книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

Г л а в а 4

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИКИ (движение твердых частиц в газе или жидкости)

К рассматриваемой группе гидромеханических процессов хими­ ческой технологии относятся процессы (осаждение, классификация и др.), характерной особенностью которых является движение ма­ териальных частиц в жидкой или газовой среде под действием различных сил.

При движении материальной частицы в жидкой среде или при обтекании неподвижной частицы потоком жидкости возникают гидродинамические сопротивления, величины которых зависят в первую очередь от режима движения и формы обтекаемых частиц. Закон сопротивления в этом случае определяется явлениями, про­ исходящими в пограничном слое.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Движение твердых частиц в жидкости или газе в процессах осаждения, перемешивания (а также движение суспензий) может быть описано с помощью упрощенных уравнений Навье — Стокса. Упрощения выражаются в том, что в отдельных случаях из диф­ ференциальных уравнений Навье — Стокса можно исключить те члены, которые малы по сравнению с остальными.

Ползущее течение

Ползущее течение, т. е. течение при очень малых скоростях, на­ блюдается при осаждении в жидкости частиц малых размеров, а также в некоторых случаях смазки.

При очень малых значениях критерия Рейнольдса (Re < 1) вяз­ кие силы в потоке преобладают над инерционными силами и для несжимаемой жидкости уравнения движения примут вид:

107

Уравнения движения (4-1) должны решаться совместно с урав­ нением неразрывности

На поверхности шарообразной частицы (рис. 4-1), омываемой очень медленным потоком несжимаемой жидкости, тангенциальная и нормальная составляющие скорости должны обращаться в нуль (wr = WQ = 0). Если воспользоваться сферическими координа­ тами, то профиль скоростей можно

описать уравнениями [1]:

На большом расстоянии от обтекаемой частицы уравнение (4-5) превращается в основное уравнение гидростатики р — ро — pgzГраничными условиями являются: г — R и г = оо.

Уравнения (4-3) — (4-5) действительны только для ползущего течения (да0гічр/р < 0,1), которое характеризуется отсутствием за­ вихрений за кормовой частью обтекаемого шара.

Проинтегрировав уравнение (4-5) по всей поверхности обтекае­ мой частицы, можно рассчитать силу Fь действующую на эту ча­ стицу со стороны потока жидкости. В каждой точке поверхности шарообразной частицы жидкость давит перпендикулярно к поверх­ ности, причем по оси z составляющая давления равна р соэѲ.

Если просуммировать локальные давления, действующие на всей поверхности шарообразной частицы R2 sin BdQdq>, то после интегрирования получим результирующую силу, действующую в направлении оси z:

108

В соответствии с уравнением (4-5) распределение давления на по­ верхности частицы (при г = R):

Подставим выражение (4-7) под интеграл в уравнение (4-6) и по­ лучим окончательно

где первый член правой части уравнения характеризует силу вы­ талкивания, а второй — силу сопротивления за счет сил давления.

Кроме нормально направленной к поверхности частицы силы Fі на нее действует касательная сила F2 (в направлении Ѳ). В каждой точке поверхности касательно к единице поверхности в направле­ нии Ѳ возникает касательное напряжение —т. В направлении оси z сила F2 равна —т(—sin0). На всю поверхность частицы Я2 sin QdQdy действует результирующая сила:

Распределение напряжений на поверхности сферической частицы характеризуется уравнением

3

( - f ) \ i n 0 (4-10)

т — 2 ‘ R

или при г — R:

После подстановки уравнения (4-11) под интеграл в уравнение (4-9) получим окончательно силу вязкого сопротивления:

Общая сила, действующая со стороны потока медленно движу­ щейся жидкости на сферическую частицу, определяется суммиро­ ванием уравнений (4-8) и (4-12):

4

F = -g- nR3pg + 2я^цгг>0 +

или

В уравнении (4-13) первый член правой части, как и в уравне­ нии (4-8), соответствует силе выталкивания, действующей даже в неподвижной жидкости, а второй член представляет собой пол­ ную силу сопротивления, проявляющуюся только в движущемся потоке. Величина 6л/?ра>о, таким образом, является кинетической составляющей силы F:

Уравнение (4-14) выражает закон Стокса. Полная сила сопротив­ ления при обтекании шарообразной частицы пропорциональна ко­ личеству движения и площади лобового сечения.

Отсюда коэффициент пропорциональности

Подставив значение f = яR2 и FK из уравнения (4-14) в уравнение (4-16), получим:

рw\nR2 pw0R

Уравнение (4-18) является законом сопротивления среды при ламинарном режиме движения (Re < 1).

При ламинарном движении частица (тело) окружена тонким, так называемым пограничным слоем (см. стр. 77) и плавно обте­ кается потоком (рис. 4-2).

Течение в пограничном слое

Рассмотрим второй предельный случай движения потока газа или жидкости при обтекании твердых тел, когда силы вязкости пренебрежимо малы, что справедливо при больших значениях числа Рейнольдса. В этом случае уравнения Навье — Стокса упро­ щаются на основании следующих рассуждений [2]: на некотором расстоянии от обтекаемого твердого тела вследствие малой вязко­ сти в потоке преобладают силы инерции, причем жидкость не скользит по поверхности тела, а как бы прилипает к ней. Переход от скорости, равной нулю, к скорости w0 на некотором расстоянии от обтекаемой поверхности происходит постепенно в пограничном слое, называемом иногда слоем трения. В этом слое градиент скорости dw/dy в направлении, перпендикулярном обтекаемой поверхности, очень велик, а поперечная составляющая скорости wy очень мала по сравнению с wx, и в уравнениях Навье — Стокса, записанных для двухмерного стационарного ламинарного погра­ ничного слоя несжимаемой жидкости

сказать, что давление мало изменяется в пределах от поверхности обтекаемого тела до границы пограничного слоя.

Течение за пограничным слоем можно считать потенциальным (т. е. безвихревым), так как влияние сил вязкости в этой области не проявляется. В таком случае распределение давления описы­

W x — W y — 0 и при у = б wx = w0.

Итак, при изучении движения вязких жидкостей следует учиты­ вать существование двух областей: 1) течение вне пограничного слоя, характеризуемое закономерностями для идеальных жидко­ стей (в этом случае можно пренебречь силами трения); 2) тече­ ние в пограничном слое, где следует учитывать силы трения, ко­ торые вызывают торможение слоев жидкости вблизи обтекаемой поверхности.

Пограничный слой при обтекании плоской тонкой пластинки (рис. 4-3) тем тоньше, чем меньше силы вязкости. Его толщину б(х) можно оценить, рассмотрев силы трения и вязкости. Если выделить в жидкости элементарный объем dxdydz, то сила инер­

111

Затем просуммируем силы трения, параллельные направлению движения потока:

Градиент скорости в направлении оси у можно выразить с по­ мощью толщины пограничного слоя wo/8, откуда сила трения про­ порциональна величине yw0/82. Тогда

где Rej — число Рейнольдса, в которое в качестве определяющего линейного размера входит длина обтекаемой пластины /.

Из уравнения (4-29) следует, что пограничный слой тем мень­ ше, чем больше значение числа Рейнольдса (или чем меньше вязкость).

Для оценки толщины пограничного слоя на основе точных ре­ шений уравнений Навье — Стокса (в случаях 1-й и 2-й задач Сток­ са для плоской стенки, внезапно приведенной в движение, или те­

при условии, что б < /, т. е. определяющего линейного размера (здесь V— кинематический коэффициент вязкости),

112 '

Например, если пластина длиной / = 0,1 м обтекается возду­ хом, имеющим температуру 20 °С, со скоростью 20 м/с, то значение числа Рейнольдса в этом случае будет равно:

2 0 - 0,1 • 1,2

1,33ІО5

0,018- ІО-3

где 1,2 — плотность воздуха, кг/м3; 0,018-ІО'3 —динамический ко­ эффициент вязкости, кг/(м-с). В соответствии с уравнением (4-29) относительная толщина пограничного слоя на конце пластины (рис. 4-3) будет иметь порядок б// да 1/365. Таким образом, влия­ ние вязкости проявляется в очень тонком слое у обтекаемой по­ верхности. Однако, несмотря на малую толщину пограничного слоя, его наличие существенно изменяет картину обтекания тела по­ током.

Система уравнений (4-21) и (4-22) называется уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Они справедливы для плоской стенки, но сравнительно легко могут быть использованы для кри­ волинейных поверхностей при условии, что радиус кривизны не изменяется очень резко.

Уравнение (4-21) в случае обтекания абсолютно гладкой непо­ движной тонкой пластины при установившемся пограничном слое (рис. 4-3) упрощается за счет dp/dx = 0, так как в условиях уста­ новившегося движения давление р в набегающем потоке постоянно.

зиуса), существующей для плоскопараллельных течений несжимае­ мой жидкости [2].

Решение задачи Блазиуса дает возможность вычислить также касательную составляющую напряжения вязкого трения на по­ верхности пластины. В окончательном виде получим:

т = 0,332 (4-3!)

где Re; = w0l/v, причем уравнение (4-33) применимо для расчета коэффициента сопротивления продольно обтекаемой пластины в

113

пределах значений Re; < 5- ІО5 -f- ІО6, т. е. для ламинарного тече­

ния.

При увеличении скорости потока жидкость, заторможенная в

пограничном слое, может оторваться от стенки.

Если давление вдоль обтекаемой поверхности возрастает, то

отрыв пограничного слоя (рис. 4-4). При отрыве пограничного слоя резко увеличивается его толщина.

Точка отрыва находится за точкой минимума давления, в ко­ торой д2ш/ду2 = 0 и т > 0. Если давление вдоль обтекаемой по­ верхности уменьшается постепенно (монотонно), то отрыва погра­ ничного слоя не возникает.

Рис. 4-5. Ламинарный и турбулентный пограничный слои (Re* > 10е).

Неравномерности и возмущения в набегающем потоке приво­ дят к неустойчивости ламинарного пограничного слоя и его пере­ ходу в турбулентный пограничный слой.

Аналогично турбулентным движениям в трубах, в турбулентном пограничном слое происходит перемешивание струек жидкости в поперечном направлении, за счет чего происходит выравнивание средних скоростей. Прилипание жидкости к обтекаемым поверхно­ стям приводит к возникновению значительных поперечных градиен­ тов скорости, что вызывает резкое увеличение поверхностных сил трения, а следовательно, и сопротивления трения. При этом сле­

114

дует учитывать, что сопротивление трения в турбулентном погра­

ления будет зависеть от места отрыва линии то­ ка жидкости от поверхности обтекаемой частицы, что в свою оче­

редь связано с формой и шероховатостью частицы, скоростью по­ тока и другими физическими свойствами системы.

ОСАЖДЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

технике и используется для разделения различных двухфазных или многофазных систем (жидкость — твердое, газ — твердое, жид­ кость — жидкость, твердое — твердое, жидкость — газ — твердое и т. д.). Физические характеристики движения, например, твердых частиц в среде жидкости или газа зависят не только от реологиче­ ских свойств системы, но и от многих других факторов, связанных главным образом с условиями обтекания (рис. 4-7), т. е. с теорией пограничного слоя, и с законом сопротивления.

Общий закон сопротивления среды

При количественном определении гидравлических сопротивле­ ний твердых частиц, движущихся в потоке жидкости или газа (или обтекаемых этим потоком), в первую очередь необходимо установить связь между потерей кинетической энергии и режимом движения.

* Уравнение_(4-33) представляет собой первый член ряда разложения по степеням 1 j ] / Rer При Re; = 10е второй член ряда составит 0,2% от первого члена. Уравнение (4-33) примет вид [2]:

1,328 [ 2,326

115

а

в

Рис. 4-7. Схемы обтекания тел различной формы в различных режимах:

а —цилиндр; б—пластинки с острыми краями (Re — оиЬр/ц= 10); в —пластинки с осірыми краями (Re=it)6p/p=250).

116