книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

жителя Лагранжа р,4. На участке АС множитель р4 определим из условия его непрерывности в точке С

Полученное выражение (6.31) справедливо для любого (экстремального и неэкстремального) контура сопла.

На участке двустороннего экстремума CD вариации 6р произвольны. По­ этому условие, определяющее форму этого участка, имеет вид Л0 = 0.

Поскольку здесь р4 = 0, то из выражения (6.26) получим

Уравнение (6.32) конечное, так как в него не входят производные х" и даже х'. Следовательно, одно оно не позволяет построить решение вариаци­ онной задачи — экстремальный контур, определяемый двумя произвольными параметрами (например, длиной и степенью расширения). Для построения та­ кого контура необходимо введение двух участков краевых экстремумов — на­ чального АС и конечного DB.

Необходимость введения участков краевого экстремума следует, напри­ мер, и из того, что при его отсутствии совокупность параметров, заданных в начальном сечении, и множителей рі, р2 и ц3, определенных интегрированием вдоль контура, должна удовлетворять условию (6.32), чего, вообще говоря, быть не может.

Из соотношения (6.31) следует, что для экстремальйого контура на уча­ стках краевых экстремумов должно выполняться неравенство

187

экстремумов определяет экстремальный контур сопла при известных множи­ телях Лагранжа Ці, |х2 и ц3.

При построении решения необходимо также проверять выполнение соот­

Как показывают расчеты, обычно температурное отставание играет суще­ ственно меньшую роль, чем скоростное. Поэтому оправдана однотемператур­ ная двухскоростная модель течения, согласно которой T = T S, но, вообще го­ воря, хюфш,.

Уравнения, описывающие такое течение, получаются из системы (6.17), если опустить пятое уравнение, в шестом сѵ заменить суммой с* = c p + WcB, а

второе слагаемое, стоящее в круглых скобках, опустить. При этом все преды­ дущие результаты останутся без изменения, если, кроме того, опустить третье уравнение (6.24) а в первых двух положить і7 = ф 2 = с в = (х3 = 0. Теперь ско­

рость звука будет определяться формулой

188

,М2 — 1

•P'4 ---= ----= 0.

УQ W Q W 2

Пользуясь соотношениями (6.17), (6.37) и (6.38), после преобразований получаем справедливое на участке CD выражение и для другого множителя Лагранжа

Подставляя интегралы (6.39) и (6.40) в уравнение (6.38), получим связь между параметрами потока на участке двустороннего экстремума

Интегралы (6.39) и (6.40), дающие в явном виде представление множите­ лей Лагранжа на участке двустороннего экстремума через параметры течения, а также само уравнение (6.41) существенно упрощают решение задачи, так как отпадает необходимость численного интегрирования на участке CD диф­ ференциальных уравнений (6.37) и, кроме того, появляется возможность стро­ ить участок двустороннего экстремума до того, как найдены множители Лаг­ ранжа.

Порядок построения экстремального контура сопла следующий.

От начального сечения, вниз по течению, производим расчет параметров дозвукового течения в коническом (у ' = —к) сужающемся сопле. При этом

189

и (6.29). Значения параметров потока на участках краевых экстремумов, не­ обходимые для определения множителей Лагранжа, запоминаем и интерполи­ руем по результатам интегрирования в направлении течения.

В качестве примера было проведено построение серии экстремальных со­ пел для однотемпературной двухскоростной среды. В начальном сечении было

для W = 3 сплошной и штриховой линиями представлены экстремальные кон­ туры сопел, определенные по изложенной выше методике. Штрих-пунктиром изображен экстремальный контур, построенный по линеаризованной теории (§ 6.1), для Т| = I/2 такой же длины и степени расширения сопла с парамет­ ром g, определяемым по формуле (6.13). Он близок к контуру, построенному для £= І0 . Таким образом, при слабом ограничении, накладываемом на угол, формы экстремальных контуров для линеаризованного и нелинеаризованного потоков оказываются близкими.

190

На рис. 6.4 представлены изменения относительных отставаний вдоль со­ пел для экстремальных контуров, представленных на рис. 6.3, а также для контура, составленного из двух прямых, первая из которых наклонена под уг­

иу

1- W

сопле: w = w s), с двумя типами конических сопел (Рк!Ре). Первый тип кони­ ческих сопел описан выше; такие сопла можно строить для любых значений W, однако, их степень расширения оказывается отличной от степени расши­ рения экстремальных сопел. Второй тип конических сопел строится следую­ щим образом. Наклон сужающейся части принимается равным £=3,68, а рас­ ширяющейся — выбирается из условия совпадения длины и степени расшире­

ния конического сопла с соответствующими параметрами экстремального. Для

W

такие сопла не строились, так как в минимальном сечении

1 + W "

скорости не достигали скорости звука.

191

Анализ представленных в таблице данных свидетельствует, что при выб­ ранных исходных параметрах различие между эффективностями экстремаль­ ных и конических сопел становится заметным лишь при содержании частиц в смеси, достигающем 50%. Это объясняется тем, что при низких содержаниях частиц участок двустороннего экстремума весьма невелик и контур экстре­ мального сопла практически состоит из двух участков краевого экстремума, т. е. из двух прямых линий и, следовательно, близок к коническому соплу.

§ 6.3. Двумерное течение

Вариационная задача в двумерной постановке о выборе наи­ лучшей формы сверхзвуковой части контура сопла для двухфаз­ ных потоков существенно сложнее, чем в одномерной. Ее реше­ ние основывается на общем методе множителей Лагранжа, ко­ торый в обычной газодинамике первыми применили Гудерлей— Армитейдж [42].

Первая попытка решения рассматриваемой задачи была предпринята в работе [39], в которой метод [42] был формально распространен на течения газа с частицами. При этом, как уже указывалось, в работе [39] были утеряны условия на линии, от­ деляющей область чистого газа от области, в которой имеются частицы. Кроме того, исследования проводились лишь для слу­ чая, когда характеристика первого семейства, приходящая в кон­ цевую точку контура сопла, пересекается с последней характе­ ристикой пучка волн разрежения, исходящей из начальной точки варьируемой части контура сопла. Это условие для двух­ фазных и вообще неравновесных потоков может не выполняться. Исследование, лишенное этих недостатков, проведено в работе [75] А. Н. Крайко и А. А. Осиповым. Ниже дано краткое описа­ ние основных моментов' этой работы. Более полное ее изложение выходит за рамки данной книги, так как математический аппа­ рат здесь оказывается весьма громоздким.

Запишем исходную для решения вариационной задачи систе­ му уравнений движения, неразрывности и энергии газа и частиц в виде

192

сверхзвуковой области имеет четыре семейства действительных

<poj — известные функции своих переменных.

При постановке вариационной задачи потребуем, чтобы линия

193

g — область, ограниченная контуром ABDHA.

В отличие от работы [39] здесь в функционал I включен и ин­ теграл по линии раздела А'В', в который входят переменные множители Лагранжа ßj. Необходимость такого включения свя­ зана со следующими обстоятельствами. При варьировании и преобразовании выражения для вариации / используется фор­ мула Гаусса—Остроградского, применение которой требует раз­ биения области g на подобласть непрерывности вариаций Ьи, бп и т. д. Можно показать, что на линиях разрыва производных (а одной из таких линий и является линия А'В') вариации пара­ метров потока претерпевают скачок. В итоге в/выражении для 6/ появляется интеграл вдоль линии А'В', содержащий ва­ риации с двухісторон от указанной линии. Выразим вариацию любого из параметров газа под линией А'В' через аналогичную вариацию над линией А'В' и произведение разности производ­ ных на смещение линии раздела Ах при фиксированном у с по­ мощью формулы типа

где индекс «+ » («—») приписан параметрам над (под) линией раздела. Пользуясь затем непрерывностью производных вдоль

194

линии A'B' и привлекая уравнения движения, можно показать, что в выражении для б/ коэффициент при Ах будет пропорцио­ нален скачку свободных членов указанных,- уравнений, т. е. плот­ ности частиц ps_ > 0 . Выбор множителей ß,-, включающих уравне­ ния движения частиц, которые выполняются на .линии A'B', яв­ ляющейся линией тока частиц, как раз и позволяет обратить в нули коэффициенты перед Ах, а также öws, övs и bes на линии A'B'. Требование обращения в нуль коэффициентов при прочих вариациях на линии A'B' приводит к условиям для скачков р* на этой линии.

Контур A B ; может состоять из участков, на которых z = ==£(у)—£(*/)—Я > 0 и, следовательно, вариации х произвольны,

варьировании концов участков, на которых 2 = 0, произвольны

при 2 = 0, а также приращениями координат Ах и Ау точек изло­ ма и точки В. При этом множители Лагранжа р4, рг, Рз и |м определяются двумя дифференциальными уравнениями, выпол­ няющимися вдоль линий тока газа, и двумя дифференциальными уравнениями, выполняющимися вдоль линий Маха первого и второго семейств. Множители р5, р6, Р7 и ре определяются в об­ ласти A'B'DHA' четырьмя дифференциальными уравнениями, выполняющимися вдоль линий тока частиц и граничными усло­ виями на участке DB: р5 = р6 = Р7= р8—0.

Для однозначного определения первых четырех множителей в области g на участке DB получаются три конечных граничных условия, а также по одному условию на линии HD и на стенке AB. Эти условия (вместе с условием совместности на DB) ана­ логичны условиям, необходимым для расчета сверхзвукового по­ тока в канале, ограниченном стенками AB и HD. Условия на стенке DB имеют вид

+ 1*й= °;

(u — vx')pLf QP3 = 0;

(6. 43)

195

Кроме того,на стенке HD jx2 = 0,а на линии AB

Ц2, цз и ц4 терпят разрыв; величины разрывов оказываются про­ порциональными множителям Лагранжа ßu

(6-45)

п- 2

где фik — известные функции параметров течения.

Множители ßft определяются четырьмя дифференциальными уравнениями на линии А'В' и граничными условиями в точке В'

первого и второго семейств). На таких характеристиках, как сле­ дует из дифференциальных уравнений для множителей Лагран­

de

На основании условия совместности характеристик изменение величины разрыва множителя |х2 вдоль характеристики можно представить в виде

где U — известная функция параметров потока и их производ­ ных, а индексы «1» и «2» отвечают характеристикам первого и второго семейств.

Как следует из уравнения (6.44), характеристики первого се­ мейства, приходящие в точки излома контура, являются линиями разрыва множителей Лагранжа ці, ц2, Ц-з и ц4. Соотношения

196