замкнуть систему, следует добавить уравнения расхо­ да газа и состояния, например, в формулах (1.6) и (1.10), а также соотношения, характеризующие ускорение и охлаждение частиц, — уравнения типа (1.3) и (1.5), выполняющиеся для каждой фракции.

Среднемассовые скорость и температура частиц определяют­ ся формулами

,= j w s{m)g{m)dm,

о

оо

Т*=1 Ts{m)g(m)dm;

60

при этом средняя скорость полидисперсной двухфазной среды

w + Wws

™ср = 1+ W

§ 2. 2. Расчет коагуляции методом Эйлера

Введем в рассмотрение отличную от f(r) счетную функцию

отсюда, по определению плотности qs, dQs(m) = m d N (т).

Сопоставляя эти равенства с формулой (2.1), получим

mws (т)

Будем считать движение частиц одномерным, и что при столк­ новениях или касаниях частиц всегда происходит их слияние. Если Ші — масса крупной, медленно движущейся частицы, т — масса частицы меньшего размера, движущейся быстрее, то за время dt столкновение или касание произойдет, если центр ма­ лой частицы будет находиться в цилиндре с площадью основания п[г(т) + г(ші)]2 и длиной образующей | ws(m)—ws(m.i)\dt.

Таким образом, за время dt каждая частица с массой т* встретит

я [r(/n)-|-r(m/)j2|ws(m) — ws(mi) | dtd N (m )

частиц с массой т.

Введем константу коагуляции

k{mh т ) ~ л [r(m)-\-r(ml)f | ws{m) —ws(mi)|,

использование которой позволяет несколько сократить запись соотношений, определяющих коагуляцию.

Частица /И{ за единицу времени испытывает k(m, nii)dN(m) столкновений с частицами т. Поэтому длина ее свободного про­ бега (средний путь между двумя последовательными соударени­ ями частицы Ші с частицами т)

Введем в рассмотрение массовую расходную функцию рас­ пределения d W (піі) уравнением

61

в дальнейшем пределы «О» и «оо» означают, что при интегриро­ вании масса частиц фракции dW(rrii) изменяется от наименьших до наибольших своих значений).

Рассмотрим элемент сопла, заключенный между двумя сече­ ниями X и x + dx. Изменение расходной концентрации частиц гп-і между этими сечениями, связанное со столкновением и слия­ нием частиц т и шг-, равно

Следует отметить, что множитель, стоящий перед квадратны­ ми скобками последнего соотношения, характеризует массу коа­ гулирующих частиц, а выражение, находящееся внутри этих скобок, ■— вероятность столкновений.

Отсюда следует выражение для уменьшения концентрации частиц mi

Следует отметить, что в последних двух формулах и приве­ денных ниже (в данной главе) знак частной производной указы­ вает, что изменение рассматриваемых величин связано

с[коагуляцией.

Впоследнем соотношении, в отличие от [41], коэффициент 1/2 не нужен, так как при интегрировании от 0 до т* масса коагули­ рующих частиц учитывается лишь один раз.

Суммируя последние два соотношения и учитывая, что

d (m , mi)

62

получим

Формула (2.7) характеризует изменение по длине сопла рас­ ходной функции распределения частиц Я(гпі), происходящее вследствие коагуляции частиц различных размеров.

После коагуляции частицы приобретают скорость и темпера­ туру, определяемые скоростями, температурами и массами соу­ даряющихся частиц. При этом частицы одинаковых размеров будут иметь, вообще говоря, различные скорости и температу­ ры. Наличие такого распределения существенно усложнило бы расчеты и поэтому обычно считается, что частицы одинаковых размеров имеют одинаковые скорости и одинаковые температу­ ры, тем более, что, как показывают оценки [41], время релакса­ ции (т. е. время, в течение которого частицы приобретают ско­ рость и температуру, характерные для данной фракции), весьма мало.

Чтобы такое допущение не привело к нарушению законов сохранения количества движения и энергии, необходимо произ­ вести соответствующие корректировки.

Изменение количества движения частиц фракции т г-, прихо­ дящееся на единицу расхода газа, с учетом выражения (2.7) равно

С другой стороны, это же изменение количества движения частиц, пришедших и ушедших из фракции mi, равно

63

X — — [mws(m)Jr (mi— m) ws(mi — m)] dm —

w s (яг,-— яг)

— W'^wdmiglm^ \ k (m h m) к ^ dm .

Приравнивая правые части последних двух равенств, сокра­ щая интегралы с пределами от 0 до оо и разрешая относительно dws(mi)/dx, получим

ті

X \mws(m)-\-{ml — m )w s(mi — т) — mtws(m,-)]dm.

64

Аналогичным образом можно вывести и условие сохранения энергии для фракции т*. Действительно, пусть энергия единицы

массы фракции т* равна Е (mt)= cBTs (ml)-\-wl(ml)/2. Изменение энергии фракции ти приходящееся на единицу расхода газа,

■£-[dW(mi)E{mi)} = Wdmi \^g (mi) ~ Ц ~ +

Соотношения (2.8) и (2.9) позволяют вычислить поправки к скорости и к энергии, обусловленные использованием принятой схемы расчета коагуляции. Эти поправки вычисляются для при­ нятого шага интегрирования Ьх с помощью соотношений

а связь между поправками к энергии и температуре частиц по­ лучит вид

Теперь, вместо соотношений (1.3) и (1.5) для вычисления ус­ корения и охлаждения частицы с массой т* нужно использовать формулы

в которых последние слагаемые определяются из соотношений

(2.8) и (2.10).

Использование соотношений (2.11) обеспечивает выполнение

фракции. Более строгий путь — использование функций распре­ деления по скоростям и температурам для частиц каждой фрак­ ции — сопряжен со значительным усложнением задачи.

Нужно отметить, что данный способ корректировки не явля­ ется единственным. Если, например, время, необходимое для приобретения частицами характерных для них скоростей и тем­ ператур, меньше времени между их столкновениями, то, по-ви­ димому, целесообразнее производить корректировку параметров среды, в которой происходит релаксация частиц, т. е. газа.

Соотношение (2.7), записанное для расходной функции g(m), может быть преобразовано к равенству, содержащему концент­ рацию п ( т ) .

Из выражения (2.6) следует

Заметим, что при дифференцировании выражения (2.6) не учитывается изменение рш по х, так как производная дп(піі)Ідх отражает изменения параметров, происходящие только вследст­ вие коагуляции.

Подставляя сюда dg(m.i)/dх из равенства (2.7) и дт8(т{)/дх из (2.8), после ряда преобразований с использованием условия симметричности функции <р(т), получим

X [2mlw s{ml)— mws(m) — {ml — tn)ws{m, — m)\dm. (2. 12)

66