книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

170

рис.3.19 представлена схема для случая, когда первая составляю­ щая имеет уравнение первого порядка, а на рис.3.20 - когда

уравнение первой составляющей соответствует второму порядку.

§ 4. О ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Из материалов предыдущего параграфа следует, что для реше­

ния вопроса о возможности выделения первой составляющей для каж­ дой конкретной системы и оценки ошибок в общем случае необходи­

мо знать действительное время запаздывания Zg . В то же время задача выделения первых составляющих, как это следует из § 2 ,

приводит к составлению зависимостей лишь для времени Z [соот­ ношения (3.32) и (3.56[|.

В связи с этим обстоятельства* введем в рассмотрение коэф­

Тогда из соотношений (3.32) и (3.56) получаем следующие два выражения для определения времени Z g соответственно для слу­ чаев, когда первая составляющая имеет уравнение первого и вто­

рого порядков:

Коэффициент времени запаздывания л равен единице, если все звенья с малыми постоянными времени являются апериодиче­ скими. Если среди этих звеньев появляется хотя бы одно колеба­

тельное звено, то коэффициент А становится больше единицы и может изменяться в сравнительно широких пределах, соответствую­ щих примерно диапазону

Правая граница этого диапазона получается в случае, если все звенья с малыми постоянными являются колебательными и имеют оди­

наковый коэффициент затухания

171

ственными в связи с тем, что без учета значений этого коэффи­ циента мохно получить принципиально неправильные значения для

величин "Са и, следовательно, сделать совершенно неправильные вывода о возможности выделения первых составляющих процессов

ивеличинах ошибок этого выделения.

Сдругой стороны, вычисление значений коэффициента д ока­

зывается далеко не простой задачей. Из совместного анализа вы­

ражений для Т (3.12) и Та (3.76) и систем уравнений (ЗЛ) и

ставляющих. Однако известно, что для сложных систем операции оп­ ределения корней требуют большого машинного времени. В связи с

этим с самого начала была поставлена задача составления таких алгоритмов анализа и синтеза систем, которые не требуют опреде­

ления корней. Кроме того, нельзя было бы провести общего иссле­ дования по возможности приближенного разложения процессов для различных систем, в том числе высоких, порядков.

Обойти трудности, связанные с определением корней уравнений, удалось благодаря последовательному применению задачи выделения

первых составляющих к системам третьего, четвертого и более вы­ соких порядков. Такое применение указанной задачи позволило

решить задачу разложения процессов на отдельные составляющие.

В ходе решения этой задачи для каждой последующей (по порядку характеристического уравнения) системы общее уравнение для бы­ стропротекающих составляющих ухе оказывалось разложенным на от­

дельные составляющие. По корням, соответствующим этим состав-

173

определяются сразу по отношению последнего и предпоследнего ко­ эффициентов уравнения наложенного движения (быстропротекающих

составляющих).

Применительно к уравнению (3.1) это легко устанавливается из соотношений (3.6) и (3.7) при первой составляющей первого

порядка и из соотношений (3.9) и (3.10) при первой составляю­ щей второго порядка. Причем этот результат сохраняется независи­ мо от того, в какой форме записано уравнение системы - в фор­ ме (3.1) или в форме (3,27), так как при переходе от уравнения (3.1) к уравнению (3.27) в выражениях для коэффициентов нало­ женного движения получается лишь замена постоянных времени

на постоянные времени Tj .

Таким образом,

(3.95)

и

(3.96)

где i - порядок уравнения первой составляющей.

При рассмотрении методики составления выражений для коэф­ фициента А обратимся сначала к крнкретному примеру. Затем

Предположим,что в (3.97) имеется три составляющих процессов, из которых крайние имеют второй порядок, а промежуточная - первый. Тогда конечная замещающая система уравнений здесь оказывается следующей:

175

§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ДВА СОМНОЖИТЕЛЯ

При решении задачи выделения первой составляющей в § 2 и 3 получены уравнение для первой и общее уравнение для осталь­ ных составляющих процессов. Эти результаты позволяют осущест­

вить приближенное разложение передаточной функции замкнутой системы (I.I) на два сомножителя. Общие выражения этих сомно­

жителей будут получены в данном параграфе. Затем указанные сом­ ножители будут использоваться в следующей главе для полного раз­ ложения передаточной функции замкнутой системы на простейшие сомножители первого и второго порядков.

Задача разложения передаточной функции (I.I) на сомножите­

ли означает, что должно быть осуществлено разложение на свои

сомножители знаменателя и числителя этой функции. Однако для знаменателя такое разложение уже выполнено. Один из основных результатов задачи выделения первых составляющих в этом и со­ стоит. Сомножителям знаменателя функции (I.I) соответствуют

левые части уравнений для первой и остальных составляющих про­ цессов - сомножители разложения уравнения (3.27).

Задачу приближенного разложения функции (I.I) рассмотрим последовательно для случаев, когда первая составляющая имеет уравнение первого и уравнение второго порядков.

Для первого случая сомножители разложения уравнения (3.27), если их объединить вместе, составляют следующую систему урав­ нений:

( ап -,Р + ап) л , - О )

сутствуют члены, характеризующие эти начальные условия. Так

произошло потому, что с самого начала использовалось уравнение системы в форме (3.27), в котором также отсутствуют члзны, ха­

рактеризующие начальные условия. Для начальных условий в зада­

че выделения первых составляющих получены самостоятельные со­

отношения (3.43) и (3.45).

Будем рассматривать уравнение системы, в котором имеется

178

Раскрывая в выражении (3.II2) скобки и сокращая подобные

члены, получаем

пересчета через коэффициенты второго уравнения (3.108), должны совпадать с начальными условиями для координаты х , вычислен­ ными по формулам пересчета через коэффициенты уравнения (3.J07). Обратим внимание на то, что выражения формул пересчета,

по существу, не зависят от порядка правых и левых частей урав­ нений, а зависят от их разности. Для уравнения (3.107) и вто­ рого уравнения (ЗЛ08) эти разности совпадают.

От порядка левой части зависит, правда, номер последней производной. Для уравнения (З.Ю7) этот номер будет на единицу

больше, чем номер последней производной для второго уравнения (3.108) . Однако сейчас это не имеет значения, так как послед­ няя производная для координаты х [уравнение (3.107)3 в соот­ ношениях (3.43) отсутствует.

Из сравнения уравнения (3.107) и второго уравнения (3.108) видно, что коэффициенты левых частей этих уравнений для одина­ ковых по номерам слагаемых совпадают. Это несомненно упростит определение выражений для коэффициентов n-L уравнения (3.108). Кроме того, обратим внимание на то, что входным воздействием для уравнения (ЗЛО?) является скачкообразное изменение функ­