книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

г) Перейдем к случаю, возможному лишь для неод­ нородного потока, когда над каждым требованием осу­ ществляется одновременно несколько операций. Будем считать, что для каждого из тех параметров, для кото­ рых rpi^'O, выделено несколько приборов, образующих обобщенные приборы. Обобщенный прибор с номером i независимо (а иногда — зависимо) от других изменяет в течение промежутка времени щ значение г-го парамет­ ра требования, причем существенно, что эти операции могут осуществляться в пересекающиеся интервалы вре­ мени. В качестве примера можно рассмотреть текущий ремонт кораблей, когда одна бригада производит, ска­ жем, окраску бортов, другая — ремонтирует двигатели, третья — проверяет приборы и т. п.

10. Пример обобщенного многофазного обслужива­ ния. Рассмотрим вначале, какой смысл можно придать в случае неоднородного потока. Основная особенность:

на каждой из фаз над обобщенным требованием выпол­

тается обслуженным полностью.

Очевидно, при mi=il, тj= 0 , (j=2,q) мы получим процесс типа последовательной обработки некоторой де­ тали. Дополнительное отличие от случая однородного потока лишь в том, что па каждой фазе обобщенный прибор может представлять многокаскадную систему.

дет к изменению обслуживания лишь на i-й фазе, при­ боры которой будут теперь обслуживать m-ки требова­ ний, тогда как на всех остальных фазах требования об­ служиваются по одному.

80

Если г= 1, m-ка состоит из тх требований. Получен­ ный процесс обслуживания можно интерпретировать так: на первой фазе из 1Щ элементов производится сборка

фазах некоторая деталь проходит необходимую обработ­

ниях величины rrii мы получаем обобщенные системы обслуживания типа сборочного конвейера, работа кото­ рого представляет собой некоторое чередование процес­ сов сборки (полуфабрикаты поступают с других конвей­ еров) и последовательной обработки получаемых узлов.

Здесь существенно, что «продукт» обслуживания m-ки требований на какой-то фазе при поступлении на следующую фазу рассматривается уже как одно требо­ вание, что обусловлено равенствами m= nij + \. Такое задание чисел т* позволяет хорошо описывать важные для практики процессы типа сборки. Но, разумеется, это не единственный способ задания чисел /п;. Например, в однородном случае мы задавали числа т* другим об­ разом, который пригоден и для неоднородного потока.

б) Для приведенных в разделе а) систем обслужи­ вания является .весьма существенным то ограничение, что обслуживание некоторого требования на любой фа­ зе, начиная со второй, может начаться лишь после окон­ чания обслуживания на предыдущей фазе. Это ограни­ чение является вполне естественным лишь в том случае, когда обслуживание на каждой из фаз зависит от ре­ зультата обслуживания на предыдущей.

Операции, составляющие процесс обслуживания, мож­ но разделить на два класса: .ведущие и ведомые [16]. К последним относят те, которые могут начаться после окончания первых. Например, пока не выделены тран­ спортные средства, не может начаться погрузка.

Если же операции являются независимыми, то они могут начинаться в произвольные моменты времени.

После окончания обслуживания по одному из парамет­ ров может начаться ведомое этой операцией обслужива­ ние, тогда как та операция, которая не зависела от ве­ дущей, может еще продолжаться произвольное время.

Мы замечаем, что в таких системах обслуживания понятие «фаза обслуживания» теряет определенность. Поэтому, рассматривая принципы формализации произ­ водственных процессов поточного изготовления штучных изделий, можно представлять эти процессы в виде после­ довательности конечного числа операций нескольких (трех) видов, ничего не говоря о раздельных по времени выполнения фазах обслуживания.

Укажем также, что если рассмотреть достаточно

над полуфабрикатами могут одновременно проводиться несколько операций, последующие операции могут на­ чаться, когда некоторые из предыдущих еще не закон­ чены, и т. д., и т. п. Видимо, на современном этапе со­ стояния науки еще преждевременно стремиться к раз­ работке универсальных принципов формализации произ­ вольных процессов, встречающихся в различных обла­ стях человеческой практики. Более правильным путем к этой цели будет детальное изучение основных типов таких процессов, аналогичное тому, что проделано в только что цитированной работе для важного класса процессов поточного изготовления штучных изделий. Именно с этой точки зрения и следует расценивать вве­ денное здесь понятие обобщенного обслуживания.

В заключение укажем на литературу, где читатель смог бы найти ответ на многие вопросы, которые у него могут появиться в процессе чтения этой части [35, 47, 48, 52, 67, 83, 116, 117, 119, 123, 151, 152, 166, 188].

§ 1.5. Агрегативные системы

На практике нередко реальные системы оказываются слишком сложными для того, чтобы их можно было опи­ сать при помощи рассмотренных выше типичных мате­ матических схем. В таких случаях реальный объект дол­ жен быть расчленен на элементы, число которых не обя­ зательно мало, но зато каждый элемент уже доступен для описания одной из типичных математических схем

[45].

82

Естественно, что при этом подходе элементы системы могут оказаться представленными в виде различных ма­ тематических схем: один как конечный автомат, другой как система массового обслуживания, третий как веро­ ятностный автомат и т. д.

Нет необходимости подчеркивать, что для системы, элементы которой описаны столь разнородно, вряд ли возможно использовать единый метод исследования. По­ этому при описании систем, состоящих из большого чис­ ла элементов, стремятся выбрать для формализации по­ следних универсальные математические схемы, охваты­ вающие упомянутые выше как частные случаи.

В настоящее время наиболее употребительной универ­ сальной схемой является агрегат [13]. Для агрегатов строятся удобные имитационные модели, а для одного из классов — кусочно-линейных агрегатов [3] и вполне обозримые аналитические методы, базирующиеся на ап­ парате теории марковских случайных процессов.

В настоящем параграфе рассматривается математи­ ческая модель для описания элементов системы в виде агрегатов, а также для сопряжения элементов в единую сложную систему.

1. Математическая модель агрегата. Агрегат — до­ статочно общая математическая модель элементов слож­ ной системы— позволяет на едином языке представлять описания детерминистических и стохастических объектов, функционирующих как в непрерывном, так и в дискрет­ ном времени (реально-контактных схем, конечных и вероятностных автоматов, систем массового обслужива­ ния и т. д.). В конечном итоге модели весьма широкого класса сложных систем описываются композицией со­ пряженных агрегатов.

Агрегат как унифицированный элемент характеризу­ ется множествами моментов времени Т, состояний в каж­ дый момент времени Z, входных X и выходных Y сигна­

деляется динамическими свойствами самого агрегата и входными сигналами. Предположим, что поведение моде­

ли в случае воздействия входного сигнала хп описывает­ ся оператором V. Тогда состояние z(tn + 0), где tn— мо­ мент поступления в агрегат входного сигнала хп, tneT , можно определить из выражения

Если интервал (tn, tn+\) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t^ (tn,tn+1] состояние аг­ регата определяется оператором

то является моментом выдачи выходного сигнала, опре­ деляемого оператором выходов

жеств Т, X, Z, Z(Y\ Y и случайных операторов V, U, G полностью задает агрегат как динамическую систему.

Таким образом, процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояния в моменты поступления входных сигналов (оператор V) и изменений состояния между этими моментами (оператор U). Заметим, что на оператор U никаких ограничений мы не накладывали. пЗоэтому допустимы скачки состояния в некоторые мо­ менты времени, не являющиеся моментами поступления [входных сигналов. При практическом использовании аг­ регатов часто такими моментами являются моменты вы­ дачи выходных сигналов (выхода состояния на границу подмножества Z(Y>) и некоторые другие. В дальнейшем моменты скачков будем называть «особыми» моментами времени. Для описания скачков состояния в особые мо­ менты времени t*, не являющиеся моментами поступле­ ния входных сигналов, используем операторы

представляющие собой частные случаи оператора U, Обозначение U оставим для оператора, определяющего

84

поведение агрегата в интервалах времени между особы­ ми моментами.

о д н о р о д н ы х с о б ы т и й , п о с т у п а ю т з а д а ч и .^ З а д а ч а , п о с т у п и в ш а я в м о ­

з а я в к а н а п р а в л я е т с я в о ч е р е д ь и н а х о д и т с я т а м не б о л е е ч е м V j =

в э т о т м о м е н т в ы ч и с л и т е л ь н а я м а ш и н а з а н я т а ( z 2 ( ^ ) > 0 ) — д а н н а я

д е л я ю т с я , з а д а ч а п о с т у п и в ш е й з а я в к и п р и н и м а е т с я к о б с л у ж и в а н и ю .

85

Р а с с м о т р и м и з м е н е н и я к о о р д и н а т с о с т о я н и я в и н т е р в а л е м е ж ­

в э т о т м о м е н т з а я в к а п о к и д а е т с и с т е м у и п р и н и м а е т с я к о б с л у ж и ­

о с т а е т с я р а в н ы м н у л ю д о п о с т у п л е н и я н о в о й з а я в к и и п р и н я т и я

д о м о м е н т а п о с т у п л е н и я н о в о й з а я в к и и ее п р и н и м а е т к о б с л у ж и ­

и с т е к а е т в р е м я о ж и д а н и я о д н о й и з з а я в о к , н а п р и м е р 1-й, ч и с л о з а я ­

86

в а г р е г а т в х о д н ы х с и г н а л о в и в ы д а ч и а г р е г а т о м в ы х о д н ы х с и г н а л о в ,

В ы х о д н ы м и с и г н а л а м и а г р е г а т а б у д е м с ч и т а т ь с о в о к у п н о с т ь х а р а к ­ т е р и с т и к з а я в о к , п о к и д а ю щ и х с и с т е м у .

t,* о п р е д е л я е т с я и з с о о т н о ш е н и я Z i 0 i * ) = 0 . Э т о о з н а ч а е т , ч т о о б ­

с л у ж и в а н и е о ч е р е д н о й з а я в к и з а к о н ч и л о с ь . В м о м е н т О * а г р е г а т в ы ­

Э т о о з н а ч а е т , ч т о в р е м я о ж и д а н и я в о ч е р е д и о д н о й из з а я в о к и с т е к ­

об с л у ж и в а н и я .

Стеоретической и 'практической точек зрения суще­ ственную роль играет один важный класс агрегатов — кусочно-линейные агрегаты [3], для анализа которых не только строятся компактные имитационные модели, до­ статочно просто реализуемые на ЭВМ, но и используют­ ся аналитические методы, основанные на теории марков­ ских случайных процессов {20]. Однако описание слож­ ной системы не исчерпывается описанием ее элементов, кроме этого, для решения задач композиции сложных си­ стем и анализа их структуры требуется описание взаимо­ действия между элементами [131, 141, 142, 160].

87

2. Математическая модель сопряжения элементов в сложной системе. Математическая модель сложной си­ стемы, помимо формального описания элементов систе­ мы, обязательно включает формальные описания взаи­ модействия между элементами.

Возможность достаточно полно и точно описать взаи­ модействие между элементами системы особенно суще­ ственна для решения на ЭВМ таких задач, как анализ структуры управления предприятиями и отраслями на­ родного хозяйства, анализ сложных электронных схем, технологическая подготовка производства изделий элек­ троники и т. и. ,[21].

С практической точки зрения для упомянутого класса сложных систем взаимодействие между элементами си­ стемы достаточно рассматривать в рамках механизма обмена сигналами [141], который включает, в частности, в качестве одной из основных составляющих модель со­ пряжения элементов системы сетью каналов связи, обебпёчйвающих передачу сигналов между ними.

При построении этой модели сопряжения элементов нас не интересует процесс функционирования элемента как динамической системы, нас интересуют только такие свойства элемента, которые существенны для сопряже­ ния его с другими элементами системы и внешней средой.

В качестве примера рассмотрим систему S, состоя­ щую из N элементов. На вход элемента Cj, где / = 1,.., N, могут поступать входные сигналы х^\ принадлежащие некоторому множеству ДО> (множеству входных сигна­ лов элемента Cj), т. е. ДО')еДО). Выходные сигналы эле­ мента Cj обозначим y(i\ причем г/(б)еДО) (ДО) — множе­ ство выходных сигналов элемента Cj).

Прежде чем продолжить дальнейшую формализацию механизма сопряжения элементов, введем ряд предполо­ жений, концентрирующих интуитивные представления о закономерностях функционирования системы, хорошо согласующихся с опытом для рассматриваемого класса реальных систем [142].

а) Первое из них относится к способу формального

рассматривать как совокупность «элементарных сигна­ лов» X i ( t ) , x2(t), ..., xn(t), одновременно возникающих на входе элемента; аналогично выходной сигнал у ^ Х —

88

как совокупность элементарных сигналов tji(t), i=

= 1, 2, ..„г.

Поэтому первое предположение формулируется сле­ дующим образом. Для описания сигнала достаточно не­ которого конечного набора характеристик. Действитель­ но, тексты донесений, поступающих от управляемых объ­ ектов в пункт сбора информации АСУ, представляют со­ бой совокупности конечного числа букв и цифр, полуфаб­ рикаты в производственном процессе с достаточной точ­ ностью можно характеризовать конченым числом пара­ метров (размеры, характеристики материала, температу­ ра и др.) и т. д.

б) Элементарные сигналы передаются в системе не­ зависимо друг от друга по элементарным каналам. Каж­ дый элементарный канал, подключенный к выходу эле­ мента Cj, предназначен только для передачи уДЩ), име­ ющих фиксированный индекс г. Если вход элемента Cj состоит из nj входных контактов, то контакт Х{ прини­

Tj выходных контактов. Контакт УД) выдает элементар­ ные сигналы yP {t), i= 1, 2, . .., г,.

Элементарные сигналы, выдаваемые данным выход­ ным контактом, передаются некоторому входному кон­ такту другого (или того же) элемента лишь в том слу­ чае, когда в системе имеется элементарный канал, сое­ диняющий упомянутые контакты.

в) Переходя к построению модели сопряжения эле­ ментов в системе, необходимо учитывать о г р а н и ч е ­ ния, налагаемые на вид сети элементарных каналов, сое­ диняющих входные и выходные контакты элементов си­ стемы. Например, если допустить, что к входному кон­ такту некоторого элемента системы ;будет подключено несколько элементарных каналов, идущих от различных выходных контактов, то поведение этого элемента будет неопределенным из-за неоднозначности входного сигна­ ла за счет появления па его входе в данный момент вре­ мени нескольких сигналов, поступающих из разных источников. Аналогичная ситуация возможна также и при наличии неучитываемого дублирования при передаче элементарных сигналов.

Для того чтобы исключить подобные случаи, необхо­ димо учитывать третье предположение. Ко входному контакту любого элемента системы подключается не бо­

89