книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

Однако в ней не были выписаны условия на линии

раздела.

В более полном виде эта же задача решена в работе

[75]. При

этом, наряду с получением условий на линии раздела,

в работе

У (1 + 1 Г ) ( 1 - Х 2 ) ( х ~ 1 ) :

di,

2

укН (к) dk/dy

dy

Т2 (к) x'dy/dX

’

и в соответствий с формулой (1.46)

ру заменено

выражением

(Тц+ У'г), а

условие /7з= 0 — дифференциальная

связь, вводимая с переменным множи­

телем Лагранжа р(у)\ кроме того,

в настоящем параграфе величины Я, Т(к),

Я(Х), х и у соответствуют равновесному потоку,

причем для упрощения за­

писей индекс «е» у этих величин опущен. Здесь и ниже в данном

параграфе

штрих означает дифференцирование по у.

р

d

(

dFz \

п

(6. 3)

F-) —---I [

j , ■] = 0,

а в точке у= уа р = 0 .

dy

di'

При у = У и х = £ = 0 , и, следовательно, бх = б £ = 0 .

хн< х < х а можем

Вследствие произвольности вариации бх на интервале

написать

E i

+

II dF3\ =

0.

(6. 4)

d

j

dy

дх'

дх'

Определим вначале функцию р(г/). Из уравнения расхода, записанного в

виде

1

следует

'* +

1

1

X — 1

Ü L (

2

Г 1*

X + 1

У2

(6. 5)

dy

__ у (I2 — 1)

(6. 6)

d l

~

21Т(1)

'

Принимая во вінимание, что

â/r3/(3^'= 1, подставляя в

выражение

(6. 3)

значение F2 и используя формулу (6.6),

получим

dy

_

П^Д)У^.(1

+ уХ2)

/

2

d l

~

2(1 +

1Г)(х — 1)Х2

и

+ 1/

где ро — давление торможения равновесного потока.

т. е. при у= уа, и

Учитывая краевое условие в концевой точке контура,

интегрируя последнее дифференциальное уравнение, получим

К- [>• («/)]

^РоУУ

Т~ — “Г +

V (>• — *а)

(6. 7>

2 (1 +

W) (* — 1) \х +

1

причем связь между Х н у

определяется равенством (6.5).

Подставим

полученное согласно

выражению

(6.7) значение р в условие

(6.4). После преобразований придем к соотношению

ІН (к) I

d l

у

(6. 8)

П (I)

U *

const.

/

Поскольку допустимая

вариация

бхо^ 0 ,

ра = 0, а величина (dFі/дх')а

положительна,

то, как следует из уравнения (6.2),

вариация бФ^О. Поэтому

наивыгоднейшее сопло имеет длину х—Х.

Интегрируя выражение (6.8), получим

х

х = Х ^ / ІН (I)

[7’ (X)]-irfX

/ Х Я (X) [7-(Х)] -Irfx

(6. 9)

Xн

sWLa*-

X 1

Т(К)

Т (кд) 1

Т (Ха)

(1 + Г )Х (х + 1)

1 (1)- 2х

х„

J

Ха La

(6.

14)

X = XLaL (X) +

8 (Хві -

X) (X - ХНі) ,

(6. 15)

-где

Хн .< ХНі ■< X

ХДі -< Ха ,

б — малая величина, по формуле

(6.15) найти dxjdX,

подставить в форму­

лу

(1.46),

а затем

определить Р, то придем

к формуле,

отличающейся от

формулы

(6.14)

лишь наличием одного слагаемого / = б27,

стоящего в фигур­

ной

скобке. При

этом J — всегда положительная

иррациональная

функция

от ЯН1 и Хаі. Поскольку перед фигурной скобкой

стоит

знак

минус,

а б —

действительное число, то это означает, что отклонение от найденного

конту­

ра в любую сторону ведет к потере тяги. Следовательно,

найденное решение

отвечает максимуму тяги.

Следует отметить, что формула (6.14) получена при условии (1.52) или

(6.13), т. е. при рассмотрении течения во всем сопле. Если

же течение

рас­

сматривается только, например, в расширяющейся части сопла,

то | вместо

условия (1.52) вычисляется по формуле (1.44) и соотношение

(6.14)

видоиз­

меняется.

тодике,

для следующих исходных данных: rj= 1 /2

и >с= 1,2.

Таблица 6.1

Параметры экстремальных сопел

X

УІѴ*

РІРе

Т/Те

wj w e

s WHI + W)

0,2

0,8

0,2

0,8

0,2

0,8

1,1

1,005

0,9977

0,9907

1,0034

1,0134

1,0057

1,0227

2,2

2,264

1,0133

1,0530

1,0133

1,0534

1,0001

1,0003

2,5

4,067

1,0206

1,0822

1,0194

1,0775

0,9988

0,9953

Форма контура, рассчитанного по соотношению (6.10), представленная на

рис. 6.1 (кривая /), весьма своеобразна:

область горловины очень пологая,

а

выходная часть контура наклонена к оси под большим углом.

Для уменьшения угла Ѳа наклона образующей к оси сопла в его выход­

ном сечении в работе [112] был предложен метод введения под интеграл

(в

выражении для тяги) функции влияния

:

Р — 2л j pyf ^y,

Уп

где

зависит от у

и dy/dx и выбирается в результате решения задачи о дви­

жении газа в сопле.

Введение / 0 позволяет уменьшить угол Ѳа, однако, при

/— экстрем альны й контур сопла д л я д в ух ф а зн ы х

течений, /g = 1 ; 2— течение

газа

g

без частиц, I q ~ c o s 2— ; 3 — экстрем альны й контур

сопла д л я д вухф а зн ы х

тече-

* j У с (ур)2/3— 1 dy,

(6.16)

где С — постоянная интегрирования, определяемая условием х = Х при у =

у а-

Зависимость (6.16) графически представлена на рис. 6.1 (кривая 3).

что

Из рассмотрения взаимного расположения кривых 1, 2 и 3 следует,

Li

= QWW' + Qswsw's + p' — 0;

L2 = w 's— f / w s =

0,

Lz = T's — q/ws =

0;

(6. 17)

и/2

2cpT + \V {w^s +

2cBTs) = 2£g;

P =

qRT,

где / = ф 4(йг—) ш3) ;

q=q>2(T—7",),

а штрихом обозначены производные

по х.

Три дифференциальных и четыре конечных уравнения

(6.17) при заданной

форме канала, т. е.

зависимости х = х ( у ) ,

определяют семь неизвестных w, ws,

Т, Та, Q, Qa

И р . Три ИЗ НИХ ----

Q,

p s И W

МОГуТ быть ВЫрЭЖеНЫ Через Та,

Ws , Р

и Г из конечных уравнений, из которых

предварительно

исключена

ордина­

та у:

Р

ew

е = — ;

= w —

RT

w s

I

(6.18)

W= V2E0

■2cpT- ■IT (®2 + 2cBTs).

Подставляя равенства (6.18) в уравнения (6.17) и выполняя преобразова­

ния, получим

У (1 -

М2)

U f

CpT ( w — ws) + \

yeBq

2qw2

p' + W 2WWa

■W 2cpTws

(6.19)

V = _£l

W

-------- [ f ( w — Ws) — cBq],

QCp

CpWs

где число Маха

(M) определено по скорости звука в газе.

Справедливость применения одномерной модели течения обусловлена от­

сутствием резких изменений поперечного сечения, что эквивалентно

наличию

ограничений на угол наклона контура сопла:

l-4 = z — 2у’ У п/т = 0.

(6. 20)

ра сопла сводится к определению девяти

допустимых функций w ( x ) ; w s( x ) ; q ( x ) ;

Qs(x),

T(x); Ts(x)\ p(x)\

z{x)

и

y(x),

'J

удовлетворяющих

восьми

уравнениям

лк

(6. 17)

и (6.20)

(т. е.

восьми

конечным

А 1

и дифференциальным

связям)

и ограни­

к

чениям,

налагаемым

на

z(|z|< & < o o ),

Х а И у а

( Х а < Х ,

y a< Y ) .

При ДЭННЫХ УС­

—

с

V

ЛОВИЯХ

требуется

найти

такие

значения

этих девяти параметров, при которых

обеспечивается

максимальная

величи­

на Р.

связи

в

Рис.

6.2. К построению контура

Введем дифференциальные

функционал, а остальные, сравнительно

экстремального сопла:

простые, могут быть использованы непо­

А С

и D B —краевы е

экстремум ы ;

средственно. При этом функционал пред­

C D —двусторонний

экстремум

ставляется в виде

ха

^

Ф = Р +

j1

2

H L i d x ,

>н

1=1

где pij — множители Лагранжа, зависящие от х.

При составлении

вариации Ф следует учитывать, что контур сопла мо­

множителей Лагранжа в точках излома примем рі+ = рг-_ для і' < 4,

а для р4

на данном этапе допустим возможность его разрыва.

При

составлении вариации

функционала

воспользуемся равенствами

(6.18) и исключим вариации dq, dqs и dw. Кроме

того,

используем

условие,

следующее из первого соотношения

(6.17)

bw

+ 2 '

—

Ьу = 0,

(6. 21)

е3/2да1/2 Т

еѴ2даЗ/2

m

а также тождество

м

I ( х ) а ' (x ) d x

I (xQ) a ’ (xQ) 8x q

+

l (xQ) ba (xQ) +

\

Jü

Lx,

(6. 22)

J

[а'

(лг) Ы— l'b a}dx,

где l(x)

и

a(x) — варьируемые функции,

Q — точка,

в которой

6x^=0, а

6х„ = 0.

Ввиду того, что L{ — 0 ( t= l; 2;

3; 4), внеинтегральные члены в выраже­

нии для 6Ф, отвечающие первым двум слагаемым в формуле

(6.22),

исчезают.

Вследствие введенных выше ограничений на наклон образующей ( |у ' |<

< £ ) контур, как будет показано ниже, состоит

из

трех

участков:

среднего,

где y ' < k , начального, где у ' = —k и конечного,

где y' =

k.

Точки

стыковки

С и D (см. рис. 6.2) являются точками излома образующей.

Итак, первая вариация

8Ф = mbwa + m ß w sa + 2яуа (ра — р+)

+

я у аЪра2

+

+ (МаП (QWbW + Qswsbws +

Ьр)а + Р2a^Wsa +

—

— 2 я у Гя/т [(щ8й)с——(р-4Ъ у ) с +

+ (р4®1/)о—— (р4Ъ у ) о +

+

Р4(filial

+

Т Jt

I (AqSjC?-Г А \ЬТ -р А2Йда^ -Г А3ВГ$ -Г ^S^) d x ,

(6. 23)

где A j(i= 0 ; 1; 2;

3 ) — известные функции параметров течения,

множителей

Лагранжа и их производных; Ауа=

Уа'Аха+ буа — изменение ординаты

кон­

ном X и из изменения у вследствие изменения х при перемещении

последней

точки контура вдоль линии

\ y ' \ = k (при х ^ А ).

Выберем Ці, (Гг и р3 таким образом,

чтобы на всем контуре сопла Лі =

— Лг -

Аз=

0.

После преобразований эти условия примут вид

Р’

W

Г

UpT

Рі =

— Рі + Рі

/ ( w — w s) +

W

Р

СрТw s L

_

Р 2Т1

Р3?2

__

- Q (СрТ +

ау2)

QWWS

QCpWs

(qw)5/2cpT

’

t

t

I Wt- — w

1

\

P2 =

Pi^Q

— ®) + PiW' (-----—-----+ —

J P’ —

[ajW2 (ws — w) Q

_f_

j ® — ®s) f

— cBq

(6. 24)

W's

W

CpT

W

w

1^3"

•+ P‘4^

Ws

nß y/~Q?)

W's

Рз =

^ Q C b p J +

^ P i

cBP

Pi^2cB

CpT [f ( w — ws) — cBq] +

a2

+

, е / 1 ,

W b ,

? 2

,

'

r -----

,

} + P 2 * ^

+ P3

,

+ P

4

W )

W W s

w s

I S L ^ y Q W

где а —- скорость звука.

Для граничных условий в уравнениях (6.24)

примем

Р іа

=

^У^а’

I

(6. 25)

а

== Рза =

0.

После

ряда преобразований,

выполненных

с

учетом

условий

(6.19) и

Л0 в виде

J

(6.24),- получим выражение длям-2

Ап

_Р1

+

СрТ

?l

w f — cBq

— W cp Tws |Ѵ(®—

■P2 QW WS