книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

иый закон дизъюнкции по отношению к конъюнкции (1.36) является специфичным для булевой алгебры и не имеет аналога в обычной алгебре.

Смысл упрощения функций заключается в том, что­ бы найти другое выражение, представляющее ту же функцию, но для практической реализации которого требуются меньшие расходы оборудования, чем для первоначального варианта.

Например, булевы функции

эквивалентны друг другу. Выражение (1.37) преобра­ зуется к виду (1.38), фактически за счет отбрасывания члена Ьс. Однако упрощение сложных выражений при­ менением правил преобразований (1.34) — (1.36) не

всегда возможно. Для других случаев разработаны специальные методы минимизации булевых функций: метод Квайна, карты Вейча и т. п.

50

Д л я л ю б о г о из п е р е ч и с л е н н ы х н а б о р о в (1 .3 9 ) ф у н к ц и я (1 .4 0 ) б у д е т р а в н а н у л ю . Д л я в с е х о с т а л ь н ы х н а б о р о в ф у н к ц и я б у д е т р а в н а е д и н и ц е . С х е м а , р е а л и з у ю щ а я ф у н к ц и ю (1 . 3 9 ) , и з о б р а ж е н а н а р и с . 15.

Р а с с м о т р и м е щ е о д и н п р и м е р к о н с т р у и р о в а н и я с х е м ы о д н о т а к т ­ н о г о р е л е й н о г о у с т р о й с т в а .

П р и м е р 2. П у с т ь н е о б х о д и м о с п р о е к т и р о в а т ь у с т р о й с т в о , к о т о р о е и м е е т т р и в о с п р и н и м а ю щ и х э л е м е н т а А, В, С ( к а ж д ы й т и п а « д а » —

4)— « — А, В, С.

О п и ш е м р а б о т у р е л е й н о г о у с т р о й с т в а т а б л и ц е й с о с т о я н и й в о с ­ п р и н и м а ю щ и х и и с п о л н и т е л ь н о г о э л е м е н т о в ( т а б л . 5 ) .

ройств с памятью (многотактных устройств) математи­ ческий аппарат булевой алгебры оказывается недоста­ точным. Работа многотактного релейного устройства

Р и с . ’16,

какие сигналы поступают в данный момент на его вхо­ ды, но и от того, какие сигналы вводились на его входы раньше. Совокупность выходных сигналов зависит не только от совокупности входных сигналов, но и от внут­ реннего состояния многотактного устройства, опреде­ ляемого информацией, запомненной в процессе пред­ шествующей его работы.

Многотактные устройства целесообразно исследовать на их общей модели, изображенной на рис. 17. По тер­

Выходные сигналы

Сигналы

изменения сост ояния

I

Р и с . 17.

выходные сигналы модели являются функцией всех входных сигналов и всех внутренних состояний в этом такте:

У” = ЫМ. •••-'V - z2> •••.Zm)".

Здесь п — номер такта.

Кроме того, внутреннее состояние модели, зависящее от состояния памяти модели в предыдущем такте, опре-

52

деляется соотношением

Рассмотрим один разряд памяти, представленный в условной схемной записи на рис. 18. Шина Xi для записи единицы в разряд памяти, шина х2 для записи нуля в этот же разряд памяти. О состоянии разряда памяти можно судить по выходным шинам у и у. Единичному состоянию разряда

памяти соответствует у — 1, нулевому у —0. Указанные логические свойства можно выразить с помощью таб­ лицы.

уравнения, описывающие работу разряда памяти в виде:

yn = zn,

(1.42)

2n+1=Jt"V*2 /V ”

Уравнения (1.42) полностью описывают логические свойства запоминающего элемента.

Рассмотрим пример проектирования двухразрядного реверсивного счетчика на запоминающих элементах, опи­ санных уравнениями (1.42). Пусть информация в него заносится в последовательности: 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2 и т. д.,

53

сигнал появляется на выходе схемы при х = 0 только тогда, когда в счетчик записывается число 2; при х —1,— когда в счетчик записывается ноль. Запишем изложен­ ное в табличном виде.

Используя данные табл. 7, найдем уравнения, описы­ вающие работу счетчика. Уравнение выходов запишется

запишем как функцию состояний Ап, Вп и входного сиг­ нала хп в п такте:

и (1.45) задают входные уравнения элементов памяти. Действительно, полученные соотношения показывают, что в элемент памяти А или В в (п + 1) такте будет записана единица при соответствующих состояниях па­ мяти счетчика и входном сигнале в п такте.

Входные уравнения для записи в элементы памяти нулей можно найти из таблиц или взять инверсии от

54

Обратим внимание, что все уравнения состояний счетчика в основном составлены из четырех комплектов конъюнкций: АпВп, АпВп, АпВп, АпВп. Учет этой осо­ бенности позволит нам сконструировать комбинацион­ ную схему счетчика меньшим количеством оборудования. Схема двухразрядного реверсивного счетчика, работа которого описана уравнениями (1.43) — (1.47), изображе­ на на рис. 19.

Необходимо заметить, что общей моделью описывать сложные релейные устройства весьма трудно, поэтому ее целесообразно применять к отдельным частям слож­ ных устройств, если они могут быть расчленены на функ­ ционально-независимые блоки. Например, вычислитель­

ные машины можно разделить на несколько функцио­ нально-независимых блоков: управления, арифметики, памяти, входное, выходное и т. п.

Модель многотактного устройства описывается, как правило, либо логическими функциями, либо таблицами. Та и другая форма записи легко поддается автомати­ зации. Особенно это важно для решения вопросов упро­ щения логических функций и таблиц, т. е. для решения

55

вопроса минимизации оборудования, необходимого для

реализации проектируемого дискретного устройства. Удобной моделью многотактного устройства является конечный автомат {98].

3. Конечный автомат. Конечный автомат характери­ зуется также тремя множествами: входным алфави­ том X, выходным У и множеством внутренних состоя­ ний Z. Эти множества конечные. Если на вход автомата поступает слово р из входного алфавита X, то на вы­ ходе появится слово g из алфавита У, причем выход автомата зависит не только от входа, но и от внут­ реннего состояния.

Введем понятие автоматного времени, которое равно пулю в начале работы конечного автомата и увеличива­ ется на единицу при поступлении на вход автомата каждого следующего сигнала. Последовательные момен­ ты времени поступления очередного сигнала отождест­

Функционирование конечного автомата описывается двумя функциями: функцией переходов б (в новое со­ стояние) и функцией выходов К:

состояние, в которое переходит автомат в текущем так­

сигнал, вырабатываемый автоматом в такте.

Функция переходов <6 связывает состояние z(t), в ко­ торое переходит конечный автомат, с прежним его со­ стоянием и входным сигналом x(t).

Функция выходов К связывает выходной сигнал у (t), вырабатываемый конечным автоматом, с z(t—1) и x(t).

Функция переходов и функция выходов позволяют определить реакцию автомата на любую последователь­ ность входных сигналов, если известно начальное со­ стояние конечного автомата г(0).

Автоматы, для которых функции переходов и выхо­ дов определены выражениями (1.48) и (1.49), называют­ ся автоматами Миля.

56

а функция выходов b(z(t— 1), x(t)) — соотношением

y(t) = {x{t), v,(0 ).

§1.4. Системы массового обслуживания

1.Вводные замечания. Система массового обслужи­ вания— математическая модель, разработанная для

описания многочисленных и широко распространенных сложных систем, назначением которых является очень широко понимаемое обслуживание, причем обслужива­ ние массовое. Это расширенное понимание обслужива­ ния включает в себя и все формы бытового обслужи­ вания (обслуживание продавцами покупателей в мага­ зинах, продажа билетов во всевозможных кассах, разнообразные ремонтные работы) и медицинское об­ служивание населения в поликлиниках и на дому, и различные производственные процессы, и службы связи, и транспорт, и военное дело, и т. д. и т. п.

Говоря об обслуживании (в прямом или переносном смысле), необходимо выделить и четко различать сле­ дующие моменты:

1)кого (что) обслуживают?

2)кто (что) обслуживает?

3)как происходит обслуживание, по каким пра­ вилам?

Наиболее простой является ситуация, когда имеется необходимость в обслуживании большого количества однотипных требований. При этом под требованием по­ нимается запрос на удовлетворение какой-либо потреб­ ности, а под обслуживанием — удовлетворение этой потребности. Для удобства требование как запрос часто

отождествляется с его материальным носителем, т. е. с лицом (предметом), нуждающимся в обслуживании. Иногда вместо термина «требование» употребляются другие: «клиент», «заявка», «вызов» и т. д.

В общем случае моменты поступления требований случайны, т. е. факт появления требования — случайное событие. Их последовательность принято называть пото-

58

ком однородных требований (входящим). Прилагатель­ ное «однородный» означает, что требования различают­ ся лишь моментами поступления.

Поступившие требования нуждаются в обслужива­ нии каким-либо устройством (человеком). Те средства, которые осуществляют обслуживание требований, при­ нято называть приборами (обслуживающими). В этом же смысле встречаются термины «линия», «канал» н другие. Совокупность обслуживающих приборов на­ зывают системой обслуживания (в узком смысле), си­ стема обслуживания в широком смысле включает в себя входящий поток, множество приборов и определяемую ниже дисциплину обслуживания.

Важно знать, как обслуживаются поступающие тре­ бования системой обслуживания. Совокупность правил, задающих процесс обслуживания, определяющих поря­ док обслуживания, принято обозначать термином

«дисциплина обслуживания».

Итак, система обслуживания (в широком смысле) считается заданной, если известны:,

1)поток требований П,

2)множество обслуживающих приборов S,

3)дисциплина обслуживания D.

Существенно подчеркнуть, что реальные системы массового обслуживания представляют собой единое целое, и часто лишь условно указанные выше элементы произвольной системы обслуживания можно рассматри­ вать по отдельности.

2. Основные понятия. Опишем основные понятия про­ извольной системы массового обслуживания более по­ дробно. Пусть заявки поступают в случайные моменты времени U, t2, ... (0 ^ ^ < fc < ... ), являющиеся точками скачков функции П(/)- Величины U, t2, ... называют

моментами появления требований, вызывающими момен­ тами-, целое положительное число П(0, равное величине скачка, называют количеством требований, поступивших в данный вызывающий момент. Таким образом, для каждого времени t П(/) есть число требований, посту­ пивших в промежутке времени [0, /].

На рис. 20 изображена одна из реализаций случай­ ной функции П(^).

Наиболее важны для практики следующие свойства потоков: стационарность, отсутствие последействия, ор­ динарность.

59