книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

В результате дифференцирования уравнения (3.35) по g в соответствии с формулой

менты времени. Расчеты были проведены для паров воды при Т—300 К и р«*

«*0,1 МПа. Видно, что равновесное распределение достигается приблизительно за 5 ■10_6 с.

Кантровиц [152] пренебрег членом в правой части уравнения (3.33), обус­ ловленным энергией образования комплексов. В уравнении, выведенном Пробстином (3.34), это равносильно отбрасыванию члена, содержащего Е. В ре­ зультате было получено уравнение

(3.37)

(В отличие от Пробстина Кантровиц приближенно считал, что

Используя формулу суммирования Пуассона и оставляя только основной член, Кантровиц это выражение записал в виде

(3.38)

Эта формула автоматически получается из формулы Пробстина (3.36) при W ’’О и g Kp = r. Из формулы (3.38) следует, что для больших скоростей нуклеации требуется время

т

№D '

Влияние пренебрежения членом, обусловленным энергией образования комплекса, можно оценить, сравнивая полученное решение с решением Проб­ стина. Кантровиц подсчитал, что для достижения 0,1 величины скорости нук­ леации по Пробстину требуется на 50% времени больше. Однако ряд (3.36) намного сложнее формулы (3.32). Сравнение результатов, полученных Куртни, с результатами расчетов по приближенным формулам (3.36) и (3.38) по­ казывает, что в последнем случае промежуток времени задержки приблизи­ тельно на 10% короче, что является вполне приемлемым для оценок.

Вопросам нестационарной нуклеации посвящены также вышедшие недав­ но работы [9] и [13].

§ 3.2. Рост конденсированных частиц и обмен энергией

Формулы для скорости роста капли. Процесс конденсации состоит из процессов нуклеации и роста конденсированных час­ тиц. Разрушение метастабильного состояния системы, обуслов­ ленное возникновением зародышей, не означает, что происходит мгновенный переход в равновесное состояние. Термодинамическое равновесие достигается только после снятия пересыщения и вы­ равнивания температуры окружающей среды и капли. Это про­ исходит в процессе роста конденсированных частиц: нуклеация не снимает пересыщения, так как из-за малого размера зароды­ шей их суммарный объем весьма мал.

В зависимости от соотношения между размером капли (за­ родыша) и длиной свободного пробега молекул газа существуют три режима ее роста — свободномолекулярный (размер капли намного меньше длины свободного пробега молекул), режим со скольжением (размер капли соизмерим с длиной свободного пробега молекул) и континуальный режим роста (радиус капли

98

Формулу для прироста массы капли в единицу времени при свободномолекулярном режиме при этом условии можно запи­ сать в виде

М I

4я/"2ак

У 2яRTs

В области II континуального режима роста перенос молекул пара по направлению к капле обусловлен диффузией. Обозна­ чим через D коэффициент диффузии и будем считать, что он не зависит от расстояния до капли. Поток массы через сферу ради­ уса 2 (рис. 3.6) с центром в точке 0 при росте капли определя­ ется формулой [124]

Мп = 4яz 2D dQ_

d z

Интегрируя это выражение по z от г = г+ Д до бесконечности (индексы, соответствующие бесконечности, опущены) и исполь­ зуя уравнение состояния p = qRT, получим

где используется равенство потоков массы на границе областей

І и II.

Из условия Мі = Мц можно найти неизвестное давление

Если радиус капель мал, то первым слагаемым в круглой скобке уравнения (3.42) можно пренебречь, при этом получим

100

формулу Кнудсена для скорости роста капли в свободномолеку­ лярном режиме

j aK P— /’«о (Ts)

(3. 43)

r ~~QB Ѵ Ш Т

В этом случае скорость роста капли не зависит от ее размера. Если же радиус капли настолько велик, что А<СК то из форму­ лы (3.42) получим

континуального режима

гQaRTrD [p — P - (Ts)\.

Вотличие от предыдущего случая здесь скорость роста об­ ратно пропорциональна радиусу капли.

Формулы для температуры капли. Рассмотрим теперь баланс энергии между каплей и окружающим пространством. Как и в случае массообмена рассмотрим область / вблизи капли, где определяющим является свободномолекулярный режим (толщи­ на этой области А может не совпадать с толщиной, которая вво­ дилась при изучении массообмена, однако, другого обозначение вводить не будем) и область II, где определяющим механизмом передачи тепла является теплопроводность (континуальный ре­ жим). Излучением газа и капли пренебрежем. Если обозначить через / число степеней свободы молекулы, то при соударении с поверхностью она имеет среднюю энергию (j+\)kTd/2l [61]. Энергия всех падающих молекул при соударении с единицей по­ верхности капли определяется выражением

Энергия отраженных молекул равна

(1 ' «к) Pd j 1

Y2nmikTd 2 г’

где Tr —-температура, с которой молекулы отражаются от кап­ ли.

1 Для калорически совершенного газа j = 2 /(к—1), где и — показатель адиабаты.

101

Испаряющиеся молекулы уносят энергию, равную энергии конденсирующихся молекул пара, находящегося в равновесии с каплей,

Если учесть присутствующий инертный газ, то количество энер­ гии, передаваемое инертному газу, равно разности энергий па­ дающих и отраженных молекул. Обозначим параметры инертно­ го газа штрихом, тогда выражение для этой энергии запишется как

Суммируя эти составляющие, получим поток энергии в сво­ бодномолекулярном режиме на единицу поверхности капли

Энергия, уносимая отраженными молекулами, характеризует­ ся коэффициентами аккомодации, которые определяют долю энергии, уносимую от капли или отдаваемую капле. Эти коэффи­ циенты определяются следующим образом

Если Tr=Td, то ß= 0 и энергия молекулы после отражения от поверхности капли не изменяется. Если Tr= Ts, то ß = l и моле­ кула отдает или уносит (в зависимости от соотношения Td^ ,T s) максимальное количество энергии. Таким образом, O ^ ß ^ l ; аналогично изменяется и ß'.'

Поток тепла (см. рис. 3.6) при континуальном режиме тече­

ния определяется уравнением Фурье Q= •—Xy^nz2dT/dz, которое после интегрирования в области II при z— >-оо можно записать в виде

где Q — количество отводимого тепла, а — коэффициент теп­ лопроводности пара.

Подводимая к капле энергия затрачивается на увеличение ее удельной внутренней энергии е (Ts) и поверхностной энергии.

102

Последняя намного меньше энергии конденсации и ею будем пренебрегать. Итак, можно записать

Для роста малых капель уравнение (3.47) упрощается. Сле­ дуя Хиллу [150], пренебрежем вторым слагаемым в левой части (3.47) по сравнению с первым и положим Td = T, ps — poo(Ts), Pd — P- Для малых капель из формулы (3.41) следует

гш_. «к{рѴтТіт— Ps)

ÖBy2nRTs

Учитывая все это, из уравнения (3.47) получим трансцендентное уравнение для определения температуры капли Ts (при отсут­ ствии инертного газа)

Критериальные зависимости при наличии отставаний. Рассмотрим случай, когда между скоростями капель и несущей среды имеется заметная разница, т. е. когда происходит обтекание капли. Использование представленных выше соотношений в данных условиях может привести к заметным ошибкам. Сле­ дует отметить, что задача определения роста капель, когда ее скорость отли­ чается от скорости внешнего потока, пока еще полностью не решена.

Введем числа Нуссельта и Шервуда (диффузионное число Нуссельта), Прандтля и Шмидта (диффузионное число Прандтля).

Как следует из формул (3.39) и (3.46), для диффузионного потока массы

иколичества тепла, отданного каплей среде, при отсутствии внешнего обдува

ипри условиях А—"О, Т , —•Та, ps—*рі

Nu = Sh -+ 2.

Числа Pr и Sc, как показывают расчеты, обычно находятся в пределах

0,7-М ,0.

103

Характер обтекания капель определяется числом Рейнольдса в относи­ тельном движении

Re = 2r I w — ws I рт)—1.

Для оценки влияния обдува на испарение и рост капель обычно пользу­ ются полуэмпирическими критериальными зависимостями [124]

(3.49)

При этом, например, диффузионный поток массы определяется по фор­ муле Фресслинга

М = ÂfRe= 0 ( і + А -/R e ^CSc )■

где выражение, стоящее в скобках, называется «ветровым множителем», так как характеризует увеличение диффузии, обусловленное относительным дви­ жением. Коэффициент А, входящий в эти формулы, по данным тщательно проведенных экспериментов Фресслинга по испарению подвешенных капель [124] равен 0,276, а по теоретическим данным М. Е. Швеца — 0,34. Значения А, полученные большинством других авторов, находятся вблизи 0,3, хотя и имеются результаты, заметно отклоняющиеся от этого значения. Формула Фресслинга хорошо аппроксимирует экспериментальные данные при малых числах Рейнольдса (от 1 до 10), для которых теоретические данные отсутст­ вуют. Следует, однако, отметить, что при числах Рейнольдса, меньших 100, имеется заметное расхождение между данными различных авторов, причем при R e< 10 существует ограниченное количество опытных данных. При R e < l экспериментальное изучение подвешенных капель наталкивается на ряд труд­ ностей. Поэтому при очень малых числах Рейнольдса обычно исследуют сво­ бодные капли.

В заключение приведем эмпирическую формулу Хсу, Сато и Сейджа для несферических осесимметричных капель [124]

Весьма подробно вопросы, связанные с испарением и ростом капель, рассмотрены в работе [124], где дан также обзор литературы по этим вопро­ сам.

По найденным из Соотношений (3.49) и (3.50) значениям чисел Nu и Sh можно определить Тв и рв, соответствующие течению с отставанием.

§ 3.3. Основное кинетическое уравнение для функции распределения частиц по размерам

Введем в рассмотрение функцию распределения частиц по размерам fv(t, х, у, z, г). В общем случае эта функция зависит от пяти переменных: времени, координат и радиуса частиц. Ин­ декс «о» означает, что произведение fvdr определяет количество частиц в единице объема, размеры которых лежат в интервале между г и г A-dr. Согласно этому определению распределенная

104

по объему плотность конденсирующегося вещества определяется выражением

конденсацию пара в движущейся среде, пренебрегая скольжени­ ем частиц относительно газа. Пусть скорость V имеет проекции в декартовой системе координат (х, у, z ), которые обозначим че­ рез (и, V, w). Составим баланс количества частиц в элементар­ ном кубе. Количество частиц, попадающих внутрь куба за про­

f v (t; jc-j-dx; у, z\ r)dra{t\ x-\-dx\ у, z )d y d zd t .

Баланс вдоль оси х равен разности этих выражений, которую пользуясь формулой Тэйлора можно представить в виде

—d x d y dz dr dt.

дх

Аналогичным образом суммарное изменение вдоль осей у и z равно

105

Вследствие роста частицы могут выйти из интервала r+dr. Количество частиц в элементарном кубе, которые входят в рас­

сматриваемый интервал, равно fv(t, х, у, z, r)r(t, х, у, z, г)Х Xdtdxdydz. Количество частиц, выходящих из этого интервала,

определяется выражением fv(t, х, у, z, r + dr)r(t, х, у, z, r+dr) X

Xdtdxdydz. Следовательно, изменение количества частиц в эле­ ментарном кубе в единицу времени, имеющих размер в интерва­ ле г, r+dr, обусловленное конденсацией или испарением, равно

—h!L d td x d y dz dr. dr

Сумма всех этих членов выражает поток частиц за время dt из элементарного куба, что должно повлечь за собой уменьшение количества частиц внутри рассматриваемого объема на вели­ чину

— dxdy dz dr dt.

За зтот же промежуток времени в данном объеме в результате нуклеации образуется следующее количество зародышей

Если воспользоваться уравнением неразрывности для смеси газа и частиц с суммарной плотностью qs

— div V = 0 , dt

то, учитывая выражение (3.52) можно записать основное кине­ тическое уравнение для массовой функции распределения час­ тиц по размерам

Из этого уравнения можно однозначно определить выраже­ ние для прироста конденсирующегося вещества в,единице объ­ ема в единицу времени. В самом деле, следуя работе [120], умно­ жим обе части равенства (3.56) на г" и проинтегрируем по г от

106