книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

Знакомство с типичными математическими схемами мы начнем с обыкновенных дифференциальных уравне­ ний, обратив особое внимание на уравнения, описываю­ щие системы автоматического регулирования (управ­ ления) .

§ 1.2. Системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями

1. Вводные замечания. В системотехнике, наряду с другими классическими системами, существенную роль играют системы, работающие в непрерывном времени и описываемые обыкновенными дифференциальными урав­ нениями.

Дифференциальными уравнениями можно представ­ лять явления различной природы: механические, элек­ трические, экономические и т. п. Например, малые коле-

\

-А

в\

с

бания маятника (рис. 1) описываются дифференциаль­ ным уравнением

Уравнение (1.1) является математической моделью так называемых свободных колебаний маятника. Из нее можно получить все интересующие нас сведения о дви­ жении маятника, например определить период колеба­ ния

Аналогично, анализ процессов в электрическом коле­ бательном контуре (рис. 2) сводится к исследованию

20

дифференциального уравнения

Здесь q — мгновенная величина заряда на обкладках конденсатора.

Из уравнения (1.3) также можно получить все инте­ ресующие нас сведения об исследуемом процессе, напри­ мер, период электрических колебаний:

Сравнивая уравнения (1.1) и (1.3), а также (1.2) и (1.4), видим, что они по существу одинаковые, если / заменить на L, g — на 1/С, а 0 — на q. Таким образом, совершенно разные явления могут описываться диффе­ ренциальными уравнениями одного и того же вида, а именно — дифференциальными уравнениями второго порядка:

щенной координатой является угол отклонения от

системы. В случае вынужденного движения системы правая часть уравнения отлична от нуля:

налом системы. Состояние системы у в данном случае можно рассматривать и как выходной сигнал системы (точнее, считать, что выходной сигнал совпадает с со­ стоянием системы в данный момент времени). Значение

*> Термин «движение системы» трактуется как любое изменение состояния системы: пространственные перемещения маятника, пере­ ходные процессы в колебательном контуре и т. п.

21

регулируемой (выходной) координаты // определяется из уравнения (1.6) вынужденного движения системы, го есть значение у зависит от формы функции .г, точнее, и

от формы функции л;.

Для пояснения изложенного выше рассмотрим в ка­ честве примера электрическую LC-цепь (рнс. 3) с вклю­ ченным в нее источником e\t). Уравнение движения си­

Функция e(t) является управляющим (входным) сигна­ лом системы. Регулируемый сигнал q является функцией входного сигнала и параметров системы. В качестве выходного сигнала данной си­ стемы может быть использо­ вано напряжение на любом участке цепи, например, про­ порциональное q напряжение

конденсатора uc = q/C.

Мы рассмотрели матема­ тические модели двух про­ стых систем — механической и электрической. Обыкно­

венными дифференциальными уравнениями описываются многие экономические и биологические процессы (урав­

Методика составления дифференциальных уравнений для описания тех или иных процессов обычно рассматри­ вается в соответствующих дисциплинах (механике, элек­ тротехнике, экономике и т. д.).

В системотехнике важную роль играет проблема управления системами. Она тесно связана с выбором функций, формирующих правую часть уравнений таким образом, чтобы движение системы соответствовало бы желаемому, было оптимальным с некоторой точки зре­ ния. С этой точки зрения мы должны обратить внимание на системы автоматического управления. Они являются частным классом сложных систем, описываются диффе­ ренциальными уравнениями и выделяются в отдельный класс в силу их практической специфики.

Системотехников при решении проблемы управления сложными системами интересуют, в первую очередь, во­ просы устойчивости и точности управления. Остановим­ ся подробнее на этих вопросах.

22

2. Математическое описание систем автоматического управления. При описании процессов автоматического управлении придерживаются обычно схемы (рис. 4), со­ гласно которой реальный объект состоит из двух взаимо­ действующих подсистем: управляемой и управляющей

мпруется так, чтобы осуществлялось приближенное ра­ венство ошибки

В реальных условиях к системе, кроме задающего воз­ действия x(t), которое несет информацию, необходимую для управления, поступают возмущающие воздействия r(t), не содержащие полезной информации. Воз­ мущающие воздействия нарушают требуемую функцио­ нальную связь между задающим воздействием и зако­ ном изменения выходной координаты. Они могут значи-

23

тельно исказить полезную информацию и даже сделать систему неработоспособной.

На рис. 4 приведена схема автоматического управ­ ления по одной координате состояния системы (одно­ мерная система управления), в общем случае, управле­ ние в системе может производиться по нескольким коор­ динатам (я-мериые системы, рис. 5).

Исследование многомерных систем сложнее с вычи­ слительной точки зрения, однако принципиальная сторо­ на методики исследования не зависит от числа коорди­ нат состояния системы, поэтому будем анализировать одномерные системы управления [53, 54, 55].

В качестве управляемой системы (управляемого объекта) может фигурировать, например, отдельный дви­ гатель, атомный реактор, цех завода, завод и т. п. Управляющая система — это совокупность технических средств, обеспечивающих выполнение управляемой си­ стемой определенной цели. Насколько точно управляемая система достигает заданной цели, можно судить по ко­

Если предписанный закон изменения управляемой ве­ личины соответствует закону изменения задающего воз­ действия, т. е. х (t) =Уз {t), то

Системы, для которых ошибки управления s (t) равны нулю во все моменты времени, называются идеальными. На практике осуществление идеальных систем управле­ ния невозможно: ошибка гЦ) — необходимый субстрат управления, основанного на принципе отрицательной об­ ратной связи, так как для приведения в соответствие выходной величины y(t) ее заданному (желаемому) зна­ чению используется информация об отклонении между ними.

Задачей системы автоматического управления являет­ ся изменение переменной y(t) согласно заданному зако­ ну с определенной точностью (с определенной ошибкой). При проектировании систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы, которые обеспечили бы требуехмую точность управления. Кроме

24

Системы автоматического управления вследствие са­ мого принципа их действия, благодаря которому часть энергии с их выхода может возвращаться на вход, явля­ ются системами, склонными к колебаниям. При появлении какого-либо возмущения или изменении управляю­ щего воздействия система приходит в движение. Устой­ чивая система при установившихся значениях управ­ ляющих и возмущающих воздействий, спустя некоторое время, вновь приходит к установившемуся состоянию равновесия, а неустойчивая система, придя в движение, не приходит к установившемуся состоянию равновесия, а отклонение ее от состояния равновесия будет либо все время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в фор­ ме постоянных незатухающих колебаний. Поэтому для удовлетворительной работы системы автоматического управления прежде всего необходимо, чтобы она была устойчива. Отметим, что требование устойчивости долж­ но удовлетворяться с некоторым запасом, предусматри­ вающим возможные изменения параметров системы во время ее работы.

Если система устойчива, то представляет практиче­ ский интерес поведение системы в динамике: максималь­ ное отклонение регулируемой величины y(t) в переход­ ном процессе, время переходного процесса и т. п.

Выводы о свойствах систем автоматического управле­ ния различных классов можно сделать по виду диффе­ ренциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального урав­ нения и значения его коэффициентов полностью опреде­ ляются статическими и динамическими параметрами си­ стемы и ее структуры. В общем случае, непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями в полных или частных производных. Дискретные систе­ мы — дифференциально-разностными уравнениями. Ли­ нейные или нелинейные непрерывные (дискретные) си­ стемы автоматического управления описываются соот­ ветственно линейными или нелинейными уравнениями. Как линейные, так и нелинейные системы (непрерывные или дискретные) могут быть стационарными или неста­ ционарными, с сосредоточенными или распределенными параметрами. Стационарные системы описываются диф­

25

ференциальными уравнениями с постоянными коэффици­ ентами. Если система нестационарна, коэффициенты уравнений являются функциями времени.

Приведенная классификация систем автоматического управления по способу их математического описания является весьма условной. На практике в системах автоматического управления редко приходится иметь дело с режимами работы, которые значительно отлича­ ются друг от друга. Чаще всего существует какой-то один типичный режим для данной системы и реальный режим функционирования системы группируется около этого режима. Это обстоятельство часто используют для значительного упрощения математической модели.

Рассмотрим систему автоматического управления, ко­ торая описывается дифференциальным уравнением об­ щего вида

где уп и хт— обозначают производные по времени п-го порядка от функций у и х соответственно. Пусть систе­ ма, описываемая уравнением (ЕЮ), работает в некото­ ром известном режиме, характеризуемом функциями y0(t) и х0(t).

Обозначим малые отклонения x(t) от Xo(t) через

Ax(t), a y(t) от г/о(0> через Ay(t), т. е.

y(t) =yo(t) + Ay(t) , x(t) = x 0(t) + A x(t).

Тогда уравнение (1.10) можно линеаризовать, разложив функцию F(yn, ..., у; хт, ..., х) в ряд Тейлора и ограни­ чившись лишь его линейными членами относительно при­ ращений Ау и Ах:

Поскольку полученное уравнение (Ell) приближен­ но описывает рассматриваемый процесс, то значение про­ изводных вычисляется при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, то есть мы по­ лучили систему с постоянными коэффициентами, которая относится к классу стационарных систем. Кроме того,

26

мы видим, что уравнение получается линейным относи­ тельно Ау и Ах и их производных. Для нас это является основным, так как методы решения и исследования ли­ нейных систем значительно проще, чем систем общего вида, и весьма детально разработаны. Поэтому в даль­ нейшем мы будем рассматривать только линейные диф­ ференциальные уравнения (другими словами, только линейные системы автоматического управления) и урав­ нения таких систем будем записывать в виде:

В уравнении (1.12) для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают со входом системы.

Для решения уравнения (1.12) воспользуемся опера­ ционным методом, который существенно облегчает иссле­ дование систем автоматического управления, заменяя дифференциальное уравнение алгебраическим. Оператор,

ции f(t).

Операции прямого преобразования функции времени f{l) в F (р) и обратного (операция определения оригина­ ла /(/) по заданному изображению F(p)) сокращенно записываются следующим образом:

F(p)^f(t); f(t) = F (р).

27

Замечательное свойство преобразования Лапласа за­ ключается в том, что изображение производной от функ­ ции f(t) очень просто связано с изображением самой функции F(p).

Действительно, если начальное значение функции равно

Первый член полученного выражения равен {—р[(0)]; так как преобразование Лапласа применяется к функци­ ям f(t) таким, которые возрастают не быстрее, чем экспонента

Здесь

/ (0) = lim f (t). t-*о

Второй член представляет собой не что иное, как

ер 4/ (t) jdt = pF (р).

Следовательно, -~р-ф pF {р) — р/ (0), так как считаем, что

/ (0) = 0, то -^- = pF(p).

28

Тогда, зная лапласово изображение производных (1.15), перепишем уравнение (1.14) в следующем виде:

а0рпу (р)+ афп~1у(р) + .. + a„-ipy (р) + апу (р) = = b0pmx(p) +bipm~lx(p) + . .. +bm^px(p) +b mx(p'),

Уравнение (1.16) является лапласовым изображени­ ем дифференциального уравнения системы при нулевых начальных условиях*). Уравнение aopn + aipn~1+ . . . + + cin-ip + ап = 0 является характеристическим уравнени­ ем дифференциального уравнения (1.10). Оно определяет свободное движение системы.

Мы отмечали, что задача решения дифференциально­ го уравнения (1.12) при помощи операторов сводится к задаче решения алгебраического уравнения. Однако его решение дает нам еще не оригинал функции f(t), а ее изображение F(p). В общем случае оригинал функ­ ции f(t) в точках непрерывности определяется из его изображения путем обратного преобразования Лапласа:

Впрочем, для большого числа обычно встречающих­ ся функций нет надобности каждый раз непосредствен­ но пользоваться интегралом (1.17), так как имеются весьма полные таблицы, по которым, зная изображение F(p), можно легко найти его оригинал f(t).

Пример. Пусть требуется найти решение линейного дифферен­ циального уравнения с постоянными коэффициентами, с нулевыми начальными условиями

( 1. 18)

*> Нулевые начальные условия: в системе «-го порядка при t—О выходная величина и все ее производные от первой до (п— 1)-й равны нулям.

29