книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

Наиболее эффективным способом обеспечения пре­ имущества является порядок назначения очередного требования. Однако преимущества в обслуживании можно достичь и таким «тривиальным» способом, как объявление части приборов недоступной для требований потока П2, в то время как требованиям потока П1 до­ ступны все приборы — этот способ можно назвать спо­ собом «лишних» приборов. Вообще же существует много способов обеспечения преимущества, но мы ограничимся приведенными выше.

На этом мы заканчиваем краткое описание классов процессов оослуживания, фигурирующего в большинст­ ве теоретических работ по теории массового обслужива­ ния *>. Напомним: этот класс характерен тем, что над каждым (отдельным) требованием производится некото­ рая (единственная) операция, осуществляемая (одним) обслуживающим средством.

4. Обобщенное обслуживание. Уже отмечалось, что многие практические системы требуют рассмотрения бо­ лее общих процессов обслуживания, требующих для своего описания расширения самого понятия «обслужи­ вание». Ниже это расширение производится путем вве­ дения так называемого «обобщенного обслуживания».

Простейшими примерами процессов обслуживания, которые не укладываются в детально описанную выше схему, могут служить работа лифта, способного одновре­ менно обслуживать несколько пассажиров, последова­ тельная обработка деталей на автоматической линии, состоящей из нескольких разнотипных станков.

В целом мы будем называть процесс обслуживания обобщенным, если нарушено хотя бы одно из предполо­ женных выше «условий единственности»: одно требова­ ние, один прибор, одна операция обслуживания, т. е. для операции обобщенного обслуживания, которая уже не предполагается однократным актом, недостаточно одного прибора, причем требования могут обслуживать­ ся целыми группами.

В п о с л е д н е е в р е м я на р у с с к о м я з ы к е п о я в и л о с ь н е с к о л ь к о

о б з о р м о н о г р а ф и ч е с к о й л и т е р а т у р ы п о т е о р и и м а с с о в о г о о б с л у ж и ­ в а н и я .

70

Так как случаи однородного и неоднородного пото­ ков существенно различны, они рассмотрены отдельно. Отметим, что наиболее важным и содержательным явля­ ется случай неоднородного потока. Так как рассмотрен­ ные выше системы обслуживания были описаны доста­ точно подробно, то остановимся лишь на описании поня­ тия «обобщенное обслуживание», а особенности обоб­ щенных систем обслуживания отразим в замечаниях.

Перед тем как перейти к определению обобщенного обслуживания, заметим, что с формальной точки зрения описанный ранее процесс обслуживания можно опреде­ лить следующим образом. Задаются:

1) «элемент обслуживания», составляемый по како­ му-то закону (определяемому дисциплиной обслужива­ ния) при наличии в системе массового обслуживания требования и свободного прибора; при этом говорят об обслуживании данного требования в данном приборе, который считается занятым;

2)случайная величина г|>0, называемая временем обслуживания;

3)«правило распада» элемента обслуживания: эле­ мент обслуживания «распадается» (перестает существо­ вать), если

боре прервано другим требованием.

Если за промежуток времени г) элемент обслужива­ ния не распадается, считаем данное требование обслу­ женным, а прибор свободным.

Вначале (п. 5) приведем формальное определение обобщенного обслуживания в предположении, что поток требований однороден, а затем (п.п. 6, 7) дадим различ­ ные интерпретации введенных понятий. В конце (п.п. 8—10) обобщенное обслуживание рассматривается для случая неоднородного потока.

5. Понятие обобщенного обслуживания. Понятие обобщенного обслуживания определим индуктивно.

а) Обобщенное однофазное обслуживание будем за­ давать:

1) элементом обслуживания — парой случайных чи­ сел (т, п), составляемой по какому-то закону при нали­ чии в системе массового обслуживания m ^ l требова-

71

НИЙ И свободных приборов, при ЭТОМ 1 оворят об обслуживании от-ки требований в п-ке приборов, т. е. группа из т требований обслуживается совокупностью, состоящей из «^приборов, которые считаются занятыми;

2)случайной величиной г)> 0 (временем обслужива­

ния) ;

3)правилом распада элемента обслуживания: эле­

мент обслуживания распадается (перестает существо­ вать), если

—истекло время пребывания всех требований, вхо­ дящих в т-ку;

—вышел из строя хотя бы один прибор, входящий

вп-ку;

—прервано обслуживание данной m-ки в данной п-ке; если за промежуток времени т] элемент обслужива­ ния не распадается, считаем данную т-ку обслуженной,

акаждый из приборов п-ки свободным.

Отметим, что по отношению к определяемому про­ цессу обобщенного обслуживания фигурирующие т-ку требований и n-ку приборов можно считать, соответст­

венно, обобщенным требованием и обобщенным прибо­ ром.

б) Обобщенное ^-фазное (q~^\) обслуживание. Бу­ дем считать множество обслуживающих приборов 5 со­ стоящим из q попарно непересекающихся подмножеств

Si, S2, . . ., Sq, которые принято называть фазами. Пусть

1)mk— целое число

2)nh— целое число, l^ n k^ r k]

3)г]— положительное число.

Обслуживание на первой фазе задается точно так же, как н обобщенное однофазное обслуживание, где надо положить т= ти п= пи r= r\, г] = г]i.

Обслуживание какого-либо требования на г-й фазе

(i = 2,q) может начаться лишь после того, как это требо­ вание будет обслужено на (i — 1)-й фазе, и задается точ­ но так же, как и обобщенное однофазное обслуживание, где надо положить т = т г; п= пй r=ri. После обслужи­ вания на q-й фазе требование считается обслуженным полностью.

72

Ниже дается интерпретация данного формального определения.

вание обслуживается несколькими приборами. Будем различать два случая:

1)приборы одинаковы (однородны), т. е. требование может быть обслужено любыми я свободными прибо­ рами;

2)приборы различны (неоднородны), т. е. обобщен­ ный прибор должен составляться из я определенных приборов.

Приведем соответствующие примеры. Для первого случая можно представить себе систему противовоздуш­ ной обороны какого-либо объекта.

Если число самолетов противника сравнительно не­ велико (меньше количества средств противовоздушной обороны), то для борьбы с каждым из них может быть выделено несколько средств противовоздушной обороны, причем любых, если считать их одинаковыми. В этом случае я определяется состоянием системы обслужива­ ния в данный момент времени.

Более интересным и важным является тот случай, когда не любые из свободных приборов могут образовы­ вать обслуживаемую я-ку, т. е. мы должны предполо­ жить приборы неоднородными относительно некоторого признака. Пусть относительно этого признака множество приборов 5 разбито на я попарно непересекающихся подмножеств Si, S2, . . . , Sn.

Обобщенным прибором будем считать совокупность из я приборов, взятых по одному из каждого подмноже­ ства.

В силу свойства полнодоступности каждого из под­

П

входящих в подмножество S ;; i = l ,n ,^ Гг=тр Поэтому,

fsi

с точки зрения наилучшего использования приборов, оптимальным является случай равного количества при­

73

боров во всех подмножествах Si, i=\,ti. Но тогда состав обобщенных приборов можно раз и навсегда фиксиро­ вать (отнеся, например, к обобщенному прибору с номе­ ром k приборы каждого подмножества Su имеющие нономер k), затем каждую п-ку назвать прибором — полу­ чаем обычное обслуживание.

Ниже мы увидим, что для неоднородного потока этот случай является очень важным и весьма содержатель­ ным, а для однородного потока ограничимся примером.

Как мы только что убедились, для однородного пото­ ка обобщенное обслуживание при т = 1 и неоднородных приборах имеет смысл_лишь тогда, когда не все /у рав­

ны между собой, i= 1 ,п.

смысл, если приборы, относящиеся к разным подмноже­ ствам Si, имеют различную надежность, тогда наиме­ нее надежных приборов должно быть больше.

Простейший пример: имеется несколько однотипных станков (подмножество Si) и общий набор резцов к ним (подмножество S2). Обычно г2 на много больше /у.

Возможно небольшое обобщение правила образова­ ния п-ки приборов. Именно, бывают системы массового обслуживания, где из некоторых подмножеств S; в п-ку входят несколько приборов. Число подмножеств Si; ко­ нечно, не должно превосходить п. В качестве примера можно привести тот случай, когда с каждым из станков комплектуется сразу несколько резцов.

б) п—1. Мы получим обобщенное обслуживание лишь при m > 1. Но так как пока мы рассматриваем лишь од­ нородный поток, получаем — в отличие от раздела а) — единственную возможность: обобщенное требование со­ стоит из m произвольных требований, т. е. для обслужи­

74

такси «Москва — Ногинск» не отправится в рейс, пока не соберется нужного количества пассажиров.

Здесь существенна и другая сторона: каждый прибор способен одновременно обслуживать несколько требова­ ний. Вообще говоря, количество требований, которое прибор обслуживает одновременно, надо считать случай­ ной величиной, которая определяется как параметрами самого прибора, так и дисциплиной обслуживания. В приведенном примере это, соответственно, вместимость такси и те правила, которыми руководствуется шофер, ожидая заполнения машины пассажирами. В качестве другого примера можно привести работу лифта.

в) Если же и т , и п превосходят единицу, обобщен­ ное однофазное обслуживание однородного потока мож­ но иллюстрировать работой однотипных станков со сколь­ зящим резервом вспомогательного оборудования (рез­ цов, например), причем каждый станок обрабатывает одновременно несколько деталей.

7.Обобщенное многофазное обслуживание. Мы вновь

вание на первой фазе есть обычное обслуживание. Если оно заканчивается, обслуженное на первой фазе требо­ вание поступает на вторую фазу. В силу выбора чисел т2 и п2 обслуживание на второй фазе также является обычным, после чего обслуженное требование поступает на третью фазу, где обслуживание также обычно, и т. д., пока требование не будет обслужено на q-й фазе, что означает окончание обслуживания этого требования в данной системе.

Так введенное многофазное обслуживание описывает последовательное выполнение над поступившим требо­ ванием ряда операций, каждая из которых осуществля­ ется разными приборами.

В качестве наиболее важного примера можно приве­ сти процесс последовательной обработки какой-либо де­ тали на конвейере. Типичной дисциплиной является ог­ раничение на длину очереди для каждой из фаз. Техни­ чески такая дисциплина реализуется с помощью бунке­ ров определенной емкости, расположенных между стан­ ками.

Возникающие здесь задачи необычайно сложны для аналитического исследования. Видимо, для получения практически интересных результатов единственно прием­

75

лемым в настоящее время методом является, как и для большинства задач обобщенного обслуживания, стати­ стическое моделирование.

Мы сделаем одно замечание, которое позволит взгля­ нуть на многофазное обслуживание с другой стороны. Именно, описанную систему обобщенного обслуживания можно представить в виде совокупности q обычных си­ стем массового обслуживания, связанных воедино сле­ дующим правилом: входящим потоком первой из этих систем является заданный поток, входящим для любой из остальных систем служит поток требований, обслу­ женных предыдущей системой массового обслуживания. Поэтому многофазные системы нельзя механически рас­ членять на самостоятельные системы массового обслужи­ вания и изучать их по отдельности. Это следует учиты­ вать как при аналитических исследованиях, так и при статистическом моделировании этих процессов на ЭВМ. Отметим, что в системах производственного характера взаимосвязанность отдельных фаз может быть еще бо­ лее сильной. Например, при загруженности (г Ч-1) -й фазы i-я фаза (или все предыдущие) может прекратить обслу­ живание— до тех пор, пока не «рассосется» создавшая­ ся «пробка».

б) Если величины ягг произвольны, это означает, что приборы каждой фазы обслуживают требования груп­ пами.

в) Наконец, случай произвольных щ можно пони­ мать, как и в п. 6. а), двояко, но мы не будем на этом останавливаться.

8. Случай неоднородного потока. Перейдем к случаю неоднородного потока, для которого понятие обобщен­ ного обслуживания становится более содержательным.

кроме момента поступления t,'нетривиальными. Обозна­ чим через 5 количество нетривиальных параметров:

S= i+ k.

Прежде всего, отметим те особенности обобщенного обслуживания, которые связаны с неоднородностью тре­ бований:

1) требованиям разных типов могут отвечать свои м-ки приборов;

76

2)т-ка требований может состоять из вполне опре­ деленной совокупности требований отдельных видов;

3)если поток однороден, то каждое требование вы­ ступает как единый «нерасчлененный» объект. Поэтому под обслуживанием мы можем понимать осуществление

некоторой операции или нескольких, следующих одна за другой, т. е. разнесенных во времени. В неоднородном же случае имеется еще, кроме указанных, возможность одновременного выполнения над каждым требованием ■нескольких операций, совмещенных во времени, так как мы можем под операцией понимать изменение какоголибо одного из нетривиальных параметров.

а) О б о б щ е н н о е о д н о ф а з н о е о б с л у ж и в а ­ ние. Формальное определение по сравнению со случаем однородного потока изменится незначительно. Именно, вместо случайной величины г| мы будем задавать I неот­ рицательных случайных величин тщ . . . , тр, среди кото­ рых хотя бы одна должна быть отлична от тождествен­ ного нуля, и называть временем выполнения /-й опе­ рации (обслуживания /-го нетривиального параметра),

t= l,/. Поэтому т-ка требований считается обслуженной

(полностью) только тогда, когда за время г,= шах г эле- l^isSZ

мент обслуживания не распадается. Если же до момен­ та распада элемента обслуживания закончатся лишь не­ которые операции, дальнейшая судьба частично обслу­ женного обобщенного требования определяется особым правилом: оно может считаться потерянным или же остаться в системе для обслуживания. Что же касается приборов из обслуживающей m-ки, они считаются сво­ бодными по мере окончания каждым из них своей опе­

этапы, каждый из которых осуществляется приборами одной из фаз, оказывается, в общем случае, неоднознач­ ным. Однако всякая реальная система обслуживания естественным образом разбивается на некоторые отно­ сительно самостоятельные части, причем каждое требо­ вание при обслуживании проходит эти части последова­ тельно.

77

Ниже введенные понятия поясняются на примерах

9. Пример обобщенного однофазного обслуживания.

Рассмотрим вначале влияние, которое оказывает неод­ нородность потока на обобщенное однофазное обслужи­ вание в том частном случае, когда лишь одна из вели­ чин T]i,. . . , rjs отлична от нуля, т. е. процесс обслужива­ ния заключается в изменении одного из нетривиальных параметров какого-либо требования пли группы. При этом, разумеется, могут иметь место и те случаи, кото­ рые были указаны для однородного потока.

а) Пусть т=\, п> 1. Если для обслуживания безраз­ лично, какие из свободных приборов способны образо­ вать обобщенный прибор, т. е. приборы однородны, мож­ но считать, что потребное их количество определяется одним из параметров требования. Например, при неме­ ханизированной разгрузке, если в потоке грузов могут встретиться предметы самых различных габаритов и ве­ са, то количество грузчиков, необходимых для выгрузки какого-либо предмета, следует считать случайной вели­ чиной.

Предположим, что приборы неоднородны относитель­ но какого-то признака, с помощью которого множество приборов 5 разбито на п попарно непересекающихся подмножеств Si, ... S„.

Нам будет удобно считать, что рассматриваемый по­ ток П представлен в виде суммы Р потоков Ш, ..., ПР. Будем также предполагать, что для каждого из потоков Пг в любом из множеств Sh должен найтись хотя бы один прибор, способный обслуживать требования этого

потока (i—\,p,k=\,p).

Обслуживающая т-ка для требований потока Пг со­ ставляется из п приборов, взятых по одному из каждого множества Sh— из числа тех, разумеется, что способны обслуживать требования потока Пг (неполнодоступность множеств Sh) ■

Описанную дисциплину обслуживания в телефонии называют п-каскадной, множество Sh—k-м каскадом

(k=\,n).

Простейшим примером двухкаскадной телефонной системы массового обслуживания является рассмотрен­ ная ранее система связи «Одесса — Баку» (через Моск­ ву). Первый каскад — каналы связи «Одесса — Москва», вттрой — «Москва — Баку».

Отметим, что здесь, если все приборы второго каска-

78

Да заняты, требования ожидают их освобождения. Если же имеем многокаскадную систему в пределах одного города, обычно используется иная дисциплина: требова­ ние получает отказ (теряется), когда заняты все доступ­ ные ему приборы хотя бы одного из каскадов (сигнал «занято» после набора одной— двух первых цифр необ­ ходимого номера).

б) Пусть теперь п= 1, т > 1. Для случая однородно­ го потока имеем групповое обслуживание. Если поток неоднороден, получаем качественно новый и очень важ­ ный для практики вид обслуживания.

Представим поток П в виде суммы т > 1 потоков П1, . .., Пт и зададим обслуживание следующим обра­ зом: каждый прибор может обслуживать лишь группу из т требований, взятых по одному из каждого потока. Формально понятие потока т-ок можно ввести так: если

каждый из потоков Пг(г'=1 ,т) является однородным и обладает свойством ординарности, считаем, что момен­

задачах, где какое-то целое образуется из частей. Тако­ вы, например, процессы сборки (когда по конвейерам движутся детали, из которых затем собирается некото­ рое устройство), процессы получения сводной информа­ ции о каком-то объекте и т. п. При этом специфика кон­ кретных задач вызывает различные модификации основ­ ной схемы.

Так, часто предполагают, что каждый конвейер снаб­ жен бункером определенной емкости (ограничение на длину очереди), а в случае информационных задач бо­ лее естественным является ограничение на величину до­ пустимого времени ожидания (информация «старет» становится ненужной), впрочем, часто приходится счи­ таться с ограниченной емкостью запоминающих уст­ ройств.

в) Теперь становится понятным смысл обобщенного однофазного обслуживания и для произвольных т и п. Для простоты можно представлять себе несколько стан­ ков, каждый из которых производит сборку некоторого устройства из каких-то компонентов, причем набор вспо­ могательных инструментов является общим для всех станков.

79