книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

о п т и м а л ь н ы м р е ш е н и е м з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я (2 .2 5 ) —

(2 .2 7 ) т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а в у р а в н е н и и (2 .3 2 ) с р е д и к о э ф ф и ­

Д е й с т в и т е л ь н о , ес л и в о б щ е м р е ш е н и и (2 .3 0 ) м ы с т а н е м п р и д а в а т ь р а з л и ч н ы е н е о т р и ц а т е л ь н ы е з н а ч е н и я с в о б о д н ы м н е и з в е с т н ы м т а к ,

ч т о б ы с о о т в е т с т в у ю щ и е б а з и с н ы е н е и з в е с т н ы е т а к ж е п р и н и м а л и н е ­

о т р и ц а т е л ь н ы е зн а ч е н и я , т о о д н о в р е м е н н о с ч а с т н ы м и н е о т р и ц а т е л ь ­ н ы м и р е ш е н и я м и с и с т е м ы о г р а н и ч е н и й м ы б у д е м п о л у ч а т ь , с о г л а с н о в ы р а ж е н и ю (2 . 3 4 ), с о о т в е т с т в у ю щ и е и м з н а ч е н и я ц е л е в о й ф у н к ц и и .

ф о р м ы (2 . 2 9 ) . Е с л и х о т я б ы о д и н и з . к о э ф ф и ц и е н т о в п р и н е и з в е с т н ы х в п о с л е д н е м у р а в н е н и и в с п о м о г а т е л ь н о й с и с т е м ы (2 . 3 3 ) , н а п р и м е р ,

6 m + i , п о л о ж и т е л е н , т о м ы м о ж е м с о о т в е т с т в у ю щ е й с в о б о д н о й н е и з ­

П р и в ы п о л н е н и и у с л о в и й о п т и м а л ь н о с т и (2 .3 5 ) б а з и с н о е р е ш е н и е (2 .2 8 ) б у д е т единственным о п т и м а л ь н ы м р е ш е н и е м з а д а ч и л и н е й н о г о

п р о г р а м м и р о в а н и я (2 .2 5 ) — (2 . 2 7 ), т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а в с е

м ы п о л у ч и м н е к о т о р у ю с о в о к у п н о с т ь о п т и м а л ь н ы х р е ш е н и й (2 .2 5 ) — (2 . 2 7 ) . О ч е в и д н о , ч т о о п т и м а л ь н ы х р е ш е н и й б у д е т е щ е б о л ь ш е , ес л и с р е д и к о э ф ф и ц и е н т о в б , пр и с в о б о д н ы х н е и з в е с т н ы х в у р а в н е н и и

(2 .3 2 ) о к а ж е т с я н е с к о л ь к о н у л е в ы х .

н ая , а о с т а л ь н ы е н е и з в е с т н ы е с о х р а н я ю т н у л е в ы е з н а ч е н и я , к о т о р ы е о н и и м е л и в б а з и с н о м р е ш е н и и (2 . 2 8 ) . В с п о м н и м , ч т о к а ж д а я с в о ­

б о д н а я н е и з в е с т н а я при н у л е в ы х з н а ч е н и я х д р у г и х с в о б о д н ы х н е и з ­ в е с т н ы х и м е е т с в о ю н е о т р и ц а т е л ь н у ю о б л а с т ь и з м е н е н и я , н и ж н я я гр а н и ц а к о т о р о й в с е г д а р а в н а н у л ю , а в е р х н я я г р а н и ц а я в л я е т с я к о н е ч н о й или б е с к о н е ч н о й , в з а в и с и м о с т и о т т о г о , и м е е т с я или не

и м е е т с я пр и д а н н о й н е и з в е с т н о й в с о о т в е т с т в у ю щ е й ф о р м е с и с т е м ы у р а в н е н и й х о т я бы о д и н п о л о ж и т е л ь н ы й к о э ф ф и ц и е н т . П р и и с с л е д о ­ в ан ии з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я п о с л е д н е е о б с т о я т е л ь ­

160

г р а м м и р о в а н и я (2 .2 5 ) — (2 .2 7 ) н е р а з р е ш и м а в с и л у н е о г р а н и ч е н н о с т и л и н е й н о й ф о р м ы (2 .2 5 ) н а м н о ж е с т в е н е о т р и ц а т е л ь н ы х р е ш е н и й с и ­

в о б щ е м р е ш е н и и (2 .3 0 ) с и с т е м ы о г р а н и ч е н и й м ы м о ж е м п е р е м е н н у ю хп н е о г р а н и ч е н н о у в е л и ч и в а т ь , п о л о ж и в xm+i= . . . = x n - i = 0 и т о г ­

д а , к а к в и д н о из в ы р а ж е н и я (2 . 3 5 ) , ц е л е в а я ф у н к ц и я б у д е т н е о г р а ­

н и ч е н н о у б ы в а т ь , и, с л е д о в а т е л ь н о , о п т и м а л ь н о г о р е ш е н и я не с у щ е ­ с т в у е т .

П р е д п о л о ж и м т е п е р ь , ч т о б а з и с н о е р е ш е н и е (2 .2 8 ) не о п т и м а л ь ­

н о н ч т о д л я л ю б о й с в о б о д н о й н е и з в е с т н о й Xj с п о л о ж и т е л ь н ы м к о ­ э ф ф и ц и е н т о м д] м о ж н о у к а з а т ь к о н е ч н у ю н е о т р и ц а т е л ь н у ю о б л а с т ь ее и з м е н е н и я пр и н у л е в ы х з н а ч е н и я х д р у г и х с в о б о д н ы х н е и з в е с т н ы х .

К а к в э т о м с л у ч а е и с к а т ь о п т и м а л ь н о е р е ш е н и е ?

П р е ж д е в с е г о о т м е т и м , ч т о с к о р о с т ь и з м е н е н и я ц е л е в о й ф у н к ­ ц ии L о т н о с и т е л ь н о н е з а в и с и м о й п е р е м е н н о й Xj пр и н у л е в ы х з н а ч е ­

н и я х д р у г и х с в о б о д н ы х н е и з в е с т н ы х , к а к в и д н о из ( 2 . 3 5 ) , о п р е д е л я е т ­ с я ч а с т н о й п р о и з в о д н о й

dL

у р а в н е н и и в с п о м о г а т е л ь н о й с и с т е м ы (2 .3 4 ) с т о и т н а и б о л ь ш и й п о л о ­ ж и т е л ь н ы й к о э ф ф и ц и е н т б j.

Т а к к а к н е и з в е с т н а я xs пр и н у л е в ы х з н а ч е н и я х с в о б о д н ы х н е и з в е с т ­

р е ш е н и я (2 .3 0 ) к р а й н е е н е о т р и ц а т е л ь н о е р е ш е н и е с и с т е м ы о г р а н и ч е ­ ний (2 . 2 6 ) . И з в е с т н о , ч т о к р а й н е е р е ш е н и е ( к р а й н я я т о ч к а ) с о в п а д а е т

с н о в ы м б а з и с н ы м н е о т р и ц а т е л ь н ы м р е ш е н и е м , с о о т в е т с т в у ю щ и м н о ­

в о м у в и д у с и с т е м ы ( 2 . 2 6 ) , д л я п о л у ч е н и я к о т о р о г о д о с т а т о ч н о п р и ­ н я т ь н е и з в е с т н у ю xs з а р а з р е ш а ю щ у ю и п о д в е р г н у т ь с и с т е м у '(2 .2 6 )

с и м п л е к с н о м у п р е о б р а з о в а н и ю . Е с л и

т о за р а з р е ш а ю щ е е у р а в н е н и е пр и э т о м п р е о б р а з о в а н и и н а д о в з я т ь r-е. К а к т о л ь к о б у д е т п о л у ч е н о н о в о е б а з и с н о е н е о т р и ц а т е л ь н о е р е ­

ш е н и е с и с т е м ы о г р а н и ч е н и й , т. е. н о в о е д о п у с т и м о е р е ш е н и е з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я (2 .2 5 ) — ( 2 . 2 7 ) , п р и д е т с я е г о и с с л е д о в а т ь ,

В н а ш е м п р и м е р е и м е е т м е с т о и м е н н о т о т с л у ч а й , к о т о р ы й м ы с е й ­ ч а с р а с с м а т р и в а е м . В у р а в н е н и и (2 . 3 2 1) и м е ю т с я п о л о ж и т е л ь н ы е к о ­

р а з р е ш а ю щ у ю н е и з в е с т н у ю и п о д в е р г а е м с и с т е м у у р а в н е н и й (2 . 2 6 1)

( 2 . 4 0 )

162

Ф о р м у л ы и с к л ю ч е н и я (2 .4 0 ) н а з ы в а ю т с я рекуррентными ф о р м у л а м и .

О п р е д е л я е м о е п е р в ы м и m у р а в н е н и я м и с и с т е м ы (2 .3 9 ) б а з и с н о е н е ­ о т р и ц а т е л ь н о е р е ш е н и е

я в л я е т с я о д н и м и з д о п у с т и м ы х р е ш е н и й з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м ­ м и р о в а н и я (2 .2 5 ) — (2 . 2 7 ) . О т в е ч а ю щ е е е м у з н а ч е н и е л и н е й н о й ф о р м ы

в о з р а с т а н и и * 3, е сл и . п о л о ж и т ь * 2 = х 4= 0 . П р и н и м а е м н е и з в е с т н у ю *з з а р а з р е ш а ю щ у ю и п о д в е р г а е м п е р в ы е д в а у р а в н е н и я с и с т е м ы

( 2 . 3 9 1) с и м п л е к с н о м у п р е о б р а з о в а н и ю . Т а к к а к р а з р е ш а ю щ и м у р а в ­ н ен и ем б у д е т п е р в о е , т о и с к л ю ч а е м н е и з в е с т н у ю * 3 из в с е х у р а в н е ­ ний с и с т е м ы (2 . 3 9 1) , к р о м е п е р в о г о у р а в н е н и я , и п о л у ч и м н о в у ю

в с п о м о г а т е л ь н у ю с и с т е м у л и н е й н ы х у р а в н е н и й , о п р е д е л я ю щ у ю т р е т ь е б а з и с н о е н е о т р и ц а т е л ь н о е р е ш е н и е с и с т е м ы о г р а н и ч е н и й и с о о т в е т ­

с т в у ю щ е е е м у зн а ч е н и е ц е л е в о й ф у н к ц и и и т . д .

М о ж н о с к а з а т ь , ч т о р е ш е н и е з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а ­ ния с в о д и т с я к с о с т а в л е н и ю в с п о м о г а т е л ь н о й с и с т е м ы у р а в н е н и й

(2 .3 4 ) и ее п р е о б р а з о в а н и ю к в и д у (2 .3 9 ) и д а л е е . Р а с ш и р е н н у ю

м а т р и ц у с и с т е м ы (2 .3 9 ) с у к а з а н н ы м и в ы ш е д о п о л н е н и я м и н а з ы в а ю т второй симплексной таблицей. А н а л о г и ч н о о п р е д е л я е т с я т р е т ь я с и м ­

п л е к с н а я т а б л и ц а и т. д.

Р е ш е н и е к о н к р е т н о й з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я с в о ­

д и т с я к с о с т а в л е н и ю п е р в о й с и м п л е к с н о й т а б л и ц ы и ее п р е о б р а з о в а ­ н и я м п о р е к у р р е н т н ы м ф о р м у л а м (2 . 4 0 ) . П р о ц е с с р е ш е н и я з а п и с ы ­ в а е т с я в в и д е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с и м п л е к с н ы х т а б л и ц .

Д л я н а ш е г о п р и м е р а р е ш е н и е п о л н о с т ь ю п р и в е д е н о в т а б л . 48. В ч е т в е р т о й и т е р а ц и и ( ч е т в е р т о м ч лен е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с и м ­

п л е к с н ы х т а б л и ц ) с р е д и э л е м е н т о в 6 j п о с л е д н е й с т р о к и н ет ни о д н о ­ г о п о л о ж и т е л ь н о г о . П о э т о м у ч е т в е р т о е б а з и с н о е р е ш е н и е

я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м , а н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и е л и н е й н о й ф о р м ы р а в ­ н о — 17.

На этом мы заканчиваем изложение основного мето­ да решения задачи линейного программирования. И хотя симплексный метод изложен на примере частной задачи линейного программирования, смысл его остается одним

Та5пицп /л’

и тем же. Читателя, интересующегося всеми нюансами симплексного метода, мы отсылаем к соответствующей литературе [29, 31, 38, 43, 44, 68].

В заключение решим симплексным методом задачу. Минимизировать

L=лу + 6x2+ 51Хз—8x4—Х5

при условиях

[ 4хг— 5х3+ х 4— Зх5— 9, 1 4х, -|—х% —|—Зх3— 2х5= 7,

Xj>0, / = 1,5.

В последней строке первой же симплексной таблицы (табл. 19) оказался такой положительный элемент ^5=

=13, что среди расположенных над ним элементов ai5=

=—3 и «25= —2 нет ни одного положительного. Это означает, что данная задача линейного программирова-

164

венств. В этих случаях вводят фиктивные переменные. Этот случай весьма подробно рассмотрен в соответству­ ющей литературе [69, 101, 147, 173].

Следует отметить, что все рассуждения здесь проводились для не­ вырожденного случая. Вырожденность возникает в том случае, когда переменные (или векторы), которые должны быть введены в базис, не являются линейно независимыми. Графически это соответствует тому, что более чем я векторов проходят через одну точку, что в свою очередь вытекает из того, что более чем я из первоначальных ( т + п) переменных равны нулю. В этом случае значение целевой функции не меняется и очередной шаг не улучшает значения линей­ ной формы. Такое положение может сохраняться для ряда шагов. Возможно, что при этом повторится один из прежних базисов, ко­ торый уже давал то же самое значение целевой функции. В таких случаях говорят, что процесс решения с помощью симплексного ме­ тода зацикливается и последующие шаги повторяют одну и ту же последовательность базисов. Очевидно, что в этом случае оптималь­ ный план никогда не будет достигнут.

Иногда в задаче линейного программирования по самому смыслу задачи требуется, чтобы решение было целочисленным, причем все aij и Ь{ предполагаются це­

лыми числами (t= l,m ; /= 1, л). В качестве примера, иллюстрирующего сказанное, можно привести известную «задачу коммивояжера». В этой задаче необходимо оп­ ределить, в каком порядке следует посетить коммивоя­ жеру группу населенных пунктов с минимальными транс­ портными затратами (включая затраты на возвращение в исходную точку отправления). Здесь бессмысленно говорить, что нужно отправиться в город 8,6 (города пронумерованы натуральными числами). Такого рода задачами являются также задача о назначениях, задача размещения предприятий и др.

При решении этих задач методом линейного прог­ раммирования и последующем округлении дробных значений можно быть очень далеко от истинного опти­ мального решения, которое получается при решении этой

165

задачи как задачи целочисленного линейного программи­ рования [41, 110].

Заметим, что симплексный метод не гарантирует це­ лочисленного решения. Заранее нельзя определить, ка­ кая из вершин многогранника допустимых решений является узлом координатной решетки, т. е. имеет цело­ численные значения координат. Аппроксимация значе­ ний координат целыми числами необязательно дает до­ пустимый вектор, поскольку к вершине, являющейся ре­ шением, наиболее близко может быть расположен узел координатной сетки, лежащей вне области допустимых решений, а ближайший узел координатной сетки в обла­ сти допустимых решений может не удовлетворять пра­ вилам аппроксимации.

В общем случае для отыскания оптимального цело­ численного решения задачи линейного программирова­ ния требуются специальные методы. Они заключаются в подборе дополнительных линейных ограничений к обычным ограничениям задачи линейного программи­ рования, обеспечивающих целочислепность решения. (?дин из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен амери­

канским математиком Р. Е. Гомори. Идея метода сле­ дующая.

Рассматривается множество целочисленных точек многогранника ограничений К. Если бы удалось заме­ нить многогранник К. выпуклой оболочкой его целочис­ ленных точек (выпуклой оболочкой любого множества называется совокупность всевозможных выпуклых ком­ бинаций, составленных из точек множества, в частности, если это множество состоит из конечного числа точек' то его выпуклая оболочка называется выпуклым много­ гранником), то получаемое симплексным методом опти­ мальное решение этой видоизмененной задачи было бы, очевидно, целочисленным и служило бы оптимальным целочисленным решением исходной вадачи.

■Ввиду трудности построения этой выпуклой оболочки строят промежуточный многогранник, охватывающий ее и содержащийся в К. В рассматриваемом методе это осуществляется путем введения на каждом шаге допол­ нительного ограничения, которое, уменьшая многогран­ ник К (отсекая некоторую его часть), не исключает из него целочисленных точек, причем плоскость дополни­ тельного линейного ограничения проходит хотя бы че­

166

рез одну целочисленную точку. Через конечное число шагов метод приводит к новой задаче, оптимальное ре­ шение которой является одновременно оптимальным це­ лочисленным решением исходной задачи [68, 126].

От целочисленных задач, которые являются наиболее изученными, отличают задачи дискретного программиро­ вания [91, 126, 165, 167, 168]. В этих задачах, областью допустимого изменения каждой переменной является не множество целых неотрицательных чисел, а некоторое заданное конечное множество. К дискретному програм­ мированию относят большое количество практически важных задач, среди которых выделяются:

1)задачи с неделимыми объектами;

2)различные комбинаторные задачи;

3)многоэкстремальные задачи.

Однако при решении задач дискретного программирова­ ния возникают значительные трудности, ибо использова­ ние методов полного перебора всех возможных вариан­ тов при значительных размерах задачи практически не­ возможно. Попытки применения линейного программи­ рования к решению дискретных задач также встречают­ ся с весьма значительными трудностями. Важнейшим частным случаем задачи дискретного программирования является задача целочисленного линейного программи­ рования, рассмотренная нами выше. Как известно, эта задача оптимизации линейной формы при наличии огра­ ничений в виде линейных уравнений и неравенств и при дополнительном требовании целочисленности перемен­ ных.

В качестве иллюстративного примера [126] задачи дискретного программирования приведем так называемую «задачу о ранце». Имеется п предметов. Заданы величины: a.j — вес предмета /, C j —■ ценность предмета j. Требуется загрузить ранец, «грузоподъемность» которого равна А , набором предметов е максимальной суммарной

ценностью. Если ввести переменные Xj (/=1, п ) , имеющие следую­ щий смысл:

1, если /-й предмет подлежит загрузке,

Xj

О, в противном случае,

то задача о ранце сведется к максимизации

167

ется либо сегмент, для которого полученная вершина многогранника К оптимальна, а таких вершин конечное число и они не могут потеряться, либо сегмент, для ко­ торого целевая функция не ограничена, что соответству­ ет некоторому ребру (грани) многогранника К, которых также конечное число и повторяться они также не могут (в обоих случаях предполагается, что нет вырожденности).

Число ограничений и количество переменных в зада­ чах линейного программирования очень часто практиче­ ски исчисляются сотнями и тысячами. Поэтому решение подобных задач сопряжено с огромными трудностями.

При таких упрощениях получается лишь качественное решение задачи, а часто даже решение, качественно от­ личное от действительного. Отсюда стремление свести решение задачи линейного программирования с боль­ шим числом переменных и ограничений к решению ряда задач с меньшим числом переменных и условий.

Совокупность приемов, позволяющих заменить реше­ ние задач линейного программирования большого объ­ ема решением ряда экстремальных задач меньшего объ­ ема, называется блочным программированием [38, 91, 101, 126]. Идеи блочного программирования не только упрощают вычислительную процедуру, но в ряде случа­ ев расширяют область применения линейного програм­ мирования. Одним из возможных методов блочного про­ граммирования является метод разлоокения [38]. Метод разложения можно рассматривать как блочный аналог

метода последовательного улучшения плана [42].

К задачам линейного программирования с некоторы­ ми оговорками можно отнести задачи кусочно-линейного и дробно-линейного программирования [38, 41, 101]. Тер­ мины, определяющие название этих разделов математи­ ческого программирования, обусловлены видом соответ­ ствующих показателей качества решения. В первом слу­ чае показатель качества — выпуклая вниз кусочно-ли­ нейная функция. Во втором случае требуется оптимизи­ ровать дробно-линейную функцию (т. е. отношение двух линейных функций) параметров управления. Ограниче­ ния в том и другом случае — линейные равенства и нера­ венства. В более широкой постановке задач кусочно-ли­ нейного программирования показатель качества /, опре­ деляемый соотношением (2.22) и функции gy, определя­ ющие ограничения (2.24) — выпуклые (вниз) функции

169