книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

в которых многократно повторялись бы отдельные хорошо отработайные элементы. Такой многоэлементный или многосекционный метод масштабирования нашел применение, например, в трубчатых аппаратах (включая выпарные, газлифтные и контактные аппа­ раты).

На современном этапе развития химической технологии кон­ кретные технологические процессы реализуются в условиях слож­ ной системы, т. е. при определенной совокупности отдельных вза­ имосвязанных элементов (агрегатов). Решение задач оптимизации технологического производства может быть проведено с привлече­ нием системных моделей, дающих полное представление о связях между отдельными элементами, а также об иерархической струк­ туре технологических объектов. При системном моделировании широко используются методы теории графов [21].

8.Г у X м а II А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло-массообмена. М., «Высшая школа», 1967, 303 с.

9.L е w i s W. Mech. Eng., 1922, v. 44, p. 445—448.

47

Г л а в а 3

ПРОЦЕССЫ, СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ ГИДРОДИНАМИКИ (движение жидкостей и газов по трубам и каналам)

В настоящей главе будут рассмотрены основные законы гидро­ динамики, которым подчиняется движение жидкостей и газов или их смесей в трубах и аппаратах.

Для гидродинамических процессов особо важное значение имеют законы сохранения массы, энергии и количества движения (импульса). Законы сохранения используются в различных форму­ лировках для описания процессов, в которых конечные суммы массы, энергии и количества движения (внутри системы) равны соответствующим суммам начального состояния.

Все явления, связанные с движением жидкости (газа), обычно описываются системой дифференциальных уравнений, включаю­ щей уравнения движения (Навье — Стокса) и уравнение нераз­ рывности (сплошности) потока.

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

В гидравлике для потоков газа или жидкости законы сохране­ ния представляются в виде уравнения неразрывности (сплошно­ сти) .

Уравнение неразрывности потока носит также название уравнения постоянства рас­ хода

49

I

Уравнение расхода для трубопроводов круглого сечения удобно применять в следующей форме:

7 Сек = 0,785d 2w

где d — диаметр трубопровода, м; w — средняя скорость потока,

м/с.

При выводе уравнения неразрывности следует учитывать, что во время движения потока обычно происходят изменения не только скорости элементарной частицы, но и таких ее свойств, как вяз­ кость и плотность. При этом вязкость и плотность в свою очередь будут зависеть от температуры и давления. При неустановившемся движении потока физические свойства изменяются не только в

жения в кг-м/(с-м3)]. За это же время dx из элементарного объе­ ма в направлении оси х на расстоянии х + dx выйдет количество массы, равное

, д (рwx ) ,

9wx + ~ ^ ~ d x

Накопление массы жидкости в элементарном объеме в направ­ лении оси X составит:

рwx dx dy dz dx pwx -f d dx 1 dy dz dx = d dx dy dz dx (3-4)

Аналогично в направлении оси у накопление массы будет равно

По закону сохранения массы за время dx суммарное накопле­ ние массы жидкости (газа), движущейся по всем трем направле­ ниям элементарного объема dV должно быть равно убыли массы дрдх dx dy dz dx в этом объеме.

Таким образом, материальный баланс неустановившегося по­ тока сжимаемой жидкости (газа) можно выразить зависимостью,

50

представляющей собой уравнение неразрывности:

Величины, входящие в правую часть уравнения (3-5), представ­ ляют собой дивергенцию (расхождение) плотности потока.

Уравнение (3-5) можно привести к виду

и при dx/dx = dy/dx = dz/dx = 0 скорость изменения плотности в данной точке

dp _ âp_

(3-9)

dx dx

т. e. полная производная может быть приравнена к локальной про­ изводной (например, в момент замера плотности в данной точке, когда датчик или пробоотборник будет неподвижным).

В векторно-аналитической форме уравнение (3-5) будет иметь вид:

Для установившегося (стационарного) потока dp/dx — 0, т. е. плотность жидкости (газа) не зависит от времени, и уравнение неразрывности можно записать в виде

или в векторной форме:

61

быть разложены на нормальную (давление) и касательную (тре­ ние) к поверхности составляющие. Следует отметить, что в усло­

(причем давление в данной точке распространяется одинаково по всем направлениям), которые действуют как в неподвижной, так и в движущейся жидкости.

Таким образом, при выводе уравнений движения жидкости в основу берется второй закон движения Ньютона, согласно кото­ рому изменение скорости движения во времени пропорционально

то проекция на ось х массовых и поверхностных сил, действующих на элементарный объем dV = dxdydz жидкости, может быть полу­

где то — сила внутреннего трения, отнесенная к единице поверхно­ сти; р — динамический коэффициент вязкости.

Проекция силы трения на ось х будет иметь вид:

Тогда движение элементарного объема под действием сил тяже­ сти, давления и трения вдоль оси х может быть описано уравне­ нием

* Напряжением обычно называют поверхностную силу, отнесенную к еди­ нице площади поверхности, на которую эта сила действует.

S3

движение параллельно оси у

представляет собой полную производную скорости по времени:

Величины gx, gy и gz — компоненты ускорения массы в направ­ лении отдельных осей координат (например, gy = g cos ß, где ß — угол между направлением действия силы тяжести и осью у).

Влияние вязкости р и сжимаемости жидкости учитывается по­ следними двумя членами правой части уравнений (при условии, что вязкость во всей области течения постоянна, т. е. р = const).

Оператор Лапласа обозначен символом V2 (набла) и представ­

Сжимаемость реальной жидкости учитывается последним чле­ ном правой части уравнений. Дивергенция вектора скорости обо­

Для вязкой жидкости нужно учитывать, что частицы жидкости прилипают к ограничивающим течение стенкам. Поэтому при инте­ грировании дифференциальных уравнений Навье — Стокса исполь­ зуют в качестве граничного условия (так называемого условия при­ липания) равенство нулю скорости потока у стенки (даст = 0).

Оператор Лапласа часто обозначают также через Д,

64

Для неустановившегося движения несжимаемой жидкости (р=

или (3-25) совместно с уравнением неразрывности (3-5) или (3-10) дают возможность решить основную задачу гидродинамики — оп­ ределить поля скоростей, давления и плотности в жидкости, дви­ жущейся под действием заданных внешних сил. Решение возможно для идеальной несжимаемой жидкости или для изотермического движения вязкой жидкости, когда плотность и вязкость зависят только от давления и вид этих зависимостей известен: р — f(p) и

Во всех остальных случаях необходимо дополнить систему урав­ нений движения и неразрывности уравнениями энергии, состояния жидкости и уравнениями зависимости вязкости от параметров со­ стояния жидкости, а также граничными и начальными условиями.

* Так как в уравнения движения жидкости давление входит под знак диф­ ференциала, то следует отметить, что для гидромеханических процессов харак­ терными являются не абсолютные давления, а разность давлений в двух какихлибо точках потока. Таким образом, уравнения движения жидкости позволяют исследовать вопрос о распределении скоростей в потоке вне связи с распре­ делением давлений, причем обратное исследование поля давлений без предвари­ тельного установления поля скоростей невозможно [1].

55