книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

В самом общем случае сила сопротивления, проявляющаяся в движущемся потоке, выражается уравнением (4-15), которое мо­ жет быть представлено в следующем виде:

где f — площадь проекции частицы на плоскость, перпендикуляр­

(4-34) представляет собой связь между перепадом давления, пре­ одолеваемым движущейся частицей (отношение силы сопротивле­ ния к единице площади сечения частицы), и долей кинетической энергии, затрачиваемой на сопротивление движению.

Так как полная сила сопротивления FK может быть представ­ лена суммой сил лобового сопротивления и сопротивления трению

то и общий коэффициент сопротивления £ может быть выражен уравнением

и энергия расходуется при этом в основном только на преодоление трения. При турбулентном течении начинают превалировать силы инерции и с увеличением скорости все большую роль играет ло­ бовое сопротивление, зависящее от формы обтекаемой поверхно­ сти. С достижением некоторого значения числа Рейнольдса со­ противлением трения можно пренебречь и основные затраты энергии потока будут производиться на преодоление лобового со­ противления.

Взаимодействие сил на поверхности шарообразной частицы, вы­

117

В уравнениях (4-38) —(4-40) ро —давление на плоскости z — 0,

(4-35) и (4-36) можно получить выражения для коэффициентов лобового сопротивления и трения, введя безразмерные параметры, характеризующие давление, составляющие скорости и линейный размер обтекаемых частиц:

Тогда получим:

Таким образом, для того чтобы рассчитать значения £, необхо­ димо знать Р, Wr и Wq как функции обобщенных сферических ко­ ординат L, Ѳ и ф. Для Re <0,1 на стр. ПО показано, как можно применить закон Стокса в условиях ползущих течений.

Для значений Re < 0 ,1 очень трудно установить количествен­ ные зависимости для распределения скоростей и давлений на по­ верхности обтекаемой потоком частицы, но принципиально они мо­ гут быть найдены при решении системы уравнений движения, уравнения неразрывности и соответствующих граничных условий:

Отсюда следует, что

где X, Y, Z — обобщенные координаты.

Таким образом, можно записать обобщенную зависимость:

Вид этой функции для обтекания шарообразных частиц диамет­ ром d4 на основе большого числа экспериментальных данных пред­ ставлен на рис. 4-8 *.

Графическую зависимость 4-8 часто называют кривой Редея,

118

По рис. 4-8 видно, как меняется механизм переноса количе­

ства движения.

В области ползущих течений (Re < 0,1) действие силы сопро­ тивления подчиняется закону Стокса и в соответствии с аналити­ ческим решением системы уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности для шарообразных частиц коэффициент сопротив­ ления рассчитывается по уравнению (4-18) и зависимости 24/Re соответствует прямой участок в логарифмических координатах.

Рис. 4-8. Зависимость коэффициента сопротивления среды от режима обтекания шарообразных частиц.

Следует отметить, что в случае обтекания (или осаждения) шаро­ образных частиц на графике £ = f(Re) переход от ламинарного режима к турбулентному не выражен так отчетливо, как при дви­

потока сопротивлением трения можно пренебречь, а лобовое со­ противление становится преобладающей силой. При наступлении автомодельности (по числу Рейнольдса) коэффициент сопротивле­ ния можно считать постоянным (£ » 0,44). Этой области функции

ления от числа Рейнольдса, чем показывает расчет по закону Стокса для Re < 2:

Эта эмпирическая формула часто называется уравнением Аллена.

119

Рассмотренный закон сопротивления среды относится к сво­ бодному движению (так, например, свободное осаждение будет происходить и при наличии большого количества частиц, но при такой их концентрации в жидкости или газе, что осаждающиеся частицы не оказывают влияния друг на друга) шарообразных твердых частиц. Сопротивление реальных частиц, форма которых отличается от шара (рис. 4-9), дополнительно зависит от так на­ зываемого фактора формы ф или коэффициента сферичности *.

Рис. 4-9. Коэффициент сопротивления среды для обтекаемых частиц различной формы:

/ — шар; 2—цилиндр; 3—диск.

Фактор ф для частиц неправильной формы находится как отноношение поверхности шара fm, имеющего такой же объем, как и реальная частица, к поверхности частицы f:

Поверхность шара с объемом, равным объему частицы, опре­

деляется по эквивалентному диаметру, равному d3 = V 6 Ѵч/п. От­ куда

Таким образом, для твердых частиц, обычно обрабатываемых в процессах химической технологии, отличающихся друг от друга по форме и по размерам,

Значения фактора формы для различных твердых тел приве­ дены в табл. 4-1.

Фактор формы для сыпучих тел, используемый обычно при расчете со- противления при течении через насадку или слой сыпучего мелкозернистого материала, равен обратной величине ф:

ф': ± = 0,207 л

/ш y2/s

Для шара ф' = 1, для других форм частиц ф' > 1.

120

Коэффициент сопротивления для несферических частиц можно определить по зависимости, аналогичной уравнению (4-18) для шаров:

А

( 4 - 5 3 )

Re

где А = /(ф).

Для ламинарного обтекания несферических частиц может быть использовано эмпирическое уравнение

Для шарообразных частиц (ф = 1) уравнение (4-54) дает зна­ чение А = 24, и зависимость (4-53) превращается в уравнение

(4-18).

Для турбулентного обтекания (в соответствии с законом Нью­ тона) коэффициент сопротивления не зависит от числа Re, а только от фактора формы:

Для шарообразных частиц (ф = 1) получим £ = 0,43.

Общий закон сопротивления среды не зависит от природы сил, вызывающих движение твердых частиц в этой среде.

В случае осаждения мелкодисперсных твердых частиц в газе или жидкости, наблюдающемся при гидравлической и пневматиче­ ской классификации, газоочистке, разделении суспензий, основной характеристикой процесса является скорость осаждения.

Скорость осаждения

Во всех случаях, когда твердая частица и окружающая ее среда движутся относительно друг друга, между ними существует взаимосвязь, подчиняющаяся приведенному выше закону сопро­ тивления. Если не учитывать влияние турбулентности на характер

121

движения, то не имеет значения, что именно находится в состояний

движения — частица или среда.

Свободное осаждение. Рассмотрим частицу с массой т (рис. 4-10), движущуюся в неподвижной среде под действием внешней силы. Эта внешняя сила может быть силой тяжести или

силой центробежного поля.

Частица, падающая под действием силы тяжести, будет увели­ чивать свою скорость до тех пор, пока сила сопротивления среды

122

Уравнение (4-60) характеризует взаимодействие сил, в поле ко­ торых находится твердая частица или тело. Для его решения не­

Уравнения (4-61) и (4-62) одинаково важны при решении за­ дач, связанных с разделением неоднородных систем.

Если частица имеет шарообразную форму и осаждается в поле сил тяжести, то для определения скорости осаждения можно вве­ сти дополнительные условия: 1) среда, в которой происходит оса­ ждение, не ограничена; 2) осаждению частицы не мешают другие частицы; 3) скорость осаждения постоянна.

В соответствии с третьим допущением dw/dx = 0, и тогда при введении массы шарообразной частицы m = (nd2/6)pTB и площади

поперечного сечения частицы f — nd24j 4 в уравнение (4-61) получим:

Если вынести постоянные величины из-под корня, то получим окончательно следующее выражение для woc (в м/с):

В приведенных выше уравнениях d4— диаметр осаждающейся частицы, м; ртв и р — плотность частицы и среды соответственно, кг/м3.

Уравнения (4-65) и (4-66) справедливы для ламинарного, пе­ реходного и турбулентного режимов осаждения частиц с различ­ ной сферичностью, причем коэффициент сопротивления £ может быть определен по рис. 4-11.

Для ламинарного режима осаждения (ReOc < 0 , l ) сила сопро­

123

Тогда для равновесия действующих сил и силы инерции т

можно записать:

Зависимость (4-71) носит название формулы Стокса и спра­ ведлива для области ІО'4 < Re0c < 2. В соответствии с верхним и

Р

Рис. 4-11. Зависимость коэффициента сопротивления среды от Reoc и фактора формы (сферичности) ф частиц, осаждающихся под действием силы тяжести

нижним пределами применимости этой зависимости можно рассчи­ тать максимальный диаметр осаждающихся по закону Стокса ча­ стиц, подставив в формулу (4-71) вместо скорости w0с, например, ее выражение из Re0c = wocd4p/[x = 2. При этом в случае осажде­ ния частиц в газовой фазе величиной плотности среды р можно пренебречь.

124

При осаждении в газовой фазе нижний предел применимости формулы Стокса имеет особо важное значение. Когда размер ча­ стицы приближается к длине пути свободного пробега молекулы, скорость осаждения, рассчитанная по уравнению (4-71), будет за­ вышена.

Поправочный коэффициент k при осаждении частиц пыли с

где а зависит от свойств среды и меняется от 1,4 до 20 (для воз­ духа а ä: 1,5). Для частиц пыли размером d4 < 0,1 мкм возникает броуновское движение, при котором частицы беспорядочно дви­ жутся во всех направлениях вследствие соударений, не осаждаясь.

Если осаждение проводится в аппарате, диаметр которого Dann сопоставим с размерами осаждающихся частиц, то следует учиты­ вать так называемый пристеночный эффект (стенки аппарата бу­ дут замедлять осаждение). Значения поправочного коэффициента b (на который надо умножить woc, рассчитанную по формуле Сток­ са) в зависимости от отношения <7ч/0 аіт приведены в табл. -4-2.

Т а б л и ц а 4-2

Значения коэффициента 6, учитывающего замедляющее влияние стенки аппарата на осаждение твердых частиц

В области действия закона Ньютона (при турбулентном режиме осаждения)

Для того чтобы определить режим осаждения и, следовательно, выбрать формулу для расчета скорости осаждения, необходимо знать величину критерия Re, в который также входит woc. В связи с этим уравнения (4-65) и (4-71) применимы для расчета woc ме­ тодом последовательных приближений, т. е. на первой ступени расчета приходится задаваться, например, ламинарным режимом осаждения, а затем, определив wос, проверять, лежит ли Reoc в об­ ласти, соответствующей принятому условию. При несовпадении результатов переходят ко второй ступени расчета до получения удовлетворительной сходимости данных.

125

Однако такой трудоемкой процедуры расчета woc можно избе­ жать, преобразовав уравнение (4-65) методом Лященко [4]. Метод

основан на подстановке в уравнение (4-65) выражения woc— Reft-

и возведении в квадрат обеих частей полученного уравнения, от­ куда получается выражение

Зная величину критерия Архимеда (для осаждения частиц задан­ ного размера), по графику Лященко (рис. 4-12) легко рассчитать значение Re, из которого определяется

искомая скорость осаждения.

Поскольку величина коэффициента со­ противления £ зависит от режима осаж­ дения, то можно установить граничные значения критерия Архимеда, соответст­ вующие переходу одной области осажде­ ния в другую.

В области ламинарного режима осаж­

Критическое значение критерия Архиме­ да, соответствующее верхнему пределу числа Re, будет Агкр. і = 36, следователь­

но, существование ламинарного режима осаждения ограничивается

В переходной области верхнее предельное значение критерия Архимеда соответствует значению Re = 500 и рассчитывается по уравнению

Таким образом, область осаждения в переходном режиме огра­ ничивается изменением критерия Архимеда в пределах 36 < Аг < < 8 ,3 - ІО4,

126