книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Если скорость роста частиц зависит от их радиуса, то к этому уравнению необходимо добавить соотношение для функции рас­ пределения f(x, г) и расчет течения в сопле сведется к решению системы уравнений, одно из которых является интегро-диффе- ренциальным. Если скорость роста не зависит от радиуса капли, то интеграл в правой части уравнения (3.91) будет пропорцио­ нален 0,2. Для определения Q2 есть система обыкновенных диф­ ференциальных уравнений (3.79). Таким образом, в данном слу­ чае решение сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве граничных условий задается зависимость площади поперечного сечения сопла от его длины F(x), а в качестве на­ чальных условий используются заданные значения температуры, давления перед соплом и состава смеси, определяющие постоян­ ные Ьт в уравнениях (3.89).

Для решения представленной системы уравнений необходи­ мо использовать численные методы. Однако и в этом случае ре­ шение затруднено тем обстоятельством, что на каждом шаге ин­ тегрирования необходимо решать сложную систему трансцен­ дентных уравнений (законов действующих масс). Кроме того, в процессе численного интегрирования второго уравнения систе­ мы (3.83) определяется скорость w, по которой из третьего урав­ нения определяется энтальпия і. При сложной зависимости І(Т) температуру по известной энтальпии находим также методом итераций.

Наличие большого числа итераций на каждом шаге интегри­ рования приводит к большим затратам времени счета на ЭВМ. Для устранения этого недостатка основную систему уравнений целесообразно представить в несколько ином виде.

Чтобы устранить трудности, связанные с определением температуры Т по заданной энтальпии, преобразуем исходную систему так, чтобы получить обыкновенное дифференциальное уравнение для Г. Из уравнения (3.90) сле­ дует (для простоты будем считать T = T S)

где как и выше, УѴ+1=5.

Прологарифмируем и затем продифференцируем уравнение (3.88), тогда

N

С другой стороны, из определения а следует, что a = g/gs , откуда

Продифференцируем теперь первое и третье уравнения системы (3.83) и исключим из них и уравнений (3.93) и (3.94) дифференциалы dp, dg, dgs и

117

основании выражения для энтальпии (3.90) и обозначений (3.96) выражение для скорости звука можно записать в виде

Из этого обыкновенного дифференциального уравнения в процессе его числен­ ного интегрирования определяем температуру Т, после чего находим і(Т) по формуле (3.90).

118

В уравнение (3.98) входят производные от массовых концентраций Па, которые определяются из законов действующих масс (3.86) и уравнений сос­ тояния смеси (3.86), записанных в дифференциальной форме

k=i

+d ln F — w ~ 4 (!SAS),

где й г= ( d ] n K (pr)/d\n T) —2 r.

Исключая из полученного" равенства и соотношения (3.98) величину dlnT, придем к системе I уравнений

= 0 (m = 1, 2...... N-—l). (3.100)

d x

Таким образом, решение основной системы уравнений, приведенной в начале этого параграфа, можно упростить, если вместо уравнения сохранения энер­

119

гии использовать обыкновенное дифференциальное уравнение для определе­ ния температуры (3.98), а уравнения законов действующих масс и массовые соотношения заменить уравнениями (3.99) и (3.100).

Для оценки влияния кинетики конденсации на характеристи­ ки сопел обычно проводится сравнение неравновесного течения с предельными режимами течения. Одним из них является случай, когда конденсации не происходит. При этом энтропия газа не изменяется и уравнение (3.91) можно просто заменить условием о.= 1. Систему уравнений при этом можно свести к системе транс-

-цендентных уравнений, заменив диф­ ференциальное уравнение сохране­

ния импульса конечным уравне­ нием — условием постоянства эн­ тропии. По аналогии с процессами, связанными с нарушением термо-

fir^/z-CM

1,510п

10п

Рис. 3.7. Кривые зависимоРис. 3.8. Функция распределения за­ сти температуры потока по родышей по размерам

соплу

динамического равновесия, этот предельный случай соответст­ вует «замороженному» течению.

Другому предельному случаю соответствует течение, когда парциальное давление паров конденсирующейся компоненты в процессе расширения равно давлению насыщения. Это «равно­ весное» течение, при котором энтропия смеси также остается пос­ тоянной. В этом случае уравнение (3.91) можно заменить усло­ вием s = l, а уравнение сохранения импульса— также условием постоянства энтропии. Следует отметить, что замороженное, равновесное и неравновесное течения тождественно совпадают до точки, где достигается насыщение. Вниз по потоку от этой точки замороженное и равновесное течения различаются, а не­ равновесное остается очень близким к замороженному, пока не достигается достаточное для конденсации пересыщение.

Типичные результаты расчетов течения с конденсацией в соп­ лах можно найти в работах, упомянутых во введении. Однако

120

эти результаты относятся к случаю течения паров воды в соплах с малыми степенями расширения. На рис. 3.7 представлено ти­ пичное изменение температуры вдоль сопла при больших степе­ нях расширения. Пунктирная кривая соответствует заморожен­ ному течению, а сплошная кривая 2 — равновесному течению. Различие между кривой 1 для неравновесного течения и кривой 2 после скачка конденсации объясняется неравновесным процес­ сом роста капли.

Для сопел аэродинамических труб наиболее благоприятным является «замороженный» режим течения, при котором в поток не вносится возмущений от скачка конденсации. Для сопел РД наиболее благоприятен равновесный режим течения, так как в этом случае вся теплота, выделяющаяся при конденсации, пере­ дается потоку без запаздывания, а это обеспечивает наибольший удельный импульс.

На рис. 3.8 представлена вычисленная изложенным выше методом функция распределения водяных капель по размерам в двух сечениях сопла с большой степенью расширения. Результа­ ты получены для случая, когда скорость роста капли не зависит от ее размера, поэтому вид ее не изменяется от сечения к сече­ нию.

В заключение отметим роль химических реакций в процессе конденсации. В результате протекания химических реакций в сопле с одной стороны происходит изменение количества паров конденсирующегося вещества (непосредственное участие в реак­ ции) и с другой — изменение температуры потока. Эти факторы могут влиять на пересыщение в разных направлениях. Расчеты показывают, что последний фактор является решающим. Напри­ мер, для химической реакции, протекающей с образованием па­ ров конденсирующейся компоненты (с увеличением пересыще­ ния) и выделением тепла (уменьшением пересыщения в связи с увеличением давления насыщения), конденсация при заморожен­ ных химических реакциях происходит раньше, чем при равновес­ ных.

§ 3.6. Конденсация в плоских и осесимметричных соплах

Остановимся теперь на описании более точного метода расчета течений в сопле, учитывающего изменение параметров в его поперечных сечениях. Так как процесс конденсации представляет собой сочетание нескольких релаксаци­ онных процессов (нуклеация, тепло- и массообмен), то характер течения в значительной степени зависит от того, является ли контур сопла гладким или с точкой излома. В последнем случае течение вблизи угловой точки характе­ ризуется большими градиентами давления и температуры, которые, как прави­ ло, настолько велики, что условие квазистационарности (3.27) перестает вы­ полняться, в то время как в гладких соплах это условие обычно соблюдается для всего течения. В дальнейшем предполагается, что условие квазистацио­ нарности (3.27) соблюдается повсюду за исключением небольших областей, течение в которых не исследуется.

121

генной. Выберем в качестве независимых переменных координату х и функ­

Здесь v = 0 или 1 для плоского и осесимметричного случаев соответственно, а функция тока определяется уравнением

d<\> = Qs y'>(vdx — udy),

которым пользовались при выводе уравнений (3.101). Система из восьми уравнений (3.101) содержит девять неизвестных функций у, и, v, р, р s , q, Т,

где ф = 0 и ф = фо являются линиями тока на стенке и оси соответственно.

два семейства действительных характеристик. Проделывая обычные преобразо­ вания, которые необходимы для получения соотношений на характеристиках (более подробно аналогичные вопросы рассмотрены в следующей главе) и вводя обозначения

и2 + V2

ді / ді \ —1

А = (frlp+ 3QsuZ[Q2)

получим [120]

122

рассмотрим сверхзвуковое течение смеси воздуха и паров воды вблизи угло­ вой точки плоского сопла в области, ограниченной начальной характеристикой

Расчеты, проведенные на ЭВМ, показали, что передний фронт зоны кон­ денсации располагается внутри пучка характеристик, пересекая замыкающую характеристику в точке К, которой соответствует фь~0,4. При переходе через отрезок характеристики 0/С(ф^ф),) производные по х от параметров вдоль линий тока терпят разрыв, причем производная от пересыщения изменяет знак, т. е. передний фронт зоны конденсации располагается вдоль участка за­ мыкающей характеристики ОК, на котором пересыщение достигает макси­ мума.

На рис. 3.10 представлены функции распределения капель по размерам для различных линий тока (все они отнесены к максимальному значению /

при ф=0,1).

Для обоснования метода расчета было проведено сравнение с экспери­ ментальными данными, полученными при исследовании обтекания угловой точки сопла чистым водяным паром [80]. Параметры на начальной характери­ стике ОА были следующими Т =307 К, />=32,8 кПа, М=1,35.

Измерения проводились зондом-иглой в сечениях, параллельных набегаю­ щему потоку, на различных расстояниях от угловой точки. Исследование вол­ нового спектра течения и распределения статического давления, полученных экспериментально, дало возможность выбрать коэффициент конденсации

123

«„ = 0,04 при коэффициенте термической аккомодации ß = l . (При этом имеет место хорошее согласование расчетных и экспериментальных данных '.)

На рис. 3.11 нанесены кривые распределения статического давления вдоль горизонтальных линий у!у*— 0,14; 0,45 и 0,61. Результаты теоретического ис­ следования представлены сплошными линиями. Кружочками нанесены экспе-

риментальные данные. Как видно из рисунка, при удалении от угловой точки наблюдается более сильное увеличение давления в зоне конденсации и шири­ ны этой зоны. Такой характер изменения статического давления обусловлен соотношением между скоростью расширения среды и скоростью подвода теп­ ла, выделяющегося при конденсации. Расширение происходит с уменьшением статического давления, в то время как выделение тепла в сверхзвуковом пото­ ке приводит к его увеличению. С приближением к угловой точке скорость рас­ ширения сильно возрастает, что приводит к сглаживанию кривой распределе­ ния статического давления в зоне скачка конденсации.

Другим примером использования изложенной теории являются расчеты конденсации паров воды в плоских и осесимметричных гладких соплах, про­ веденные в работе [119]. Значения параметров на начальной характеристике в этой работе были приняты равными

Г0 = 400 К, М о= 1,01.

Давление выбиралось из условия насыщения ро=р°°(То), а контур сопла опи­ сан уравнением

(\У-* а

На рис. 3.12 приведена картина течения в осесимметричном сопле с ра­ диусом кривизны в минимальном сечении а = 2. Тонкие линии отвечают харак­ теристикам первого семейства. Сплошная линия 1 соответствует переднему фронту зоны конденсации. Приблизительно на этой же кривой температура газа вдоль линий тока имеет минимум. Вниз по потоку зона конденсации при­ близительно ограничивается кривой 2, где температура достигает максимума (основная часть зоны конденсации заштрихована).

1 Более обоснованный выбор коэффициентов конденсации и термической аккомодации необходимо производить с учетом дисперсности потока.

124

Г л а в а IV

ДВУМЕРНЫЕ И ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ МОНОДНСПЕРСНОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ ОБЪЕМА ЧАСТИЦ

Течениям с учетом объема частиц применительно к рассмат­ риваемым проблемам посвящено сравнительно небольшое коли­ чество работ. Исследование теоретических основ монодисперсных течений с учетом объема частиц дано в работе [73], развитию которой посвящена настоящая глава. В работе [97] рассмотрены равновесное и замороженное течения и показано, что при учете объема частиц уравнения для равновесных течений имеют такой же вид, как и для адиабатических течений газов. Исследовано изменение скорости звука в двухфазных средах и показано нали­ чие ее минимума при весьма большом содержании частиц в га­ зе. В работе [98] рассмотрены течения с постоянными отставани­ ями. Показано, что учет объема частиц здесь не позволяет полу­ чить решения, подобные тем, которые были найдены Клигелем

(см. гл. I).

§ 4.1. Вывод основных уравнений

При выводе основных уравнений воспользуемся теми же до­ пущениями, которые были сформулированы в § 1.1 за исключе­ нием допущений 3, 5 и 9.

Уравнения неразрывности для газа и для частиц идентичны, так как совокупность частиц условно заменяется «газом» частиц.

Если существуют производные dq/dt и dQs/dt, то эти уравне­ ния можно представить в виде

(4.1)

s

126