книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

д о л ж е н б ы т ь р а в е н £ — Xk- Е с т е с т в е н н о , к а к б ы ни б ы л о в ы б р а н о зн а ч е н и е Xh и к а к и е б ы з а т р а т ы с р * . в с л е д с т в и е э т о г о не в о з н и ­

к а л и на k - u з а в о д е , м ы п о с т а р а е м с я и с п о л ь з о в а т ь п р е д ы д у щ и е (к— 1) з а в о д о в т а к , ч т о б ы з а т р а т ы на п р и р о с т м о щ н о с т и £— Xh на

б е р е м зн а ч е н и е Xk м е ж д у н у л е м и м е н ь ш и м из з н а ч е н и й £ и тк та к , ч т о б ы э т а с у м м а п р и н я л а н а и м е н ь ш е е в о з м о ж н о е з н а ч е н и е . Э т о п р и в о д и т н а с к р е к у р р е н т н о м у с о о т н о ш е н и ю

ти о п т и м а л ь н о е р е ш е н и е — о п т и м а л ь н ы е п р и р о с т ы п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ н о с т е й , а з а т е м и с а м и п р о и з в о д с т в е н н ы е м о щ н о с т и п р е д п р и я ­

п р о и з в о д с т в е н н а я м о щ н о с т ь к о т о р о г о р а в н а 20 е д и н и ц а м п р о д у к т а в г о д . П р е д у с м а т р и в а е т с я у в е л и ч е н и е п р о и з в о д с т в а п р о д у к т а д о 100 е д и н и ц в г о д , т. е. 13 = 100. У в е л и ч е н и е п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ н о ­

210

0s£Xi<20, 20s£ X 2^60,

0<Х3==£50, 0<X4s£30,

т. е. д е й с т в у ю щ и м я в л я е т с я в т о р о й з а в о д . Э к о н о м и с т ы п о д с ч и т а л и т а к ж е з а т р а т ы , с в я з а н н ы е с о с т р о и т е л ь с т в о м и р е к о н с т р у к ц и е й п р е д ­ п р и я т и й , к а к ф у н к ц и и и х п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ н о с т е й — о н и п р и в е ­ д е н ы в т а б л . 21.

Таблица 21

З а т р а т ы на п р и р о с т п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ н о с т е й п р е д п р и я т и й

и ч е т в е р т а я с т р о к и т а б л . 21 и 22 с о в п а д а ю т , а в т о р а я с т р о к а т а б л . 22 п о л у ч а е т с я из в т о р о й с т р о к и т а б л . 21 к а к

с т в е н н о г о з н а ч е н и я а р г у м е н т а £ = 8 0 . П о л у ч а е м 7 ч ( 8 0 ) = 4 6 , п р и т о м Х * 4 = ! 4 ( 8 0 ) = 2 0 .

Р у к о в о д с т в у я с ь и з в е с т н ы м и п р а в и л а м и , из т а б л . 27 н а х о д и м

Х*3 = Хз(Ь—Х*ь) =Х3(8 0 — 2 0 ) = Я 3 (6 0 ) = 0 ,

а п о т а б л . 24 о п р е д е л я е м

Х*г=Х2(Ь—Х*i—X*s) = ^ 2 ( 8 0 — 2 0 — 0 ) = Я 2 (6 0 ) = 0 ,

212

Т а б л и ц а 25

п о с л е ч е г о п о л у ч а е м

X * i = 6 — (2Г*4 + Х * 3+ Х * 2) = 8 0 — (2 0 + 0 + 4 0 ) = 2 0 .

С л е д о в а т е л ь н о , о п т и м а л ь н ы е п р и р о с т ы п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ ­ н о с т е й

* * i = 2 0 , Х * 2= 4 0 , Х * 3= 0, Х * 4 = 20,

и т а к к а к т о л ь к о в т о р о й з а в о д и м е л н а и м е н ь ш у ю п р о и з в о д с т в е н н у ю м о щ н о с т ь в 20 е д и н и ц , а о с т а л ь н ы е з а в о д ы д о л ж н ы с т р о и т ь с я , т о

д у ю щ е м п л а н е р а з в и т и я и р а з м е щ е н и я п р о и з в о д с т в е н н ы х м о щ н о с т е н

* , = 20, * 2 = 60, Я 3 = 0 , * 4 = 20.

И т а к , м о щ н о с т ь д е й с т в у ю щ е г о з а в о д а с л е д у е т д о в е с т и д о м а к с и ­ м а л ь н о й в ел и ч и н ы 60 е д и н и ц , т р е т и й з а в о д не с т р о и т ь , а п е р в ы й и ч е т в е р т ы й з а в о д ы п о с т р о и т ь м о щ н о с т ь ю п о 20 е д и н и ц .

§ 2.8. Стохастические модели оптимизации

Нередко возникают ситуации, когда отдельные (или все) параметры показателя качества и ограничений мо­ гут оказаться неопределенными и случайными. Например, работа автоматических устройств обычно сопровождает­ ся непредвиденными помехами, статистические законо­ мерности которых не всегда могут быть учтены и опре­ делены при вычислении управляющих воздействий. В одних случаях опыт, статистика и исследование про­ цессов, определяющих изменение исходных данных, поз­ воляют устанавливать те или иные вероятностные харак­ теристики параметров задачи. В других случаях нет

21 4

оснований для каких бы то ни было суждений о стати­ стических закономерностях явлений, способных изме­ нить предполагаемые значения параметров задачи. Си­ туации, соответствующие первому случаю, называются ситуациями, связанными с риском. Ситуации второго типа называются неопределенными.

Раздел линейного программирования, изучающий методы решения задач в условиях риска или неопреде­ ленности, называется стохастическим программировани­ ем {2, 38].

Рассмотрим пример задачи линейного стохастическо­ го программирования [175]. Пусть а,-;- — количество ре­ сурса I, требуемого для изготовления одной детали типа /, где под ресурсом i понимается некоторый вид сырья, либо время, требуемое рабочему. Пусть bi — количество ресурса г, имеющееся в наличии. Обозначим через pi доход на одну деталь j после вычета стоимости сырья. Пусть х; — количество деталей /, которое должно быть выпущено предприятием.

Тогда получаем задачу. Найти

/=i

В этой задаче время, требуемое мастеру на изготовле­ ние детали типа /, будет изменяться от человека к че­ ловеку и, для данного рабочего, от детали к детали. Подобным же образом количество сырья, требуемого для детали /, не постоянно, а меняется от детали к де­ тали. Следовательно, количество сырья, используемого при изготовлении одной детали, а также время, требуе­ мое для ее изготовления, могут быть описаны случайны­ ми величинами, т. е. можно сказать, что технологические коэффициенты Oij— действительно случайные величины; а сформулированная задача является задачей стохасти­ ческого линейного программирования.

Естественный на первый взгляд путь анализа задач стохастического программирования — замена случайных параметров их средними значениями и вычисление опти­ мальных планов полученных таким образом детермини­ стических задач — далеко не всегда приводит к прием­ лемому решению. Отсюда необходимость разработки

моделей управления в условиях неполной информации п методов, позволяющих их исследовать.

Литература по стохастическому программированию состоит из ряда статей, посвященных частным линейным экстремальным задачам со случайными параметрами в матрицах условий, векторах ограничений или целевых функциях, н небольшого числа работ, в которых пред­ принимаются попытки связать постановки задач стоха­ стического программирования с различными характери­ стиками информационной структуры исследуемой си­ туации.

В постановках стохастических задач должно быть оговорено не только то, что следует понимать под пла­ ном задачи, но и то, что следует подразумевать под решением задачи. В связи с этим представляет интерес классификация задач стохастического программирова­ ния по показателю качества решения задачи.

Естественно рассматривать следующие показатели качества решения стохастических задач линейного про­ граммирования:

1)математическое ожидание величины линейной формы;

2)дисперсия линейной формы;

3)линейная комбинация математического ожидания

идисперсия линейной формы;

4)вероятность превышения линейной формы некото­ рого фиксированного порога;

5)математическое ожидание функции полезности линейной формы;

6)максимин линейной формы (причем максимум берется по множеству планов X, а минимум по допусти­ мым значениям набора случайных параметров, опреде­

ляющих реализацию случайных элементов условий за­ дачи) и т. д.

Задачи стохастического программирования делятся также на статические и динамические. В статических задачах стохастический характер условий определяется случайньши величинами, в динамической— случайными функциями или случайными последовательностями. Зако­ номерности изменения статических характеристик слу­ чайных функций или случайных последовательностей должны учитываться как в постановке задачи, так и при построении методов анализа. Оптимизация динами­ ческих вероятностных моделей, порожденных марковски-

216

ми процессами или марковскими последовательностями,

называется марковским программированием [38].

Анализ линейных марковских моделей [20, 43] услов­ ных экстремальных задач [99] сводится к решению задач линейного программирования.

Интерес к решению оптимизационных, хотя бы линей­ ных, задач со случайно варьируемыми параметрами в последнее время резко возрос еще и в связи с двумя следующими моментами:

—потребностями практики, уже не удовлетворяю­ щейся простейшими моделями, где параметры считаются фиксированными;

—успехами математики, наметившей в последние годы эффективные, в некотором смысле, методы решения задач.

Однако трудности в стохастическом программирова­ нии начинаются раньше, задолго до решения задачи. Они связаны с ее постановкой. Следуя [174], рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной форме

(2.22) — (2.24).

Минимизировать функционал сХ при ограничениях

Предположим далее, что векторы b и с, а также матрица А не фиксированы и могут меняться случайно, независи­ мо от нас (а в зависимости от «состояния природы» А(со)). Тогда, для того чтобы задача (2.82) имела смысл необходимо ответить на следующие три вопроса:

1. Как понимать вектор А — должен он тоже быть случайным (т. е. каждому ю отвечает свое решение А(со)), определяемым стандартными правилами линей­ ного программирования по с(ш), Ь(со), Л (и), или детер­ министическим, не меняющимся при случайных вариа­ циях с, Ь, А?.

2.Как понимать минимизацию целевой функции сХ? Как минимизацию абсолютную, для всех со, или мини­ мизацию математического ожидания ее, или минимиза­ цию какой-либо другой ее вероятностной характеристи­ ки?

3.Как понимать выполнение ограничений? Опятьтаки абсолютно для всех со, или в среднем, или допус­ тить их нарушение с малой вероятностью и т. п.?

При решении этих вопросов приходится исходить не из математических соображений, а из физического смыс­

217

ла задачи. Если, например, задача (2.82) относится к оперативному планированию функционировании пред­ приятия, то изменяющиеся условия требуют изменения решения, и вектор А" должен рассматриваться как слу­ чайный. Если же решается задача проектирования пред­ приятия, то необходимо принять детерминистическое решение, хотя и учитывающее возможные случайные изменения параметров (программы предприятия, поста­ вок, цен и пр.).

Абсолютная минимизация целевой функции часто не­ достижима (если, например, координаты вектора с могут принимать, хотя с малой вероятностью, сколь угодно большие по абсолютной величине значения) и всегда слишком перестраховочна, т. е. учитывает чрезвычайно маловероятные реализации параметров.

Минимизация «в среднем» тоже мало приемлема в ряде задач, например, нас вряд ли устроит сельско­ хозяйственная политика, дающая высокий средний уро­ жай, но с резкими колебаниями от года к году, от неуро­ жая к «сверхурожаю», по-видимому, лучше выбирать планы, отвечающие меньшему среднему урожаю, но бо­ лее стабильные.

Наконец, нередко ограничения записываются условно, небольшое их нарушение не приносит вреда, но позволя­ ет существенно улучшить значение целевой функции. Например, если "бы строили плотины, рассчитанные на все возможные теоретически паводки, то они стоили бы баснословно дорого. Практически маловероятные павод­ ки, встречающиеся раз в тридцать—-сорок и более лет, не учитываются, а когда они наблюдаются, применяют специальные меры по борьбе с ними.

Соответственно, задачи стохастического линейного программирования определяются условиями:

вектор X — случайный;

вектор X — детерминистический.

Вдальнейшем ограничимся вторым условием.

Взависимости от трактовки ограничений задачи раз­

личаются на задачи с:

—осредненными ограничениями;

—жесткими ограничениями (т. е. должны выпол­

няться для всех to);

—вероятностными ограничениями (т. е.

Р(АХ^Ь, А > 0 ) > 1 —у).

218

Существует наиболее гибкое понимание ограничений, предложенное Данцигом. Оно получило название «двух­ этапной» постановки задачи и заключается в следующем.

вектор Г{т- е- A X + Y = b ) , включаемый в целевую функ­ цию со «штрафными» коэффициентами.

Первый этап задачи заключается в выборе Y, мини­ мизирующего этот «штрафной» добавок:

min qY,

Y

который становится функцией от X и «состояния приро­ ды» ю. После определения по ш приходим к функции Ф(Х) и на втором этапе выбираем такую величину X (предполагавшегося фиксированным), которая миними­ зирует Ф(Х):

minФ(Х) .-= min / (сХ -ф min qY)

Y

Второй этап, таким образом, приводится к задаче безусловной минимизации, однако трудность состоит в том, что явного выражения для Ф(Х) получить не уда­ ется.

219