книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

Итак, нам необходимо найти функцию у ( х ) , дающую экстремум интегралу

Х<х

у(Х\)=Уи У { * г ) = У г .

Необходимым условием для у ( х ) , максимизирующей (минимизирую­ щей) У, является условие, чтббы функция f удовлетворяла урав­ нению Эйлера

d

d x

которое можно записать следующим образом:

Таким образом, необходимо минимизировать выражение

2* |,0(1+»'*)1/2 d x ,

X

подчиненное ограничениям, связанным с краевыми условиями. В на­ шем примере

fix, У, У')=У{\+У'2)1/2.

Уравнение Эйлера после упрощения принимает вид

УУ"= 1+у'2-

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

Искомое решение получается после определения произвольных по­ стоянных Ci и с2 из краевых условий [30].

Если требуется найти и(х, у) и v(x, у), которые макси­ мизируют (минимизируют) 'интеграл

!{хГу, U, v, их, Uy, vx, vy) dxdy,

L*

где x и у — независимые переменные, a R — двумерная область на плоскости ху, то необходимым условием экстремума являются два дифференциальных уравнения

140

второго порядка -в частных производных

Первый член первого уравнения, к примеру, может быть записан

2. Многие задачи на нахождение оптимальных зна­ чений параметров управления могут быть решены с ис­ пользованием принципа максимума, разработанного ака­ демиком Л. С. Понтряпшым и его учениками—В. Г. Бол­ тянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко [64Ц.

Рассмотрим пример задачи на нахождение оптималь­ ных параметров управления [176[].

Движение ракеты, запускаемой в космос, описывается ее коор­

Ф — Угол между направлением тяги и осью Ох. Тогда движение раке­ ты может 'быть представлено в виде системы

т'/у = тd v v

dt — + “ sln ?

dm

т~ dt ' — — / (ц)>

и т. д., действующие на ракету, исключая силу тяги.

Управление траекторией ракеты осуществляется за счет регули­ рования величины и направления силы тяги двигателя, и и <р — это управляющие параметры.

Движение ракеты ограничивается некоторыми начальными и ко­ щенными условиями. Например, могут быть заданы начальное поло-

141

жение. скорость и масса ракеты, что запишется так: x{t0)=xо, y{to)=yо,

V*(t*) = VXo. Vy(t0) = VSo.

m(to)=m0,

где х 0, у 0, V Xo, V , т а — фиксированные величины. Точно так же могут быть заданы и конечные условия.

В технических задачах обычно возникает вопрос об отыскании наиболее экономной программы работы моде­ ли. Например, в случае движения ракеты программа будет тем более экономичной, чем меньшее количество топлива будет израсходовано. Это означает, что управ­ ление и и ф должно быть выбрано из условия минимума интеграла

момент времени) числами х1, х2, ..., хп, которые называ­ ются фазовыми координатами объекта. Движение объек­ та заключается с математической точки зрения в том, что его состояние с течением времени изменяется, т. е. х1, х2, .... хп являются переменными величинами (функция­ ми времени). Это движение объекта происходит не само­ произвольно — им можно управлять; для этого объект снабжен «рулями», положение которых характеризуется (в каждый момент времени) г числами и1, и2, ..., иг\эти числа называются управляющими параметрами. Рулями можно «манипулировать», т. е. по своему желанию ме­ нять управляющие параметры и1, и2, . . иг с течением времени. Иначе говоря, мы можем по желанию выбрать функции ul(t), u2(t), ..., ur(t) , описывающие изменение управляющих параметров с течением времени. Что же касается^ функций xl(t), x2(t), ..., xn(t), то они уже не в полной мере зависят от нашего желания; мы будем предполагать (как это обычно и бывает), что, зная фа­ зовое состояние объекта в начальный момент времени /0 и выбрав управляющие функции «‘ (f), u2{t), , . ur{t)

142

(для t>t{j), мы сможем математически точно рассчитать поведение объекта для всех t>.to, т. е. сможем найти функции xl(t), x2(t), . .., xn(t), характеризующие измене­ ние фазовых координат с течением времени. Таким обра­ зом, на изменение фазовых координат мы можем в той или иной мере воздействовать, выбирая по своему жела­ нию управляющие функции « ’ (/), u2(t), ..., ur(t).

Величины и1, .. ., иг удобно считать координатами не­ которого вектора U~(u\ и2, ..., и1'), который также на­ зывают управляющим параметром (векторным). Точно так же величины х1, х2, .. хп удобно рассматривать как координаты некоторого вектора (или точки) Х = ( х 1, ...

..., хп); эту точку называют фазовым состоянием объек­ та. Каждое фазовое состояние X = ( x i, ..., хп) является точкой «-мерного пространства с координатами х\ х2, ...

..., хп. Это «-мерное пространство, в котором в виде то­ чек изображаются фазовые состояния объекта, .называ­ ется фазовым пространством рассматриваемого объекта.

Чтобы полностью задать движение объекта, надо задать его фазовое состояние в начальный момент вре­ мени to и выбрать управляющие функции м1)/), ..., W (t) (для t>to), т. е. выбрать векторную функцию

U{t) = (u'(t),u2{t),..., ur(t)).

Эту функцию мы будем называть управлением. Задание начального фазового состояния Хо и управления U(t) однозначно определяет дальнейшее движение объекта. Это движение заключается в том что фазовая точка

изображающая состояние объекта, с течением времени перемещается, описывая в фазовом пространстве неко­ торую линию, называемую фазовой траекторией рассмат­ риваемого движения объекта. Пару векторных функций (U(t), X(t)), т. е. управление U(t) и соответствующую фазовую траекторию X(t), мы будем .называть в даль­ нейшем процессом управления или просто процессом.

Итак, резюмируем. Состояние управляемого объекта в каждый момент времени характеризуется фазовой точ­ кой Х ~ ( х 1, ..., хп). На движение объекта можно воз­ действовать при помощи управляющего параметра

U = W , ..., иг).

143

Изменение величин U, X с течением времени мы назы­ ваем процессом-, процесс (U{t), X(t)) составляется из управления U(t) и фазовой траектории X(t). Процесс полностью определяется, если задано управление U(t) (при t>U) и начальное фазовое состояние

X0=X(t0).

Часто встречается следующая задача, связанная с уп­ равляемыми объектами. В начальный момент времени /0 объект находится в фазовом состоянии Уо; требуется вы­ брать такое управление U(t), которое переведет объект в заранее заданное конечное фазовое состояние Xi (от­ личное от У0)- При этом обычно требуется, чтобы пере­ ходный процесс (т. е. процесс перехода из начального фазового состояния X0 в предписанное конечное состоя­ ние Хх) был в определенном смысле «наилучшим», на­ пример, чтобы время перехода было наименьшим или чтобы энергия, затраченная в течение переходного про­ цесса, были минимальной и т. п. Такой «наилучший» переходный процесс называется оптимальным процессом. Мы видим, что термин «оптимальный процесс» требует уточнения, так как необходимо разъяснить, в каком смысле понимается оптимальность. Если речь идет о наименьшем времени перехода, то такие процессы называются оптимальными в смысле быстродействия.

Иначе говоря, процесс, в результате которого объект переходит из точки Х0 в точку Х±, называется оптималь­ ным в смысле быстродействия, если не существует про­ цесса, переводящего объект из Х0 в Хх за меньшее время (здесь и далее предполагается, что X0^=Xi). Следуя [95], рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Xs...... и1, и2...... и% (2.9)

где г = 1, п,

которая описывает поведение некоторого объекта во вре­ мени. В -момент времени t переменные х1, х2, ..., хп могут означать координаты точек, скорости и т. п.

Управление характеризуется точками и1, и2, . . иг, в качестве которых могут служить количество подавае­ мого в двигатель топлива, температура и т. д. Очевидно, что эти параметры удовлетворяют .некоторым ограниче­ ниям. Предполагается, что функции непрерывны по со­ вокупности всех аргументов и непрерывно дифференци-

144

и X(t), что для всех t (to^ t^ ti) функция

Я(ф, X,U) = i фаГ (Х , U)

(х=1

переменного u^U достигает максимума ,в точке U=U(t). В конечный момент ti

Если величины ф (/), Х ((), U(/) удовлетворяют системе

и выполнено условие максимума, то функция #(ф (^), X(t), U(t)) переменного (t) постоянна и неравенство (2.1 1 ) можно проверять при любом другом значении t (to<^t<^ti).

Из .принципа максимума Л. С. Понтрягина могут быть получены все необходимые условия экстремума (правило множителей Лагранжа, условия Вейерштрасса, Лежандра, уравнение Эйлера и т. д.).

в сл у ч а е , к о г д а к он еч н ы м .п ол ож ен и ем с л у ж и т н а ч а л о к о о р д и н а т .

В э т о м п р и м е р е [95]:

З д е с ь Н е с т ь л и н ей н а я ф у н к ц и я о т и ; ее н а и б о л ь ш е е зн а ч е н и е д о с т и ­

146

к у со к ф а зо в о й т р а е к т о р и и , с о о т в е т с т в у ю щ и й и — 1, е с т ь п а р а б о л а .

А н а л оги ч н о при и= - — 1,

п р и ч ем в т о р а я п а р а б о л а д о л ж н а п р о х о д и т ь ч е р е з н а ч а л о к о о р д и н а т . М о ж н о п о к а з а т ь , ч т о н а й д ен н ы е ф а з о в ы е т р а е к т о р и и д е й с т в и т е л ь н о я в л я ю т с я о п т и м а л ь н ы м и .

§2.5. Линейные модели оптимизации

Впоследнее время значительно расширилась сфера приложения математических методов. В большинстве случаев математические модели, описывающие те или иные явления, должны учитывать много самых разно­

образных факторов. Это приводит к серьезным вычисли­ тельным трудностям. В связи с этим большую помощь может оказать одно из сравнительно молодых направле­ ний математики — математическое программирование. Математическое программирование делится на два круп­ ных раздела — линейное и нелинейное программирова­ ние.

В настоящем параграфе мы рассмотрим процесс на­ хождения оптимальных значений параметров управле­ ния в сложной системе при помощи метода линейного программирования. Сущность метода линейного програм­ мирования и процедуру оптимизации удобно рассмот­ реть на следующих иллюстративных примерах.

П р и м е р 1 Р 1 9 ]. И м е е т с я т р и в и д а п р о д у к т о в п и та н и я At, А2, As. И з в е с т н а с т о и м о с т ь ед и н и ц ы к а ж д о г о -п р од у к та Сь с 2, с 3. И з э т и х

— у г л е в о д о в н е м е н е е Ь3 ед и н и ц .

В ы б р а т ь т а к и е н е о т р и ц а т е л ь н ы е зн а ч е н и я п е р е м е н н ы х X i, х 2, хз,

у д о в л е т в о р я ю щ и е л и н ей н ы м н е р а в е н ст в а м (2 .1 3 ), п р и к о т о р ы х л и ­ н ей н а я ф у н к ц и я э т и х п е р е м е н н ы х

С1Х1+ С2Х2+ С3Х3

о б р а щ а л а с ь б ы в м и н и м у м .

В т е р м и н а х л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я э т у з а д а ч у в о б щ е м

Э т о о д н а и з н а и б о л е е у п о т р е б и т е л ь н ы х з а п и се й ф о р м у л и р о в к и з а д а ­

чи л и н е й н о го п р о гр а м м и р о в а н и я .

Пример 2 (1 19]. Т к а ц к а я ф а б р и к а р а с п о л а г а е т IV, с т а н к а м и п е р ­ в о г о ти п а и IV2 ст а н к а м и в т о р о г о т и п а . С т а н к и м о г у т п р о и з в о д и т ь

148

м е т р о в Ть а 12 м е т р о в Т2, а\3 м е т р о в Т3. С т а н о к в т о р о г о т и п а п р о ­

и з в о д и т в е д и н и ц у в р е м е н и a 2i м е т р о в Т1, а 22 м е т р о в Т2 и а 23 м е т р о в Т3. К а ж д ы й м е т р тк а н и Тt п р и н о с и т ф а б р и к е п р и б ы л ь , р а в н у ю си тк а н и Т2— п р и б ы л ь , р а в н у ю с 2 и тк а н и Т3 — п р и б ы л ь , р а в н у ю с3.

С о г л а с н о п л а н у п р о и з в о д с т в а ф а б р и к а о б я з а н а п р о и з в е с т и в е д и н и ц у в р е м е н и н е м ен ее bi м е т р о в т к а н и Т\, н е м е н е е Ь2 м е т р о в тк а н и Т2 и н е м ен ее Ь3 м е т р о в тк а н и Т3.

Т р е б у е т с я т а к р а с п р е д е л и т ь з а г р у з к у с т а н к о в п р о и з в о д с т в о м т к а ­

( / = 1, 2, 3 ) , т о в о з н и к а ю т ш е с т ь п е р е м е н н ы х — э л е м е н т о в р еш ен и й :

к о т о р ы е н е о б х о д и м о в ы б р а т ь т а к , ч т о б ы п р и б ы л ь з а е д и н и ц у в р е м е ­ ни б ы л а м а к с и м а л ь н о й . К а ж д ы й м е т р т к а н и 7^ п р и н о си т п р и б ы л ь сг,

Т р е б у е т с я в ы б р а т ь т а к ж е н е о т р и ц а т е л ь н ы е зн а ч ен и я п е р е м е н н ы х

(2 .1 4 ), ч т о б ы л и н ей н а я ф у н к ц и я о т н и х (2 .1 5 ) о б р а щ а л а с ь в м а к с и ­ м у м . П р и э т о м д о л ж н ы в ы п о л н я т ь с я с л е д у ю щ и е огр а н и ч и т е л ь н ы е

у с л о в и я :

1) С у м м а к о л и ч е ст в с т а н к о в к а ж д о г о т и п а , з а н я т ы х п р о и з в о д ­

н ы м н е р а в е н с т в а м ) (2 .1 6 ) и (2 .1 7 ), п р и к о т о р ы х л и н ей н а я ф у н к ц и я (2 .1 5 ) э т и х п е р е м е н н ы х о б р а щ а л а с ь б ы в м а к с и м у м .

Математически задачу в общем виде можно сформу­ лировать так, Максимизировать сХ при условиях Х^О,

АХ>В,

149