книги из ГПНТБ / Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии

пропорционален градиенту температуры. Аналогично по закону Ома поток электричества

пропорционален градиенту напряжения. Таким образом, процессы переноса количества движения, массы или теплоты могут быть смо­ делированы процессом переноса электричества. В подобном един­ стве различных процессов или явлений природы и заключена сила аналогий.

На принципе прямой аналогии основано действие так называе­ мых аналоговых машин (например, МН-7 или МН-11), при по­ мощи которых можно воспроизводить процессы, не заботясь даже о количественном их представлении, поскольку при решении урав­ нения, описывающего процесс, непосредственно устанавливается соотношение между изменениями скорости, концентрации и т. д. и изменениями напряжения электрического тока. Другими словами, аналоговая машина может управлять процессом или каким-либо объектом на основании полученной с помощью машины физиче­ ской величины, причем эта величина может использоваться для приведения в действие регулятора или другого управляющего ор­ гана и не подвергаться при этом измерению. Иногда аналоговые машины применяют для решения, в частности, дифференциальных уравнений, приведенных к безразмерному виду (причем оператор может и не интересоваться тем, какой реальный процесс это урав­ нение описывает). Аналоговая машина обычно выполняет только ту программу, которая в ней установлена (автоматическое измене­ ние части программы может производиться с помощью специаль­ ных устройств, причем разнообразие этих изменений по сравнению с цифровыми машинами невелико). Ценность аналоговых машин состоит в том, что с их помощью можно исследовать как непрерыв­ ный процесс изменения отдельных параметров, так и периодиче­ ский (на любой промежуточной стадии).

Аналоговые машины недостаточно универсальны, так как с их помощью удается воспроизводить только сравнительно простые модели (при большом числе нелинейных блоков трудно достижима необходимая точность решения).

В отдельных случаях прямые аналогии между разнородными явлениями позволяют установить физический механизм того или иного процесса. Например, широко известна так называемая трой­ ная аналогия, объединяющая явления переноса в потоке в резуль­ тате гидравлического сопротивления, тепло- и массообмена. Во всех трех случаях имеет место перенос в нормальном к поверхности по­ тока направлении: гидравлическое сопротивление определяется по­ перечным потоком количества движения, теплообмен — попереч­ ным потоком теплоты и массообмен — поперечным потоком ком­

18

блюдаться в газовой среде, так как в этих условиях перенос будет осуществляться отдельными молекулами или атомами, взаимодей­ ствующими только при соударении друг с другом. При переходе к жидкой среде строгая аналогия нарушается, вводятся поправки для компенсации этих нарушений. Количественные выражения аналогии между процессами переноса количества движения, теп­ лоты и компонента исследовались многими учеными — Рейнольд­ сом, Прандтлем, Кольборном, Мартинелли и другими [6]. Наиболее широко распространена а н а л о г и я Р е й н о л ь д с а .

Около 100 лет тому назад Рейнольдс [7] предположил, что су­ ществует прямая аналогия между процессами обмена количеством движения, выражающимися в гидравлическом сопротивлении, и теплообменом *. На основании подобия полей температуры и ско­ рости (в условиях достаточно высокой турбулентности потока) была установлена связь между коэффициентом теплоотдачи а и коэффициентом внешнего трения Я:

Я — коэффициент внешнего трения (безразмерный).

Аналогия Рейнольдса позволяет сопоставлять и взаимно кон­ тролировать результаты опытов при исследовании гидравлического сопротивления и теплообмена, а также определять значения коэф­ фициентов теплоотдачи по данным, полученным при изучении гид­ родинамики системы на «холодной» модели, в тех случаях, когда это необходимо.

Иногда зависимости между интенсивностью теплообмена и гид­ равлического сопротивления относят к так называемой гидродина­ мической теории теплообмена [8].

Льюис [9] независимо от Рейнольдса распространил аналогию между гидравлическим сопротивлением и теплообменом на перенос массы и установил связь между коэффициентами тепло- и массо­ отдачи:

где ß — коэффициент массоотдачи, м/с.

Аналогия Рейнольдса хорошо выполняется для турбулентных потоков газа (в ограниченном числе случаев — для турбулентных потоков жидкости) и совсем нарушается при ламинарном движе­ нии газов и жидкостей.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

В основе подобия находится однородная линейная зависимость между двумя независимыми переменными или двумя соответствен­

* Вопросами массообмена Рейнольдс не занимался.

9

Если такая зависимость существует между всеми соответствен­ ными величинами модели и образца (в любой точке), то подобие будет полным. В том случае, когда подобие имеет место по отно­ шению только к некоторым величинам, оно будет частичным или приближенным.

В общем случае две системы будут подобны, если для их опи­ сания имеется столько же зависимостей, сколько степеней сво­ боды, причем имеющие наиболее важное для подобия значение пе­ ременные величины могут быть объединены в следующие группы: 1) геометрические; 2) гидравлические (или гидродинамические); 3) тепловые; 4) диффузионные.

Так как любой процесс осуществляется в определенном геоме­ трическом контуре, то в первую очередь необходимо обеспечить геометрическое подобие.

Геометрическое подобие

В самом простом случае промышленный аппарат, например ба­ рабанную сушилку, можно характеризовать двумя определяющими

а

L, П t/м -I I2м

3

г \ '1 вП ^ .цгл

tla _ /

ьга

Рис. 2-1. Геометрическое подобие двух барабанных сушилок:

а —модель; б—образец (промышленный аппарат).

линейными размерами — диаметром D и длиной L. Очень часто в качестве основной геометрической характеристики такого аппа­ рата принимают отношение его длины к диаметру L/D.

Если рассматривать два аппарата (рис. 2-1), один из которых является моделью, а другой образцом (промышленным аппара­ том), то геометрическое подобие между ними может быть выра-

20

жено различными способами. Так, например, для подобных аппа­ ратов:

Величины L и D имеют одинаковую размерность, и их отноше­ ние является безразмерным, т. е. отвлеченным числом. Численное значение L/D для барабанных сушилок обычно принимается рав­ ным 5—7. В условиях подобия, выраженного равенством (2-8), зна­ чение іі будет неизменным и из-за своей неизменности называется и н в а р и а н т о м подобия“*. Инварианты подобия иногда назы­ вают также симплексами подобия ***. Инвариант подобия выра­ жает безразмерное отношение двух каких-либо размеров одного аппарата или модели.

При изучении процесса в сушилке, например, в сечении І—І на расстоянии I от загрузочного конца барабана, геометрическую сходственность точек модели и промышленного аппарата опреде­ лит равенство

для прототипа сходственный параметр /1а — 0,5L2. Таким образом, в сечении I — / и для модели и для промышленного аппарата ин­ вариант геометрического подобия р = 0,5. Для случая движения потоков в трубопроводах или аппаратах любых размеров обычно в качестве определяющего линейного размера берется диаметр трубы круглого сечения или эквивалентный диаметр некруглого сечения.

В геометрии подобие двух систем характеризуется с помощью коэффициентов подобия, показывающих, во сколько раз надо из­ менить все размеры одной из подобных систем, чтобы они совпали.

Если для рассматриваемой барабанной сушилки за единицу измерения длины или диаметра^ аппарата принять длину произ­

*Idem (id.) — тот же самый, одинаковый.

**От латинского invariantis (іпѵ.) — неизменяющийся. В математике под инвариантом понимается выражение, остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных.

*** Симплекс подобия в общем случае представляет собой отношение одноименных (однородных) величин (не только геометрических, но и физиче­ ских и других).

Инварианты подобия могут представлять собой также и безразмерные комплексы разнородных величин (обычно полученные в результате подобного преобразования дифференциальных уравнений, описывающих технологический процесс). Такие сложные инварианты-комплексы называют критериями или чис­ лами подобия.

21

отношения сходственных линейных размеров модели и промышлен­ ного аппарата будут постоянны:

реходным) множителем, показывающим, во сколько раз надо из­ менить размеры одного из аппаратов, чтобы оба аппарата совпали. Следует отметить, что при переходе к третьему аппарату (или си­ стеме) константа подобия будет иметь другое численное значение.

Константы и инварианты подобия существенно отличаются друг от друга.

1. При переходе от одного сечения аппарата к другому (или одной его точки к другой) в подобных системах инварианты по­ добия могут изменяться, а константы подобия остаются одинако­ выми. Например, в случае, когда промышленная сушилка и ее модель (рис. 2-1) характеризуются константой подобия

подобия С[ будут меняться, а инварианты останутся неизменными. Важным свойством геометрического подобия является взаимо­

заменяемость одноименных величин:

параметры, определяющие константы подо­ бия, могут быть заменены сходственными величинами.

Временное подобие

Если отношение между сходственными интервалами времени процесса, осуществляемого в двух системах, является постоянным, то в процессах соблюдается временное подобие, или гомохронность (однородность во времени).

22

Сходственными интервалами времени процесса являются интер­ валы, в течение которых завершаются аналогичные стадии (напри­ мер, удаление поверхностной влаги при высушивании в модели и промышленной сушилке одинакового материала) рассматриваемых процессов.

Временное подобие имеет место, если

где т',' х2, Tg, ... — интервалы времени в первом процессе; т", т", т", ... — интервалы времени во втором процессе, подобном пер­

вому; Сх — константа временного подобия, сохраняющая постоян­ ство для двух подобных процессов.

Частный случай гомохронности при Сх = 1 называется син­ хронностью (одновременным протеканием процессов).

Подобие физических величин

Кроме геометрического подобия и гомохронности при модели­ ровании необходимо обеспечить также подобие физических вели­ чин, характеризующих процесс. Для этого в случае подобных про­ цессов в сходственные моменты времени необходимо обеспечить постоянство отношений значений физических величин.

Например, пусть гидравлическое подобие потоков горячего га­ за, движущегося в сушилках навстречу влажному материалу (при соблюдении геометрического подобия и гомохронности), опреде­ ляется подобием скоростей потоков w, а также подобием плотно­ стей р и вязкостей р газа во всех сходственных точках системы. Тогда

23

для подобных процессов должно соблюдаться подобие полей * этих физических величин.

Так как скорость w представляет собой вектор, то одновремен­ но должно выполняться условие параллельности векторов в ка­ ждой паре сходственных точек обоих полей:

Подобие физических величин также может быть выражено с по­ мощью инвариантов подобия.

Например, если на входе в промышленную сушилку скорость газа Wg — 4 м/с, а в середине ее w' = 3 м/с, то в сечении, распо­

ложенном на половине длины сушилки

./ lw

Чтобы обеспечить подобие полей скоростей в промышленной сушилке и модели, необходимо соблюсти равенство инвариантов подобия і'ш= С ~ г'ш “ 0,75. Тогда, если принять скорость на входе в модельную сушилку равной ш" = 3 м/с, то на половине длины модели w" = w'giw — 3 • 0,75 — 2,25 м/с.

Подобие граничных и начальных условий

При теоретическом исследовании любого технологического про­ цесса на основе одного или нескольких физических законов состав­ ляют систему дифференциальных уравнений, описывающих этот процесс. Такая система уравнений устанавливает связь между про­ странственно-временными изменениями физических величин, ха­ рактеризующих изучаемый процесс в самом общем виде. Чтобы из общего описания целого класса однородных процессов выделить один конкретный, необходимо ограничить систему дифференциаль­ ных уравнений определенными условиями: 1) заданным распреде­ лением в пространстве (или объеме) важнейших для изучаемого процесса физических величин в начальный момент времени и 2) взаимодействием с окружающей средой на границах систем (на­ пример, распределением температур на поверхности проводящего тепло тела, равенством нулю скорости потока жидкости или газа

устенки трубопровода и т. п.). Эти условия называют начальными

играничными (краевыми).

бора нужного (единственного для данного конкретного случая) ре­ шения дифференциального уравнения теплопроводности [10] из мно­ жества возможных необходимо дополнить основное уравнение до­

* Полем физической величины называют совокупность мгновенных значе­

ний физической величины во всех точках объема или пространства, в котором происходит процесс.

24

полнительными условиями. Удовлетворять этим дополнительным условиям будет решение в виде зависимости t = f(x, у, z, т), где t — температура; х, у, z — координаты, т — время. Графически эту зависимость можно представить интегральной поверхностью (в четырехмерном пространстве). В этом случае краевые условия в общем виде можно представить, задав функцию К на пересечении с плоскостями координат х, у, z (граничные условия) и с времен­ ной плоскостью то (начальные условия). Краевые условия будут отражать состояние системы в какой-то произвольный момент вре­ мени, выбранный за начальный (т — 0). При этом следует отме­ тить, что для краевых условий не обязательно должна соблю­ даться непрерывность функции t = f(x, у, z, т) или некоторых ее производных.

Начальные условия К — f{x, у, z, 0) часто могут быть упро­ щены до t(x, у, г, 0) — to — const. Такому условию соответствуют, например, разогрев материала из «холодного» состояния или его охлаждение после работы в установившемся режиме и т. д. В от­ дельных случаях точным учетом начальных условий можно пре­ небречь (например, при нагревании или остывании стержня). Это относится также к распространению теплоты теплопроводностью в телах неправильной или произвольной формы — во всех таких случаях влияние начальных условий ослабевает с течением вре­

дача) имеют место, когда зависимость изменения температуры t =

— f{x, у, z, т) задана в виде функции t(x)\F = f'(x) в интервале времени то ^ т ^ Ѳ (где Ѳ— промежуток времени, в течение ко­ торого происходит исследование процесса) и необходимо найти ре­ шение, удовлетворяющее внутри области основному уравнению и принимающее на границе заданное значение f'(т). Граничные усло­ вия первого рода могут быть заданы сравнительно редко, так как температура среды К очень редко бывает близка к температуре поверхности стенки Кт (К ~ Кт только в случае интенсивных про­ цессов теплообмена на поверхности — кипении, конденсации, вы­ нужденном движении расплавленных металлов). Коэффициент теп­

26

Такие случаи имеют место при нагревании системы (или тела) посредством внешнего источника, когда температуры и свойства поверхности этого источника и нагреваемой системы могут изме­ няться во времени. При этом температура источника теплоты (и тепловой поток) может изменяться в зависимости от изменения температуры нагреваемой системы из-за взаимного излучения. Частным случаем граничных условий второго рода будет отсут­ ствие потока на поверхности (тепловая изоляция).

3. Граничные условия третьего рода (третья краевая задача соответствуют заданному линейному соотношению между произ­ водной dt/dn и зависимостью температуры стенки от температуры среды:

ность теплового взаимодействия среды и стенки.

Граничные условия третьего рода имеют широкое практическое применение для решения задач конвективного теплообмена на гра­ нице.

4. Граничные условия четвертого рода задают в случае неодно­ родности среды (многослойная система). Внутри каждого слоя

практике точное задание граничных условий при теплообмене с непосредственным соприкосновением невозможно вследствие боль­ шой сложности теплообмена (идут совместно конвекция, лучеис­ пускание и теплопроводность).

5. Кроме рассмотренных граничных условий, представляющих собой линейные задачи, часто имеют место так называемые нели­ нейные граничные условия (например, теплообмен при излучении):

А=™{т*~т1)

где Т — абсолютная температура; е — степень черноты; а — кон­ станта излучения.

В некоторых случаях задают смешанные граничные условия или рассматривают предельные случаи, соответствующие выро­ ждению граничных условий.

Граничные условия могут быть выражены в критериальной форме.

Система дифференциальных уравнений, дополненная началь­ ными и граничными условиями *, решается аналитически, однако

* Начальные и граничные условия для системы, имеющей определенные размеры и геометрическую форму, называют обычно условиями однозначности или краевыми,

26