книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Как следует из соотношения (2.12), при достаточно больших значениях скоростей мелких фракций выражение, стоящее в квадратных скобках, может быть отрицательным, т. е. образо­ вание новых частиц Ші приводит к уменьшению их концентра­ ции п(/Пі). Хотя этот факт на первый взгляд представляется па­ радоксальным, однако, он связан с принятой моделью расчета — усреднением скоростей частиц внутри фракций1.

В реальных случаях, когда не все столкновения приводят к слиянию, когда траектории частиц криволинейны и т. д., необхо­ димо вводить соответствующие корректировки. Более подробно этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе.

Таким образом, при расчете полидисперсного коагулирую­ щего потока газа с жидкими частицами, кроме уравнений (2.2) и (2.3), характеризующих движение среды в целом, необходимо интегрировать Зі дифференциальных уравнений (2.7) и (2.11). Поэтому, проводя расчет коагуляции, например, для 20 фракций [41], приходится численно интегрировать более 60 дифференци­ альных уравнений, что сопряжено со значительной затратой ма­ шинного времени.

§2.3. Расчет коагуляции методом Лагранжа

Несколько проще расчет коагуляции производится методом Лагранжа, основанным на изучении изменений, происходящих с отдельными частицами, а не с заданными фракциями, как это имело место при расчете методом Эйлера.

Рассмотрим частицы радиусом Гі и будем считать, что при столкновениях с более крупными частицами они пропадают.

Уменьшение количества этих частиц в единице объема при переходе от сечения х к сечению х + сіх по аналогии с уравнени­ ем (2.7) равно

определения функции п(т{), а лишь как выражение для последнего сомножи­

зя. С этой целью необходимо использовать приведеінную выше формулу

и определяется следующим образом:

dm-r

Второе слагаемое, стоящее в квадратных скобках, равно ну­ лю, поскольку при данном подходе рассматривается рост фик­ сированных частиц, а при этом дп/дті = 0.

В результате получим [7]

Как следует из выражения (2.6),

g {midmi — miws (mi) n (m^dm-i

W qw

Изменение расхода этой фракции вследствие поглощения частиц с массами mt более крупными частицами равно

dg (mi)_ miWs (mj) дп (mj)

так как у «уцелевших» частиц масса и скорость не изменяются. Увеличение рассматриваемой функции, происходящее из-за соу­ дарений с более мелкими частицами,

68

у

Отсюда, используя выражения (2.13) и (2.14), получим, что полное изменение расходной функции распределения равно

Как и в предыдущем параграфе, скорость и температура час­ тиц после коагуляции должны определяться только массой час­ тицы. Чтобы выполнить это условие, необходимо ввести коррек­ тировки в уравнения движения и энергии.

Условие сохранения количества движения

т.

I" k(m h т) mws(m) п(т) dm —

о

о

позволяет определить поправку к скорости частиц ws(mi), обус­ ловленную данной схемой расчета коагуляции.

Аналогично этому из уравнения сохранения энергии

для простоты обычно производят для ступенчатого распределе­ ния частиц по фракциям. При этом вместо дифференциалов d N (ті) рассматривают конечные величины щ, представляющие собой количества частиц і-х фракций в единице объема.

69

А

i

(2. 18)

где индекс /= 1, 2. . . k придается фракциям, расположенным по возрастанию размеров частиц, ііц — константа коагуляции при взаимодействии і-й и /-й частиц, gi = miniWil(Ц7(ш) .— расходная относительная концентрация і-й фракции. (Поскольку при /= /

(2. 19)

і

выводимыми аналогично (2.16) и (2.17), а Et= cBTt -j- w)j2.

Отметим, что, подставляя в выражение для дТ{/дх значение dWi/dx из предыдущего равенства, получим формулу для дТі/дх, отличающуюся от второго равенства (2. 19) отсутствием последнего слагаемого и заменой разности Ej—Еі выражением

При расчетах реальных процессов взаимодействия частиц необходимо учитывать явления захвата (осаждения), дробления частиц и т. д. Влияние захвата можно учесть умножением кон­ станты коагуляции kn на коэффициент захвата эг;< 1 . Исход же соударений частиц оценивается несколько сложнее. Здесь преж­ де всего необходимо знать распределение частиц, образовавших­ ся в результате дробления (жидких «осколков»), по размерам, а также скорости и температуры этих частиц. Следуя рекоменда­ циям работы [6], будем для простоты считать, что в результате воздействия мелких частиц — снарядов—изменение массы боль­ шой частицы — мишени — определяется коэффициентом эффек-

70

тивности соударений, равным отношению изменения массы ми­

Кроме того, полагается, что размеры и скорости осколков равны соответственно размерам и скоростям снарядов.

Рассмотрим как при этом изменяются системы (2.18) и (2.19). Естественно, что второе уравнение (2.18) принимает вид

Рассмотрим теперь видоизменение системы (2.19) для рас­ сматриваемого случая.

Вне зависимости от исхода соударений изменение в единицу времени количества движения всех мелких частиц rrij, попавших

і=1

осколки с массой т 3- и частицы trij, поглощенные частицей mit движутся с одной и той же скоростью Wi. Кроме того, часть час­ тиц mu являющихся осколками более крупных частиц, получают исходную скорость еще меньшую. Изменение в единицу времени количества движения «,■ частиц т г- равно

й

2 k^tjnjnirrit (1 - Ф1}) (Wj - wt).

i=i

Таким образом, полагая, что суммарное изменение количе­ ства движения всех пгчастиц должно быть скомпенсировано по­ правкой к скорости частиц т г-, получим

71

k

+ЩЩ2 ktJ3!jtlj (1 - Ф , j) (Wj-Wi),

1-1

откуда

Считая, что при дроблении температура осколков совпадает с температурой мишени, аналогичным образом можно записать и

уравнение сохранения энергии

І

ЩЩ ~ d t ~ ni 1 C кііэіітіпі (Еі — Ei) +

+2 klj9ijnj ( 1 - Ф l}XEj—E,),

i- ‘

или, используя (2.23), после преобразований получим

где

В заключение этого параграфа остановимся на несколько обособленном вопросе — исследовании движения газа с тверды­ ми частицами, которые хотя и не коагулируют друг с другом, но при соударениях могут обмениваться импульсом и энергией. Изу­ чение движения твердых частиц является не менее сложной за­ дачей, чем жидких. При соударениях частицы могут разбивать друг друга, отражаться, агломерировать и т. д. При этом без упрощающих предположений проведение расчетов представляет­ ся крайне громоздким. Для существенного упрощения решения примем следующие предположения.

1.Частицы движутся в одном (осевом) направлении и не от­ ражаются при соударениях.

2.Скорость и температура частицы являются только функци­ ями ее размера.

3.Удар считается неупругим и после него на некоторое вре­ мя ударившиеся частички приобретают общую скорость, кото­

72

рая затем плавно изменяется до значения, соответствующего размеру частицы.

4. При соударениях кинетическая энергия перехфдит в тепло

ираспределяется между двумя частицами поровну.

5.Другого обмена теплом между частицами при соударениях нет. При этих условиях функция распределения, количество час­ тиц и их размеры остаются неизменными. Однако при интегри­ ровании дифференциальных уравнений движения частиц и их теплообмена необходимо учитывать поправки к скорости частиц

ик их температуре, обусловленные необходимостью сохранения количества движения и энергии всех частиц.

Условие сохранения количества движения до и после взаимо­ действия позволяет определить скорость двух частиц после соу­ дарения

Отсюда изменение количества движения і-й частицы, обус­ ловленное соударениями со всеми частицами других фракций, равно

й

Щ ~ - = = ^ i ku9ijnj (mlw i:- m iwi)=

k

Пользуясь выражением (2.25), можно вычислить потери ки­ нетической энергии двух взаимодействующих частиц

При неупругом ударе эта энергия преобразуется в тепло, ко­ торое передается обеим частицам и отчасти газу. Распределение тепла между частицами определяется главным образом их мас­ сами и температурами. Однако в соответствии с принятым выше допущением 4 будем условно считать, что это тепло передается только взаимодействующим частицам и двумя равными порция­ ми. Иная схематизация существенно усложняет расчеты. При

73

этом изменение энергии і - й частицы при ее взаимодействии со всеми частицами других фракций будет

Таким образом, при расчете полидисперсного течения в соп­ ле с твердыми частицами без учета их агломерации в отличие от

пользоваться уравнениями (2.26) и (2.28).

§2.4. Определение коэффициентов захвата

идробления

Для выполнения расчетов коагуляции в реальных условиях необходимо знать параметры, определяющие захват, зацепление, дробление частиц и т. д.

Анализ литературы по определению коэффициента захвата, проведенный Н. А. Фуксом [125], показывает, что наиболее досто­ верными являются эмпирические данные Лэнгмюра и Блоджетт.

Из формулы (2.29), в частности, следует, что при некотором значении числа Стокса, называемом критическим Stki,KP = 0,607, коэффициент захвата равен нулю, т. е. при Stkij<Stk,.,Kp сопри­ косновения частиц при вязком течении не происходит.

74

При потенциальном течении в области Stkjj^O.l можно пользоваться также эмпирической формулой Лэнгмюра и Блод­ жетт

Для потенциального течения критическое число Стокса по­ лучено равным 0,0417. Следовательно, коэффициент захвата при потенциальном течении существенно больше, чем при вязком.

Значение критического числа Стокса при потенциальном те­ чении хорошо согласуется с теоретическим значением, равным 1/24, полученным Л. М. Левиным [81] (давшим общий метод рас­ чета критических чисел Стокса при потенциальном обтекании тел различных форм).

Для промежуточной гидродинамической области ряд авторов пользуется интерполяционной формулой Лэнгмюра [7]

которую, однако, нельзя считать достаточно обоснованной [125].

~ гі/ гі) в пределах Дэ=2£-г-3(; и оказывает на коагуляцию срав­ нительно небольшое влияние.

Влияние пограничного слоя на коэффициент захвата сводится к тому, что близкие к телу линии тока отодвигаются от него на расстояние, равное толщине вытеснения б*. В этом смысле влия­ ние пограничного слоя эквивалентно влиянию эффекта зацепле­ ния для частиц с радиусом /y= ö*, но обратно по знаку [125].

Как уже отмечалось во введении, важнейшим вопросом, опре­ деляющим коагуляцию в сопле, является дробление частиц, обусловленное их соударениями при наличии обдува внешним потоком. Однако применительно к течениям в соплах исследова­ ние этих процессов является весьма сложной проблемой. В нас­ тоящее время имеются лишь работы, в которых изучались от­ дельные стороны данного вопроса. Так, Ю. А. Корсуновым и А. П. Тишиным [68] проводились экспериментальные исследова­ ния дробления капель жидкости при их падении в вертикально расположенном сужающемся сопле с числами Рейнольдса 120—• 300 и Маха 0,15—0,30 при работе на гелии и с числами Рейноль­

0,5 с) до значений, при которых происходило дробление. Изме­ нения, происходившие с каплями, регистрировались скоростной киносъемкой и визуально — дробление капли сопровождалось

75

характерной «вспышкой». В качестве жидкости использовались дибутидфталат и трансформаторное масло.

В результате проведенных работ установлено, что при свобод­ ном движении капель в сопле в диапазоне чисел Рейнольдса 120—700 критические числа Вебера находятся в пределах 15— 22. Зависимости WeKp от Re обнаружено не было. Естественно полагать, что при наличии взаимодействия частиц между собой дробление частиц будет происходить при более низких числах Вебера.

Другая сторона рассматриваемой проблемы — исследование исхода соударения частиц при отсутствии внешнего обдува — экспериментально изучалась в работах А. Д. Соловьева [107], где дается обзор работ по соударениям частиц и приводится анализ параметров, определяющих результаты соударений, Г. Л. Бабухой, А. А. Шрайбером и в других работах [4—7].

Результат взаимодействия столкнувшихся капель определя­ ется согласно, например, работе [7] в основном четырьмя безраз­

В работе [7] описана экспериментальная установка, предназ­ наченная для определения исхода взаимодействия частиц при их соударениях. Поток жидких частиц образовывался на конце вращающегося капилляра, истечение из которого происходило под действием центробежных сил. Для упорядочения процесса отрыва капель от капилляра на него накладывались колебания, частота которых подбиралась опытным путем из условия полу­ чения капель (снарядов) почти одинаковых размеров и отры­ вающихся с почти постоянной частотой. На пути снарядов подвешивалась крупная капля той же жидкости (мишень). Ха­ рактер соударений и размер осколков регистрировались скорост­ ной киносъемкой, а масса мишени определялась взвешиванием. В зависимости от положения отрывающейся капли угол встречи частиц при ударе мог быть различным (от 0 до 90°), что приво­ дило к различным результатам. Как показала работа этой уста­ новки, на ней можно было проводить исследования капель лишь весьма маловязких жидкостей. С ростом вязкости затруднялся процесс регуляризации капель [4] и для обеспечения стабильно­ сти рабочей траектории потребовалась отработка специального устройства (стальной нити диаметром 0,2 мм, натянутой перпен­ дикулярно плоскости вращения капилляра на расстоянии 0,1 мм от его кончика в момент прохождения капилляра мимо нити),, снимающего всю жидкость с кончика капилляра. При каждом

76