книги из ГПНТБ / Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах

где E = q/us(des/dTs)~l. *

Плотность частиц qs3 может быть найдена двумя путями: либо пользуясь формулой (5.17)

либо формулой (5.19). В последнем случае в качестве контура у целесообразно принять треугольник с вершинами в точках 1, 2 и 3. Заменяя подынтегральные функции их средними значени­ ями на соответствующих отрезках, получим

Qji [и-зі^у\І4— l1 + ѵ) У \ + 052 (1 + ѵ) іУ2^ 2А-Уіз] us^ y \t'‘ — (1 +Ѵ) ( /> м А^12

(5. 39)

Предпочтительнее пользоваться формулой (5.39), так как в этом случае не требуется выполнять операций по определению %у. (Однако в некоторых случаях, например, когда точка 3 ле­ жит на оси или на границе области, пользоваться этой форму­ лой невозможно). Необходимо также отметить, что определение Qs3 по формуле (5.39) производится с точностью до малых пер­ вого порядка, а по формуле (5.38) — до малых второго порядка (Ij,, определяемое с точностью до малых первого порядка, умно­ жается на малую величину Дх). Однако анализ показывает [26], что при последовательном применении формулы (5.38) ее точ­ ность снижается и в конечном счете опредедлѳние qs обоими ме­ тодами оказывается выполненным примерно с одинаковой точно­ стью.

Определение qs с точностью до малых первого порядка не снижает второго порядка точности вычислительного процесса ос­ тальных параметров, так как qs входит лишь множителем при малых приращениях.

Анализ, проведенный как для двухфазных, так и для хими­ чески неравновесных (см. работы [31 и 60]) потоков показывает, что с ростом фі, ф2 и ps/Q сходимость итераций ухудшается. Для сохранения устойчивости расчета приходится уменьшать разме­ ры характеристического четырехугольника, что приводит к большей затрате машинного времени. Для преодоления этих трудностей, как показано в работе [31], следует коэффициенты, стоящие при приращениях параметров в окрестности искомой точки, разлагать в ряды по приращениям данных параметров. При этом достаточно производить разложения тех коэффициен­ тов или их отдельных элементов, которые наиболее сильно зави­ сят от искомых параметров. Если же проведенная модификация не обеспечивает сходимости итераций, то необходимо произво-

» дить разложение по всем переменным.

157

Так, например, исключая и& из /хз,»входящего в коэффици­ ент при Дхз5 первого уравнения (5.37), получим

соотношения [26]. Как показывают расчеты, выполненные в ра­ боте [26], модификация такого рода существенно улучшает схо­

димость итераций.

Теперь рассмотрим особые случаи расположения точек 1, 2

и 3.

2

Рис. 5.2.

Прежде всего отметим, что для расчета областей, свободных от частиц, не нужно производить специальных рассмотрений, В этих областях ps = 0 и соответствующие члены выпадают авто­ матически.

Точка 1 находится на оси симметрии, а х— 1. В этом случае

Расчет точки 3 можно производить в данном случае и иным образом, пользуясь точкой 1' — зеркальным отражением точки 2' относительно оси симметрии (см. рис. 5.2).

параметры в точке 3 можно заменить параметрами в точке 2'. При ѵ = 0 данный случай не является особым.

нии симметрии, а величины х3 и р3 определяются из первых двух соотношений (5.30), выполняющихся вдоль характеристик вто­

причем условие совместности предварительно умножается на у. Специального рассмотрения требует определение плотности

частиц на линии симметрии.

Заменим в уравнении (5.39) индекс 1 на 5, используя то об­ стоятельство, что точки 5 и 5 лежат на линии симметрии, полу­ чим

Как показали расчеты, эта формула не пригодна для вычис­ ления Qs3, так как множитель при qS5—величина порядка едини­ цы, вследствие чего погрешности вычисления qs5 не затухают.

Применим вторую формулу (5. 21) к отрезкам 2' 2 и 2 3 (рис. 5. 3).

Складывая полученные результаты, находим

159

производной д\\ду принимает вид

Рис. 5.4. Рис. 5.5.

В области, занятой частицами, точка 3 попадает на стенку.

При попадании частиц на стенку (рис. 5.4) возможны случаи полного или частичного поглощения или отражения их стенкой.

тому, как это делается при расчетах сверхзвуковых потоков га­ за методом характеристик. Расчет точки 3 начинается с опреде­ ления х3, причем в первом приближении в правой части выраже­ ния (5.43) вместо х3 подставляем х4. Плотность qs3 определяем из соотношения (5.39), в котором индекс «2» заменен индексом

«4».

В остальном расчет точки 3 не отличается от изложенного для общего случая.

160

Точка 3 находится на границе области, занятой частицами.

Пусть отрезок 5—3 — участок границы (рис. 5.5), отрезок 2—

3 в некоторых случаях можно производить интегрирование урав­

(5.20), записанное в конечно-разностной форме, к отрезку Г —3 ( Г —■точка, близкая к точке 3 характеристики второго семейст­ ва 5—1", в которой все параметры известны), а первое соотноше­ ние (5.30) — к отрезку 2—3, получим два уравнения с двумя не­ известными — лг3 и у3. Разрешая их, найдем

Уз= У2 + (тх)~1Ьх 32-

Для определения функции тока газа воспользуемся третьей формулой (5. 30)

Фз = фі' “Мі'зАі/зг —/гзА-^зі’-

Функцию тока ф; в каждом приближении находим из условия

А (грі) = 0 ,

где

д (ф і)= 1 - т + - ^ 1 .

причем следует иметь в виду, что производные от параметров га­ за на границе терпят разрыв. Поэтому интерполяцию следует производить только с одной стороны от нее.

161

Плотность Qs3 находим по формуле (5.38), причем величину

где D=(fy—%fx)Us~2— производная от | по направлению линии тока частиц.

Применяя формулу (5.44) к отрезкам 5—3, Г —3 и треуголь­ нику 1'—3—5—1' (в последнем случае Д | = 0), складывая полу­ ченные равенства и решая их относительно gy3, получим

^з~[2(Лг/зг — ізЛ-Кзі')]-1 {2(2|3 — %5 — ЕіО + ^ Д -^ г -f-2ZJ>3Длгі-(-

(Д.Ѵ53+ ДЛт'з)-Н</і' [Аг/Бз +Дг/і'з —чі> (Дх53-|-Длгі-3)]

—(-Sy5 (Ді/si' — ^Д^і'))- ■ (5.45)

С помощью соотношения (5.45) можно определить \ у на ли­ нии раздела в точке 3, при этом значения Ѣ,у\ и | У5 полагаем из­ вестными.

При расчете следующей точки границы роль точки 5 будет играть только что найденная точка 3, а значение \ у в новой точ­ ке Г пока еще неизвестно. Для определения этой величины при­ меним равенство (5.44) к треугольнику Г —3—2—Г и к отрезку 2—3 (рис. 5.5). Сложим полученные равенства и решив их отно­ сительно Qs3, ПОЛУЧИМ

^з=[Дг/2з + Дуги — 1з( Д^2з 4" Д^м')]“ 1 {2ДЕ2з_г ^2(Дхз2~ЬД-х:зі') +

-\-ОукХ23-}-03(Дх32-)- ДХі'2)-Н </2 [ДУз2 “}-А#зг—^(Д-^зг + Д-Хзі')] Ң-

Формулы (5.45) и (5.46) обеспечивают затухание вычисли­ тельных погрешностей, допускаемых при определении %у. Отме­ тим также, что расчеты \ ѵ на границе по формуле (5. 45) выпол­ няются в каждом приближении, а определение %ѵ в следующей точке по формуле (5.46) производится только в последнем при­ ближении, так как для предыдущих приближений при определе­ нии параметров в точке 3 величина £у3 не требуется.

Кроме исследованных, возможны также и другие случаи (см. работу [26]), анализ которых выходит за рамки этого раздела; они могут быть рассмотрены аналогичным образом. Отметим в заключение, что пригодность разностных схем не может быть ус­ тановлена из расчета одной точки, а должна быть проверена при расчете конечной области течения, большой по сравнению с раз­ мером характеристической ячейки.

Общая схема решения задачи о расчете сверхзвукового тече­ ния в сопле методом характеристик подобна схеме расчета сверх­ звукового течения в сопле чистого газа [64].

162

Принципиальными отличиями этих задач является необходи­ мость учета для двухфазных потоков соотношений, выполняю­ щихся вдоль линий тока газа и частиц, а также выделения при­ стеночной зоны, свободной от частиц. Последний вопрос более подробно будет изложен ниже.

§ 5. 3. Решение элементарных задач по обратной схеме метода характеристик

Наряду с рассмотренной в предыдущем параграфе прямой схемой метода характеристик широкое распространение нахо­ дит обратная схема этого метода 1*. В такой схеме расчеты тече­ ния в сопле ведутся слоями последовательно от одного сечения x = const к другому, близкому к нему сечению. При этом пола­ гается, что все параметры в предыдущем сечении известны. При­ менение такого метода, который можно называть сеточно-харак­

ся светлыми кружками).

Вначале остановимся на решении элементарных задач, а за­

чениям ф и ф,, в любой точке і — (6, 7, 8 и т. д.), близкой к точке 3, по формулам

1 Этот метод позволяет производить расчеты течений с разрывами, а так­ же определять распределение параметров непосредственно в поперечных сече­ ниях сопел, что удобно для практики.

163

В первом приближении параметры в точках 1, 2 я 3 прини­ маем равными средним арифметическим соответствующих вели­ чин в ближайшей точке известного сечения и в найденной перед этим точке искомого сечения.

После определения уи у2, ф3 и фз3 квадратичной интерполя­ цией по у для точек 1, 2 по ф и ф8 для точек 4 и 5 находятся па­ раметры в точках 1, 2, 4 я 5 известного сечения. Теперь расчет остальных параметров в точке 3 может быть выполнен в соот­ ветствии с рекомендациями предыдущего параграфа для общего случая.

Плотность Qs3 определяется с использованием формулы (5.19), где в первом слагаемом значение у ѵ внесено под знак дифференциала. Применяя эту формулу к треугольнику 6—3—8, производя интегрирование методом трапеций и решая получен­ ное соотношение относительно qs3, приходим к равенству

После определения всех параметров в точке 3 в первом при­ ближении процесс повторяется. Расчеты показывают, что третья и четвертая итерации практически совпадают.

При расчетах прочих параметров в первом приближении ко­ эффициенты в точке 3 полагаются равными полусуммам соответ­ ствующих величин в точках 4 и 6.

Ордината точки 2 равна

У2— — Дх{пгТз)~1.

Параметры в точке 2 определяются квадратичной интерполя­ цией по у.

Давление в точке 3 определяется из второго уравнения (5.30), записанного в конечно-разностном виде вдоль характери­ стики второго семейства (отрезок 2—3), подобно тому, как это было выполнено в аналогичном случае в предыдущем параграфе

Рз~Рг — (Q2 ) \Li C2-f-/?2 У2-\г {К2-\-Б2 ) Дл].

Остальные параметры, кроме qs3, находятся, как и в общем случае.

Для определения qs3 применим формулу (5.19) к треугольни­ ку 4—<3—7. Получим

164

Далее, из второго соотношения (5.21) следует

О А з = - СЛ в + 2 ( 1 + ■V)<he (СзУI+ѵ) 1

Складывая последние два равенства и разрешая найденное соотношение относительно qs3, получим

При расчете по формуле (5.50) обеспечивается затухание вы­ числительных погрешностей. В процессе выполнения итераций «s3 принимается новым для каждого приближения.

В. В области, занятой частицами, точка 3 попадает на стенку.

Как и в предыдущем параграфе, будем считать, что частицы пог­ лощаются стенкой. Пусть контур (рис. 5.8) стенки задан уравне­ нием y= Y(x), тогда

Уъ=у {х*)ш, t 3=K '(jc8).

Далее, ордината точки 1

Уі = Уз~ Д * ( т і +з )- 1 ,

причем в первом приближении полагается m t = m t — ш І . Поль­ зуясь вторым соотношением (5.48) определим функцию тока час­ тиц

1^5 —Ф$3— Фзв'Ь^взДі/зб k ^ \ x .

Параметры в точках / и 5 находим квадратичной интерполя­ цией.

Поскольку Д£зі теперь известно, то давление в точке 5 можно вычислить по формуле, следующей из второго соотношения

(5.30)

/ 73 = / ,i “b(Q i^) 1 [^ізДС31 + /?ізДг/31— (АГі3 + 5 із) Длс].

165

Остальные параметры в точке <3, кроме qs3, определяются обычным путем.

Для определения qs3, применим формулу (5.19) к треугольни­ ку 3—4—6 (см. рис. 5.8) и к четырехугольнику 3—4—6—7. Складывая полученные результаты и решая суммарное выраже­ ние относительно qs3, получим

Величина qS3 уточняется в каждом приближении.

Г. Точка 3 попадает на границу области, занятой частицами.

В этом случае (рис. 5.9) ординату уз, заранее неизвестную, оп­ ределяем в первом приближении формулой 1

Уз — У5 і

а в последующих приближениях — формулой

Здесь коэффициент при £у6 близок к единице, поэтому данная формула не пригодна для определения \ ѵз.

1 При расчете линии раздела в ряде случаев можно применять соотноше­ ние dyjdx=I (и для последующих приближений) при использовании несколь­

ких известных точек на этой линии.

166