книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

Полученный безразмерный комплекс носит название критерия Эйлера:

движения жидкости применяют критерий гомохронности, характе­ ризующий соотношение между силой инерции pw2/l и величиной pw/x (см. стр. 82), учитывающей влияние нестационарности дви­ жения на скорость жидкости:

где w — скорость потока, м/с; т — характерный интервал времени, с; I — линейный размер, м.

Критерий гомохронности часто называют критерием (или чис­ лом) Струхаля и обозначают Str = wxjl.

Критерий Маха. Для случаев установившегося движения сжи­ маемой жидкости (газа) при больших скоростях используют в ка­ честве основного критерия подобия критерий Маха:

Критерий Маха учитывает влияние сжимаемости жидкости на характер ее движения.

Модифицированные критерии подобия. Теория подобия позво­ ляет заменять физические величины, входящие в критерий подо­ бия, другими (пропорциональными или идентичными им).Так, на­ пример, при описании процессов гидромеханического разделения неоднородных систем (Ж — Т, Г — Т или Г — Ж) методом осаж­ дения часто используется модифицированный (т. е. видоизменен­ ный) критерий Рейнольдса, характеризующий взаимодействие ча­ стицы и среды:

Рс ѵс

где Woe — скорость осаждения частицы, м/с; d4— диаметр частицы, м; рс и [гс — плотность и вязкость среды, в которой происходит осаждение частицы, кг/м3 и Н-с/м2 (Па-с) соответственно.

При использовании теории подобия в случае перемешивания жидких сред различными механическими мешалками в критерии Рейнольдса заменяют окружную скорость мешалки ее выражением

87

текающими в реальных промышленных аппаратах или объектах. При этом в опытах, проводимых на модели, по сравнению с про­ мышленными условиями могут изменяться материалы исследова­ ния (вещества, их качество), температура, давление, масштаб аппарата или установки и другие условия (при неизменяемости физической сущности исследуемого процесса). Результаты опытов распространяются на группу, класс явлений (или аппаратов), если соблюдаются условия, сформулированные в третьей теореме подо­ бия: для подобия двух процессов достаточно (и необходимо), чтобы они были качественно одинаковы и их определяющие критерии попарно равны.

Опытные данные, обработанные в виде зависимостей между критериями подобия, используются для перехода от лабораторных масштабов к промышленным с достаточной степенью надежности. Практически физическое моделирование сводится к последователь­ ному (в несколько этапов) воспроизведению исследуемой системы в большем масштабе, вплоть до промышленных.

Критерии подобия, входящие в обобщенное уравнение, полу­ чают на основе системы дифференциальных уравнений, описываю­ щих процесс (включая условия однозначности), или с помощью теории размерностей (в тех случаях, когда основные уравнения отсутствуют).

Однако если моделируемый технологический процесс является сложным, зависящим от большого числа переменных параметров, то в его описание с помощью обобщенной критериальной зависи­ мости войдет целый ряд критериев и симплексов подобия, причем равенство некоторых из них будет недостижимо из-за невозмож­ ности одновременной реализации. Таким образом, полное подобие исследуемых процессов, выражающееся в равенстве всех опреде­ ляющих критериев подобия, не удается обеспечить в тех случаях, когда число определяющих критериев превышает 2—3.

В некоторых случаях, когда полное подобие не соблюдается, можно обойтись подобием лишь наиболее существенно влияющих на процесс параметров. Обычно, если влиянием какой-либо физи­ ческой величины (или комплекса величин) можно пренебречь, то по отношению к этой величине (или комплексу) процесс будет автомодельным.

Автомодельность процесса существенно упрощает моделирова­ ние, так как сокращает программу исследования.

Приближенное подобие часто используется при анализе, на­ пример, двухфазных систем и т. п.

Обобщенное критериальное уравнение типа (2-36) приводится к явному виду обычно с помощью графической интерпретации опытных данных: строится зависимость между критериями подобия в логарифмических координатах. Тангенсы угла наклона получен­ ных прямых выражают показатели степени (р и q) при опреде­ ляющих критериях, а отрезки, отсекаемые на оси ординат, соответ­ ствуют логарифмам множителей или коэффициентов пропорцио­ нальности (С). -

39

Опыты проводятся обычно на аппаратах различного масштаба при соблюдении условий их геометрического подобия.

На каждой модели ставятся опыты с изменением физических величин, характеризующих процесс. Следует учитывать, однако, что теория подобия не приложима к исследованию химических процессов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Иод математическим моделированием понимается метод иссле­ дования сложных процессов на основе подобия явлений различной физической природы, т. е. на основе широкой физической анало­ гии. Математическое моделирование позволяет заменить сложное явление (или процесс) более простым с помощью средств другой физической природы, чем натура. Наиболее эффективными и уни­ версальными моделирующими устройствами являются современ­ ные электронно-вычислительные машины (ЭВМ). Чтобы провести расчет (с учетом возможности управления) любого процесса хи­ мической технологии на ЭВМ, необходимо детально изучить стадии этого процесса и на данной основе построить математическую мо­ дель.

Математическая модель выбирается по принципу изоморфности дифференциальных уравненией, что отражает единство основных законов природы (см. стр. 17). Основное назначение модели — нести новую информацию об исследуемом явлении, процессе или аппарате.

Характерной особенностью и достоинством метода математи­ ческого моделирования является возможность его применения к отдельным участкам исследуемой сложной системы. Таким обра­ зом, при необходимости получить рекомендации о возможности воздействовать на протекание процесса, изменяя те или иные его параметры, математическая модель должна быть представлена в виде математической записи (например, в виде дифференциаль­ ного уравнения в частных производных), устанавливающей связь между отдельными физическими переменными. Для создания та­ кой модели используются как опытные данные, так и теоретиче­ ские зависимости.

Каждый процесс химической технологии на основании имею­ щейся технической и научной информации может быть классифи­ цирован в соответствии с условиями проведения этого процесса и его аппаратурным оформлением. Для описания процесса (или его части) может быть выбрана одна из нескольких типовых моделей, соответствующих характеру распределения времени пребывания отдельных частиц (или потока) в исследуемой системе.

Эти типовые модели должны включать как статические (урав­ нения материального и энергетического балансов, равновесия и скоростей протекания процессов), так и динамические (дифферен­ циальные уравнения связи между основными переменными при их изменении во времени, а также граничные и начальные условия) характеристики исследуемого процесса.

4 0

Так, например, уравнение статики в нормальной форме будет иметь вид

{ßi1, СС{2, ..., üik} — äi — параметры уравнений.

Типовые модели выбираются в зависимости от структуры пото­ ков в аппарате, в котором осуществляется процесс. Наиболее часто используют одну из трех гидродинамических моделей (рис. 2-2): 1) полного (или идеального) вытеснения; 2) полного перемешива­ ния или идеального смешения; 3) промежуточную модель.

М о д е л ь п о л н о г о в ы т е с н е н и я характеризуется порш­ невым движением потоков при отсутствии продольного перемеши­ вания. Такому представлению соответствуют процессы, идущие (при больших скоростях) в трубчатых аппаратах (с L/D > 20), в которых частицы полностью перемешиваются в направлении, пер­ пендикулярном к оси потока. В этом случае время пребывания всех частиц в аппарате одинаково и равно отношению объема к объемному расходу.

М о д е л ь п о л н о г о п е р е м е ш и в а н и я отличается равно­ мерным распределением частиц потока по' всему объему и соот­ ветствует обычному реактору с интенсивно работающей мешалкой.

В п р о м е ж у т о ч н о й м о д е л и учитывается перемешивание частиц потока как в продольном, так и радиальном направлении, при условии, что средняя скорость потока постоянна.

Анализ типовых гидродинамических моделей затрудняется от­ сутствием надежных рекомендаций для определения режима пере­ мешивания. Обычно используются диффузионные (одно- и двух­ параметрические) и ячеечные модели, включающие различные до­ пущения [3].

После выбора типовой модели (или комбинации нескольких) для описания исследуемого процесса (условно разделенного на ряд звеньев) и принятия системы допущений для упрощения и обоснования принятой структурной схемы, а также для решения системы составленных дифференциальных уравнений, берется оп­ ределенный (обычно Алгол—-60) алгоритм, пользуясь которым и составляют программу для ЭВМ. В соответствии с этой програм­ мой машина последовательно выполняет операции, дающие ин­ формацию о ходе процесса и конечных его результатах. Следую­ щий этап моделирования с помощью аналоговой или цифровой (см. стр. 18) вычислительной машины состоит в проверке адекват­ ности выбранной модели исследуемому процессу или аппарату и ее коррекции.

41

to

Характер отклика при возмущении

Рис. 2-2. Основные гидродинамические модели:

/ — полного вытеснения; 2—полного перемешивания;

С— концентрация; т —время; X — координата; w — линейная скорость потока; FceK—объемный расход; К —объем системы; Ѳ—безразмерное время

(е=^сек/^)'

Хотя мы и стремимся к тому, чтобы модель наиболее полно соответствовала режимам потоков количества движения, теплоты или массы, однако в любом случае модель будет лишь прибли­ женным отражением натуры. Кроме того, стремление оперировать с достаточно простым математическим описанием процесса приво­ дит к необходимости использовать приближенные данные (полу­ ченные экспериментально или расчетом) о величинах отдельных параметров модели, что также обязывает проводить количествен­ ную оценку адекватности или точности модели.

Способ проверки точности зависит в первую очередь от при­ роды модели. Так, например, точность описания статики процесса начинается с установления соответствия гидродинамической струк­ туры потоков. При этом определяют такие параметры процесса, как коэффициенты перемешивания (продольного и радиального)* и т. п. Затем с учетом граничных и начальных условий проводят решение составленных дифференциальных уравнений модели.

Графическое выражение решения сопоставляют с эксперимен­ тально полученной кривой, характеризующей распределение вре­ мени пребывания частиц потока в исследуемой системе (аппарате). Такое распределение находится с помощью подачи индикатора на вход системы в виде ступенчатого, импульсного или частотного возмущения. Например, при импульсном возмущении, изменяя мгновенно входную величину (дельта-функцию), получают так на­ зываемую С-выходную кривую или кривую отклика (где С = с/с0— безразмерная концентрация индикатора).

где С(т)— функция распределения времени пребывания т, харак­ теризующая долю индикатора (например, меченого вещества) в потоке, выходящем из системы через время, меньшее чем т.

Среднее время пребывания т может быть найдено из зависи­ мости

4 3

области, занятой точками, составляющими распределение относи­ тельно центра (т. е. среднего значения):

00

I (т — т)2 С (г) dx

4.J С (х) dx

о

где а2 — дисперсия распределения. Зависимость (2-52) справедлива для непрерывного распределения в режиме полного вытеснения.

Совпадение опытной, найденной импульсным или другим мето­ дом выходной кривой с графическим решением выбранной модели подтверждает возможность использования этой модели.

В общем виде задача проверки адекватности модели математи­ чески сводится к нахождению минимума * функции Ф, служащей количественным выражением модели:

где т — число измеряемых параметров модели; і — число перемен­ ных, характеризующих состояние системы и доступных для изме­ рения; фі и ф,- — значения переменной величины в модели и в на­ туре соответственно; он — весовой множитель, выбираемый в зави­ симости от важности той или иной переменной для последующего использования модели (служит для сравнения разнородных коор­ динат при измерениях переменной). Чем больше погрешность изме­ рения переменной фг, тем меньше выбирается множитель оц. В ча­ стности, при фі=т^О значения ссі можно принимать пропорциональ­ ными 1/ф2.

Определение критических значений функции Ф, при которых можно считать данную математическую (статическую) модель адекватной натуре или, наоборот, необходимо требовать уточнения уравнений, является очень сложным.

В частном случае, когда фі — независимые случайные величины, для оценки характера расхождений между решением статической модели и экспериментальными данными (выходной кривой) могут быть применены статистические критерии значимости и согласия

[16].

После проверки адекватности полной математической модели исследуемому объекту (процессу) в цикле с ЭВМ следует провести оптимизацию математической модели любым из известных мето­ дов. К методам оптимизации относятся динамическое программи­ рование, нелинейное программирование, принцип максимума и другие. Целью всех этих методов является нахождение оптималь­ ных условий (температуры, давления, соотношения компонентов

вреакционной смеси, избирательности, продолжительности и т. д.)

*Различные методы минимизации изложены в монографии [15].

44

проведения процесса в зависимости от общих технико-экономиче­ ских показателей процесса. Обычно оптимальный режим находят в две ступени. Сначала определяют наилучшие условия процесса теоретически, исходя из его максимальной интенсивности. Затем выбирают аппарат, позволяющий наиболее близко подойти к тео­ ретическому оптимуму [17].

Обычно оптимизационные решения не требуют большой точ­ ности и потому ближе всего подходят к задачам, решаемым ме­ тодами приближенного моделирования. Из них особое место за­ нимают задачи инженерной оптимизации, связанные с улучшением экономических показателей, которые при многотоннажном произ­ водстве могут дать миллионную экономию даже при небольшом (например, на 1%) уменьшении затрат.

В частности, в гидродинамике широко известна задача Шухова по определению оптимального диаметра трубопровода.

Такие задачи сравнительно легко решаются методом базовой точки [18], в основу которого положено использование всего объема знаний, которым располагает проектировщик по исследуемому объекту.

Таким образом, математическое моделирование обязательно включает экспериментальное исследование для определения наи­ более важных коэффициентов математической модели. Опыты про­ водятся на лабораторной или пилотной установке, в которой со­ блюдаются условия геометрического и гидродинамического подо­ бия промышленному аппарату (натуре). Для сокращения числа необходимых опытов рекомендуется использовать метод направ­ ленного эксперимента [19].

ПРОБЛЕМА МАСШТАБНОГО ПЕРЕХОДА

При моделировании процессов химической технологии особое значение имеет проблема увеличения размеров аппаратуры. В ча­ стности, в последние годы в связи с развитием крупнотоннажных производств нередки случаи применения массообменных аппара­ тов диаметром 16—20 м. Однако, как показывает промышленная практика, с увеличением размеров аппарата обычно ухудшается его эффективность по сравнению с эффективностью лабораторной модели.

Основная причина снижения эффективности промышленного ап­ парата заключается в нарушении равномерности распределения потоков, т. е. в изменении гидродинамических условий в резуль­ тате существования продольного перемешивания. Нарушения рав­ номерности в потоке могут быть легко обнаружены импульсным методом (см. стр. 43) по отклонению формы выходной кривой (кривой отклика) от нормального распределения.

Упорядочение гидродинамики промышленного аппарата в неко­ торых случаях удается провести на гидравлической модели, диа­ метр которой соответствует аппарату в натуральную величину, а высота значительно уменьшена [20].

45

В сложных процессах для расчета аппаратов промышленного масштаба необходимо учитывать пять групп переменных величин: 1) геометрические; 2) гидродинамические; 3) тепловые; 4) массо­

обменные; 5) химические.

Геометрический масштаб может быть определен из условия пропорциональности между определяющими линейными размерами модели и промышленного аппарата:

где D и DM— диаметры аппарата и модели соответственно. Гидродинамическое подобие при условии использования в ап­

парате и модели вещества с одинаковыми свойствами (плотно­ стью, вязкостью, теплоемкостью, теплопроводностью и другими) упростится * и выразится равенством критериев Рейнольдса в виде:

где w и шм — скорость потока в аппарате и модели соответственно. При отсутствии химических реакций в системе тепловое подо­ бие также обеспечивается равенством (2-55). Химическое подобие

требует равенства критериев Дамкелера

где k — константа скорости реакции.

Так как в условиях протекания химических реакций нельзя пренебречь изменением давления или температуры, то необходимо также соблюсти равенство

Из уравнений (2-54) и (2-55) следует зависимость

(2-58)

С учетом равенств (2-56) и (2-57) получим:

В соответствии с выражением (2-59) скорость реакции в модели должна быть в К2 раз больше, чем в промышленном аппарате. Однако тепловое подобие по уравнению (2-57) соблюдается при совпадении температур в соответственных точках модели и аппа­ рата, тогда как равенство температур обеспечивает одинаковые скорости реакции. Таким образом, условие (2-59) невыполнимо.

Следовательно, при увеличении масштаба аппаратов, в которых осуществляются процессы, осложненные химической реакцией, можно основываться только на приближенном моделировании [6].

Следует также отметить, что масштабный переход может быть успешно решен путем создания таких аппаратурных конструкций,

* Для упрощения предположим, что перепад давлений Ар настолько мал, что им можно пренебречь. ,

46