книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

это не всегда удается, а в некоторых случаях оказывается невоз­ можным вследствие крайней сложности исследуемого процесса. В таких случаях для нахождения зависимостей, характеризующих взаимосвязь переменных физических величин, влияющих на ход про­ цесса, проводят экспериментальное исследование. Полученные за­ висимости называются эмпирическими и являются частными, т. е. справедливыми только для тех условий, в которых они получены. Для обобщения результатов экспериментальных исследований и для расширения пределов их применения в более широкой группе подобных процессов используют методы теории подобия. Подобие начальных условий означает, что в момент, когда начинается ис­ следование процесса, соблюдается подобие полей всех физических переменных величин, характеризующих процесс.

Подобие граничных условий определяется тем, что все значения величин, характеризующих эти условия, для сходственных точек в сходственные моменты времени находятся в постоянных соотно­ шениях.

Подобие начальных и граничных условий соблюдается только при их геометрическом, физическом и временном подобии.

Теоремы подобия

Практическое применение теории подобия к эксперименталь­ ному и теоретическому исследованию процессов основано на трех теоремах подобия.

П е р в а я т е о р е м а п о д о б и я носит название теоремы Нью­ тона — Бертрана. Она гласит: подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия. Вторая формулировка этой теоремы: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Для того чтобы пояснить вторую формулировку теоремы Нью­ тона— Бертрана, рассмотрим общий случай гидромеханического подобия для двух систем, представляющих собой движущиеся тела. Движение этих тел подчиняется второму закону Ньютона,

По условию подобия физические величины одной системы можно выразить через величины другой (для сходственных точек) с помощью констант подобия:

х/_

w ' -- С.ц;, X Сх

27

(По правилу взаимозаменяемости одноименных величин отношения приращений величин, входящих в константы подобия, могут быть заменены отношениями самих величин: Cw= CAw и С ,= САх).

Выразим переменные системы I через переменные системы II и подставим в уравнение (2-18):

Затем перенесем все константы подобия в левую часть уравнения

При сравнении исходного и преобразованного уравнений (2-19) и

сит название индикатора подобия. Индикатор подобия показывает, что выбор констант подобия ограничен определенным условием:

T. e. при условии подобия двух систем можно менять произвольно только три величины, а значение четвертой будет определяться уравнением (2-22).

Комплекс разнородных величин представляет собой инва­

риант подобия и для двух изучаемых систем (модели и прототипа) должен иметь одинаковое численное значение.

Безразмерные комплексы — инварианты получили в теории по­ добия название критериев подобия, и по предложению Грёбера [11] их рекомендуется обозначать начальными буквами фамилий выдающихся ученых, внесших существенный вклад в развитие дан­ ной области науки.

Комплекс —— носит название критерия Ньютона и обозна­

чается *

* В американской научно-технической литературе критерии подобия часто называются числами подобия и обозначаются так: ЛТде (Number of Reynolds).

28

или, в другой форме, при замене времени т отношением длины пути / к скорости w

Таким образом, в случае механического подобия двух систем

произведение силы на длину, деленное на массу и квадрат скоро­ сти для любой пары сходственных точек прототипа и модели, имеет одно и то же численное значение. Такая формулировка также соот­ ветствует первой теореме подобия. Из нее также следует, какие конкретные физические величины нужно измерять при эксперимен­ тальном исследовании данного процесса.

мулируется следующим образом: любая зависимость между физи­ ческими величинами, характеризующими явление или процесс, может быть представлена в виде взаимной зависимости между критериями подобия, т. е. в виде так называемого обобщенного критериального уравнения типа

прос, как следует обрабатывать полученные экспериментальные данные или в какой форме может быть получено решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, с помощью методов теории подобия.

Следует отметить, что критерии подобия, входящие в зависи­ мость типа (2-25), не равноценны. Критерии подобия, составленные из физических величин, входящих в начальные и граничные усло­ вия,— точнее, в условия однозначности — называются определяю­ щими. Критерии, составленные из физических величин, не являю­ щихся необходимыми для однозначной характеристики данного процесса и в свою очередь зависящие от этих условий, называются определяемыми.

Так, например, при движении жидкости или газа по трубопро­ водам заданные начальные и граничные условия (геометрические характеристики трубы — длина и диаметр, физические свойства

в любой точке потока в трубе и перепад давления между любыми двумя точками. В этом случае определяемым будет критерий по­ добия, в котором имеется величина Ар, не входящая в условия однозначности, а зависящая от них.

Функциональную зависимость типа (2-25) поэтому удобнее представлять в таком виде, чтобы после нахождения значений оп­ ределяющих критериев можно было бы легко найти значение опре­ деляемого критерия и затем из него — численное значение искомой

* Вторая теорема подобия была доказана также Т. А. Афанасьевой-Эрен-

фест [Phys. Mag., v. I (1925)].

29

физической величины. Таким образом, если определяемый крите­ рий обозначить через пи то

Например, известное уравнение Гагена — Пуазейля * для опре­ деления потери давления на трение ДрТр при ламинарном движе­ нии потока жидкости или газа в трубе

ратна первой: подобны те явления или системы, которые описы­ ваются одинаковыми уравнениями связи и условия однозначности которых подобны.

Подобие условий однозначности обеспечивается равенством определяющих критериев подобия в случае, если явления или процессы качественно одинаковы (аналогичны). Качественно оди­ наковыми будут процессы, математическое описание которых оди­ наково.

Таким образом, третья теорема подобия формулирует необхо­ димые и достаточные условия для подобия явлений или про­ цессов. Методами теории подобия можно перенести результаты опытов, полученные на модели, на группу или класс подобных си­ стем. Для этого сначала составляют математическое описание про­ цесса в виде системы дифференциальных уравнений и условий одно­ значности, затем проводят подобное преобразование этой системы и получают критерии подобия, после чего на моделях устанавливают

* См. стр. 62.

30

конкретный (явный) вид зависимости между критериями подобия. Полученное обобщенное уравнение (и его расчетная форма) спра­ ведливо для всех подобных процессов в исследуемых пределах из­ менения определяющих критериев подобия.

В некоторых случаях из-за сложности явления или процесса не удается составить его полное математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений, а возможно лишь в самом общем виде представить зависимость между физическими величи­ нами и геометрическими параметрами, характеризующими процесс. Вид такой зависимости можно найти на основе анализа размерно­ стей физических величин, вошедших в уравнение. Этот метод, вве­ денный в инженерную практику Бриджменом [12], базируется на так называемой я-теореме, являющейся частным случаем второй теоремы подобия.

я - Т е о р е м а (выведена Бакингемом) формулируется следую­ щим образом: всякое уравнение, связывающее между собой п фи­ зических величин (например, скорости, вязкости, плотности и т.п.), среди которых m величин обладают независимыми размерностями [например, масса, длина, время), может быть преобразовано к

я-Теорема имеет большое значение при проведении эксперимен­ тального исследования, позволяя находить связь не между отдель­ ными физическими переменными, а между некоторыми их безраз­ мерными соотношениями (я), составленными по определенным законам. При этом число переменных уменьшается на число ис­ пользованных основных единиц измерения (1, 2, 3 и более), что су­ щественно упрощает условия проведения эксперимента.

Метод анализа размерностей

Метод анализа размерностей позволяет выразить общую функ­ циональную зависимость для любого исследуемого процесса в виде уравнения связи между строго определенным числом безразмер­ ных комплексов, состоящих из физических величин с определенной размерностью, выраженной с помощью основных единиц измере­ ния. Этот метод базируется на двух допущениях:

1)известно заранее (из практических данных), от каких именно параметров процесса и переменных зависит рассматривае­ мая физическая величина;

2)связь между всеми существенными для исследуемого про­ цесса физическими величинами выражается в виде степенного многочлена.

Впростейшем случае в уравнение связи подставляются раз­ мерности входящих в него физических величин и достигается

31

размерная однородность. Соблюдение размерной однородности обеспечивает независимость уравнения от единиц измерения пере­ менных, т. е. его инвариантность.

Для иллюстрации метода рассмотрим случай ламинарного те­ чения изотермического потока жидкости в прямой трубе*.

Допустим, что, не зная закона, которому подчиняется движение жидкости в трубах, на основании практических данных можно предполагать зависимость перепада давлений в потоке в начале и конце трубы от вязкости жидкости ц, ее плотности р, скорости w и размеров трубы d (диаметра) и I (длины).

Требуется установить математическую зависимость между по­ терей напора на трение Артр и остальными физическими величи­ нами, характеризующими гидродинамическую обстановку в дан­ ном потоке.

Предположим, что неявная зависимость между переменными

Из обозначенных через ср функциональных зависимостей пред­ ставляет интерес только степенная зависимость, так как в этом случае выбранные физические величины (переменные) образуют чистую абелеву группу [13]. Следовательно, каждая переменная может быть представлена в форме произведения степеней основ­ ных переменных как базовых элементов:

Так как функция уравнения (2-28) размерно однородна и зна­ чение АрТр не безразмерно, то алгебраически доказывается [13], что устойчиво существует произведение степеней переменной х с размерностью у. Если уравнение (2-28) или обе части уравнения (2-29) разделить на это произведение степеней, то зависимая пере­ менная ДрТр преобразуется в безразмерную зависимую перемен­ ную или безразмерный комплекс я:

Таким образом, размерно однородная система, состоящая из размерных величин, может быть заменена безразмерной системой. Размерность всех входящих в зависимость (2-30) величин можно

* См. стр. 58—67,

82

выразить с помощью трех * основных переменных М, L н Ѳ (масса, длина, время) следующим образом:

Показатели степеней у размерностей переменных, входящих в зависимости (2-28) и (2-29), объединяются в матрицу размерно­ стей:

При условии независимости уравнений размерностей одного от другого строки матрицы тоже независимы и ранг матрицы R(M) соответствует числу строк, т. е. при трех основных величинах (масса, длина, время) равен трем. Число переменных п = 6. Сле­ довательно, число безразмерных комплексов, описывающих про­ цесс, должно быть равно 6 — 3 = 3.

По элементам матрицы (2-31) можно рассчитать показатели степени а, b, с, е, f и k, составив линейную однородную систему уравнений:

Так как число безразмерных комплексов, описывающих про­ цесс в соответствии с л-теоремой должно быть равно трем, то для нахождения вида каждого из них можно свободно выбрать значе­ ния трех показателей степени (так как всех неизвестных — шесть). Эти значения выбираются по целесообразности.

1. Например, для выявления первого безразмерного комплекса (или определяемого критерия) следует принять а — 1, так как Артр

* Так как рассматриваем изотермический поток, то четвертую основную переменную — температуру во внимание не принимаем.

В результате получим м атрицу решения:

Выражения полученных безразмерных комплексов соответ­ ствуют: первый — критерию Эйлера, второй — критерию Рейнольд­ са (точнее, 1/Re), а третий представляет собой геометрический симплекс.

В соответствии с я-теоремой можно было заранее предсказать число симплексов, входящих в зависимость (2-25). Действительно, общее число критериев, которое должно быть равно разности между числом п переменных величин х и числом т основных еди­ ниц измерения [см. зависимость (2-28)], составит 6 — 3 = 3. Число критериев-комплексов будет равно разности между числом к пере­

Таким образом, зависимость (2-28) в критериальной форме бу­

Из теории групп следует, что зависимость между найденными критериями можно представить следующим образом:

Численные значения константы С и показателей степени р и q невозможно найти с помощью методов теории подобия — их опре­ деляют экспериментально. Действительно, для ламинарного и установившегося режима течения жидкости по прямым трубам установлено, что

Выражение (2-37) представляет собой известное уравнение Гагена — Пуазейля4

34

Следует иметь в виду известную ограниченность метода ана­ лиза размерностей. Теория размерностей не предусматривает оп­ ределения условий однозначности, что в некоторых случаях мо­ жет привести к ошибкам *. Однако при правильном выборе ве­ личин, входящих в исходную функциональную зависимость типа y = f{xi,X2,Xz, . . . , Хп), можно, не имея полного математического описания процесса, получить обобщенную зависимость в форме уравнения связи между (п — т) критериями.

применим и для оценки подобия гидравлических процессов. При этом следует вместо общей, действующей на систему силы / под­ ставлять выражения силы тяжести, трения, давления, сопротивле­ ния среды и т. п.

Частные выражения, соответствующие различным критериям гидромеханического подобия, могут быть получены следующим об­ разом.

Критерий Фруда. В критерий Ньютона Ne = подставляем

вместо f выражение для силы тяжести f = mg и получаем:

Вместо комплекса gl/w2 обычно пользуются обратным выраже­ нием (чтобы не иметь дела с дробными числами), которое и из­ вестно как критерий Фруда:

при действии силы тяжести, и выражает соотношение сил тяжести и сил инерции **.

Критерий Рейнольдса. В случае движения вязкой жидкости в потоке возникает сила трения, которая по закону Ньютона равна:

*См. в [14] о так называемой ошибке Релея.

**При моделировании газовых потоков критерий Фруда не имеет существен­ ного значения, так как вследствие малой плотности газов влиянием силы тя­ жести обычно можно пренебречь.

трения возникает разность скоростей перпендикулярно к направле­ нию потока); dl — расстояние между движущимися слоями жид­

кости.

Подставим выражение для силы трения в критерий Ньютона, а также выразим массу т через объем /3 и плотность р жидкости

( т = р /3):

,2 dw

Разделим переменные:

Чтобы не пользоваться дробными числами, обычно применяют обратное выражение полученного комплекса, которое и называют критерием Рейнольдса:

wlp

И

При течении жидкости (или газа) по трубам или аппаратам обычно принимают в качестве определяющего линейного размера / диаметр d:

где d — диаметр, м; w — скорость жидкости (газа), м/с; р — плот­ ность жидкости (газа), кг/м3; р — динамический коэффициент вяз­ кости, Па-с или Н-с/м2; ѵ = р/р— кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

Критерий Рейнольдса определяет соотношение между силами инерции и силами трения в движущейся жидкости (газе). Его ве­ личина характеризует это соотношение в подобных потоках.

Критерий Эйлера. При описании движения потока под дей­ ствием разности давлений между двумя некоторыми точками силу f в критерии Ньютона можно заменить силой гидростатического давления Ар, действующей на площади I2. Массу т при этом сле­ дует выразить через произведение объема I3 на плотность жид­ кости (газа):

36