книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

лее чем один элементарный Сигнал. К выходному кон­ такту может быть подключено любое конечное число элементарных каналов при условии, чтоко входу одного и того же элемента системы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.

Средства передачи сигналов в реальных системах весьма разнообразны и далеко не всегда удовлетворяют ограничениям, вытекающим из приведенных предположе­ ний. Для использования предлагаемой формализации до­ статочно каждый реальный канал передачи сигналов представить в виде самостоятельного элемента системы с соответствующими входными и выходными контактами таким образом, чтобы идеальные связи между элемента­ ми модели не выходили за рамки упомянутых предполо­ жений.

Взаимодействие системы с внешней средой рассмат­ ривается как обмен сигналами между внешней средой и элементами системы. Иначе говоря, каждый сигнал, вы­ даваемый во внешнюю среду, складывается из элемен­ тарных сигналов, выдаваемых одним или несколькими элементами системы; элементарные сигналы, составляю­ щие сигнал, поступающий из внешней среды, принима­ ются одним или несколькими элементами. В соответст­ вии с этим внешнюю среду можно представить в виде фик­ тивного элемента системы С0, вход которого содержит «о входных контактов Х .0) , i = 1, 2,.. .,п0, выход — г0 выход­

ных контактов К*0), t = 1,2,.. ,г0.

Сигнал, выдаваемый системой во внешнюю среду, при­ нимается элементом С0 как входной сигнал, состоящий из элементарных сигналов х\0) (t), х 2 ] (t), ..., х (0)п (t).

Сигнал, поступающий в систему из внешней среды, является выходным сигналом элемента С0 и состоит из

элементарных сигналов у,(0) (t), у 20)( (t),..., y(n0J (t).

Элементарный сигнал y[°\t) выдается выходным кон­

тактом У^0), а элементарный сигнал x^\t) принимается

входным контактом Х<°>.

i

Изложенные соображения приводят к заключению, что каждый Cj (в том числе и С0) как элемент системы 5 в рамках принятых предположений о механизме обмена сигналами достаточно характеризовать множеством вход­

90

[Xj;)]” t и множеством выходных контактов У(/), У{1), ...,

У(/\ обозначаемым [У*/*], , где п=щ , г—rjt /= 1 , 2,..., N.

Таким образом, математической моделью элемента Cj, используемой для формального описания сопряжения его с прочими элементами системы и внешней средой,

является пара множеств: [Х!;) ]” ; [У|;) ][ .

среды, соответствует не более чем один выходной кон­

такт y f ’e u [У'/'М;, где/ , 6 = 1 , 2 .....N\ i, l=\, 2,..., г,-

/=о

множество выходных контактов всех элементов систе­ мы и внешней среды, с которым он связан элементар­ ным каналом. Поэтому можно ввести однозначный опе­ ратор

ный с ним элементарным каналом. Если в системе к кон­ такту X jj) не подключен никакой элементарный канал,

то оператор R не определен на этом Xj^ . Оператор R называется оператором сопряжения элементов в си­ стеме. Совокупность [множеств j[Xj;) ]" и [У[4) ][ и опера­

тора R образует схему сопряжения элементов в системе S. Для пояснения вышесказанного рассмотрим систему [142], изображенную на рис. 21.

Оператор сопряжения обычно задается в виде табли­ цы, в которой на пересечении строк с номерами элемен­ тов системы (/) и столбцов с номерами контактов (t) располагаются пары чисел (k, I), указывающие номер элемента k и номер контакта I, с которым соединен кон­ такт Хр\ Для системы, изображенной на рис. 21, опера­ тор сопряжения представляется табл. 8.

91

ментарные каналы. Методы теории графов весьма эф­ фективны для изучения структуры связей между входны­

ми и выходными контактами элементов системы и внеш­ ней среды.

В структурном анализе, наряду с полной схемой со­ пряжения элементов сложной системы, рассмотренной выше, нередко используются частные характеристики со­ пряжения следующего вида.

Множество выходных контактов элемента Cj, связан­ ных элементарными каналами с входными контактами элемента С&,

= К Г) * ([* ?> ]?)■

92

Множество входных контактов [элемента Cj, связан­ ных элементарными каналами с выходными контактами элемента Си,

={[Yw K n t f ( [ * ; y) ]")},

где ^ “ ’ —-оператор, обратный оператору Rj, a Rj — суже­

ние оператора R на множество контактов [Х(/)]” .

Характеристики [XU-’1')] и [YUM] позволяют судить как о самом факте наличия связей между элементами Сj и Си, так и о числе элементарных каналов, соединяющих упомянутые элементы.

Рассмотренная выше схема сопряжения, заданная совокупностью множеств [X(J) ]" и [У(,) \\ и оператором R, является одноуровневой схемой сопряжения.

Для решения задач композиции и декомпозиции сложных систем представляет большой интерес форма­ лизация сопряжения элементов в многоуровневых систе­ мах [186].

3. Математическая модель сопряжения элементов в многоуровневых иерархических системах. Для понима­ ния формального описания сопряжения элементов в многоуровневых системах мы рассмотрим двухуровне­ вую схему сопряжения, предполагая, что читатель, поняв принцип построения операторов и формальные соотно­ шения, связывающие операторы различных уровней, окажется подготовленным для самостоятельного пост­ роения математической модели сопряжения элементов для систем с произвольным числом уровней.

Пусть система S расчленена на некоторое число^под-

менту таким образом, что данный элемент Сj входит только в одну из подсистем (рис. 21).

Подсистема S , с одной стороны, сама является си­ стемой, а с другой — элементом системы S. Подсистема как самостоятельная система должна иметь контакты X (0)|i и y|0)|i фиктивного элемента С^, представляющего внешнюю среду для нее, а как элемент системы 5 она

93

дующим образом. Рассмотрим множество [У(.7>] выходных

контактов У|7) всех элементов Cj, принадлежащих подси­ стеме S^, т. е. Cj £= 5 , которые соединены элементарными каналами с входными контактами элементов Ск, не принад­

Вобщем случае, отбирая контакты У\!) для включения

вмножество [У;(/) J , мы можем встретиться с одним и тем же У,0) несколько раз. Например, контакт У2 представ­

ляется и как R(Xj3)) и как R(X24)) (см. рис. 22). Однако множество [У|7) ] содержит только по одному экземпляру контактов У;0), так как в силу закона идемпотентности объединения множеств одинаковые контакты не повторяются.

мо от количества подключенных к нему элементарных кон­ тактов, так как роль распределителя каналов может быть

раторами

у!",= а д (/))

и

94

Операторы Qp и задаются таблицей нумерации пар­

ных контактов (табл. 9). Например, для подсистемы S, (рис. 22) эта таблица имеет следующий вид:

Для дальнейшего отметим, что операторы Q и описывают взаимно однозначные соответствия, поэтому существуют однозначные обратные им операторы Q-1 и

Аналогично рассмотрим множество [Х */^ входных кон­ тактов всех элементов C jG ^ , соединенных элементар­

ными каналами с выходными контактами элементов Cn^S и элемента С0

UU ( U [Xti.*)])}.

Вмножество [Xl;) [ входят только различные кон­

такты Х\п , однако не для каждого из них необходим

двойной контакт (X||J,), Fj0*1'). В самом деле, для кон­

тактов Xg3) и Х*4) достаточно одного двойного контакта

(Xg2> , Yf)2). Отдельный двойной контакт (Х^, F|0)tl') в

общем случае достаточно иметь для каждой совокупности Х !л из множества [Х ^ ] , имеющих совпадающие R(XlP).

Введем операторы

X f = /yX f> ); Y f^ ^ P '^ X f),

которые задаются таблицей нумерации парных контак­ тов. Например, для подсистемы S2 они представлены в табл. 10.

95

ные операторы не существуют. Тем не менее, для данного Х (Р выберем произвольно один из возможных Х (Р и

и выходных контактов и оператор сопряжения. Множества контактов [Х ^ ]" и \Y(p }[ для элементов С3- G известны,

а для элемен а С ^, представляющего внешнюю среду подсистемы 5 , определяются как

[ х Р Т ^ ' Ж Ч ) -

Оператор

с областью определения в множестве {[X *0)|J,]”U (^U_ X

в соответствие контакт Yfk\ соединенный с Х ^ элемен­

тарным каналом (если такое соединение в подсистеме существует), будем называть

сопряжения элементов в подсистеме S .

Оператор R при заданном R определяется так:

г*

96

VX ’>=<«V> - ‘ (х ;л).

Втабл. 12— 14 приведены операторы R , где р со-

ответственно равны 1, 2, 3 для системы, представленной

С этой точки зрения она характеризуется множествами входных \Х* ]" и выходных [T;(|J,)]j контактов, где

РГ 1l ? = M t x P U .

нг i ; = w ' ’ u -

записи формул можно ввести в рассмотрение тождествен­ ный оператор Qv. Тогда

Я и (xf)=QAR [р- 1 ( X ' rt)]} .

будем называть двухуровневой схемой сопряжения си­ стемы.. Двухуровневая схема сопряжения содержит мно­ жества контактов

С точки зрения декомпозиции сложных систем суще­ ственный интерес представляет преобразование много­ уровневой системы в систему с меньшим числом уровней вплоть до одноуровневой. Для примера рассмотрим пе­ реход от двухуровневой схемы к одноуровневой.

Считая заданной двухуровневую схему сопряжения, получим оператор R, составляющий вместе с известными