книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

Грубо гопоря, поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества тре­ бований в течение некоторого промежутка времени не зависит от начальной точки этого промежутка, а опре­ деляется лишь его длиной. Если вероятность поступле­ ния требований после произвольного момента времени не зависит от характера поступления требований до это­ го момента, говорят об отсутствии последействия. Орди­

нарными называют такие потоки, для которых практи­ чески невозможно одновременное появление двух или более требований.

Потоки, обладающие тремя вышеперечисленными свойствами, называются простейшими. Таким образом, простейшие потоки — это стационарные ординарные по­ токи без последствия. Для пдостешшгх потоков вероят­ ности Я/, (/) появления k требован'ии ьПтрбШшуГке" (где угодно -^ п ол ож енном — стационарность!) времени дли­ ны / подчиняются пуассоновскому распределению с па­ раметром ).t:

- \ t (M)h

РАО- k\

где к — так называемая интенсивность потока, равная среднему числу требований, поступивших в систему за единицу времени.

На практике нередки отклонения от простейшего потока. Так, в течение суток поток вызовов, поступаю­ щих на телефонную станцию, меняется в значительных пределах (достаточно сравнить, например, рабочее вре­ мя и ночные часы), т. е. стационарным его можно счи­ тать лишь на отдельных отрезках времени. Иногда какой-либо важный телефонный звонок вызывает целую лавину других звонков — появляется последействие. Часто в билетную кассу обращаются с просьбой продать

60

ие одни, я несколько билетов: иялицо явное нарушение свойства ординарности.

Тем не менее, простейший поток встречается в реаль­ ных системах гораздо чаще, чем можно было бы пред­ положить. Причина этого в том, что если данный поток состоит из суммы большого числа взаимно независимых стационарных и ординарных потоков малой интенсив­ ности, обладающих произвольным последействием, его можно считать близким к простейшему.

Помимо рассмотренного выше описания произволь­ ного потока имеется еще один, хотя и менее общий, но зато более простой и удобный способ описания. Именно,

вательность случайных величин, причем оба способа

токе с ограниченным последействием. Ограниченность последействия — более широкое понятие, чем его отсут­ ствие. Поэтому стационарные ординарные потоки с огра­ ниченным последействием (так называемые потоки Пальма) являются более общими потоками по сравне­ нию с простейшими. {— I

Следует особо отметить, что возможность представ- | лення произвольного потока в виде последовательности 1 случайных величин позволяет достаточно просто фор,:,,) мировать реализации потока на ЭВМ.

Выше рассматривались лишь однородные потоки. Однако во многих сложных системах обслуживания каждое требование, помимо момента его поступления /,

этому требование следует рассматривать как случайный вектор

R=R(t; он, ..., ар, |Ф, ... , |ф<).

Эта полезная идея позволяет анализировать весьма сложные потоки, встречающиеся на практике. В этом случае поток есть последовательность случайных векто­ ров— имеем обобщение второго из определений потока.

Необходимость учитывать неоднородность потока возникает вследствие того, что требования разных типов

61

/статочно легко формировать реализации этих потоков, имеющих весьма сложную (при аналитическом задании) структуру, на ЭВМ.

Обслуживающие приборы. Мы определили приборы как некоторые средства, позволяющие обслуживать по­ ступающие требования. Как правило, множество 5 об­

62

служивающих приборов конечно, ибо в реальных систе­ мах массового обслуживания количество средств обслу­ живания всегда ограничено, хотя при теоретических исследованиях иногда полезно рассматривать и пре­ дельный случай.

Обычно считают, что каждый из приборов может находиться в одном из двух возможных состояний: «занят», если прибор обслуживает требование, «свобо­ ден»— в противном случае. Однако в практических исследованиях далеко не всегда можно удовлетвориться лишь двумя состояниями приборов.

Действительно, иногда важно учитывать, что прибор способен приступить к обслуживанию очередного тре­ бования не сразу после окончания обслуживания пре­ дыдущего требования, так как необходимо некоторое (вообще говоря, случайное) время для восстановления готовности прибора к обслуживанию (артиллерийское орудие, например, после выстрела перезаряжают) или же для профилактики.

Далее, часто для перехода прибора из состояния' «свободен» в состояние «занят» требуется некоторое (тоже случайное) время — «время разогрева» прибора.

И, наконец, приборы, как и всякие работающие ме­ ханизмы, могут выходить из строя. Возникающие здесь проблемы изучаются в теории надежности— важной области приложений теории вероятностей, где, кстати, широко применяются идеи и методы теории массового обслуживания.

Во многих системах массового обслуживания бывает полезным выделить и изучать как самостоятельный объект строение множества приборов 5. В телефонии, например, говорят о «схеме обслуживания» как об опре­ деленным способом организованном (наделенном опре­ деленной структурой) множестве обслуживающих средств.

Дисциплина обслуживания. Введя поток, мы опреде­ лили, как поступают требования. Здесь мы опишем, как они обслуживаются. Совокупность правил, определяю­ щих процесс обслуживания, составляет дисциплину об­ служивания.

Как это принято в большинстве работ по теории массового обслуживания, мы будем понимать под об­ служиванием выполнение некоторой (единственной) опе­ рации, задаваемой действительным числом (случайным)

63

к каждому из стоящих рядом телефонов-автоматов вы­ страивается обычно отдельная очередь (так называемые «параллельные очереди»). Аналогичную картину можно наблюдать и в портах, если причалы находятся друг от друга достаточно далеко.

Важно отметить, что в этих примерах параллельные очереди имеют место в пределах одной и той же систе­ мы массового обслуживания, даже при запрещении переходов из одной очереди в другую, ибо входящий поток является общим. Если же несколько различных систем массового обслуживания (каждую со своим по­ током и множеством приборов) объединить в одну систему с параллельными очередями, считая, что вхо­ дящие потоки образуют общий входящий поток (уже неоднородный), а совокупность множеств приборов — общее множество приборов (естественно, не обладаю­ щее свойством полнодоступности), такую систему мас­ сового обслуживания принято называть распадающейся.

г) В р е м я о б с л у ж и в а н и я задается своей функ­ цией распределения. Естественно, что она может быть различной для различных приборов.

д) Д и с ц и п л и н а о ч е р е д и . Для систем с ожи­ данием наиболее простой является, очевидно, следую­ щая дисциплина: требование ожидает до тех пор, пока его не начнут обслуживать — система с неограниченным ожиданием. В общем случае дисциплина задается не­ которой системой ограничений, накладываемых на основ­ ные характеристики системы массового обслуживания (с ожиданием). Е[аиболее часто встречаются следую­ щие ограничения:

1)На время ожидания — требование может ожидать начала обслуживания какое-то время, не превосходящее некоторой случайной величины. Если за эго время обслуживание данного требования не начнется, оно теряется. Начав обслуживаться, требование не покидает систему до конца обслуживания.

2)На время пребывания (так называют сумму вре­ мени ожидания и длительности обслуживания) — требо­ вание может находиться в системе время, не превосхо­ дящее некоторой (случайной) величины х, причем если за это время обслуживание не будет закончено, требо­ вание теряется независимо от того, началось его обслу­ живание или нет. Таким образом, могут представиться следующие случаи:

служенного» требования; б) за время т требование начало обслуживаться,

обслужилось. Все эти возможности часто встречаются, например, в задачах военного характера, где какаялибо цель бывает доступна для обстрела (пли наблю­ дения) лишь некоторое время.

3) На длину очереди — требование, застав очередь длины k, остается в ней с вероятностью Ph н не при­ соединяется к очереди с вероятностью q&= 1—Рк'. именно так обычно ведут себя люди в очередях.

В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процес­ сов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки.

Отметим также, что классические системы с отка­ зами или неограниченным ожиданием являются частны­ ми случаями всех вышеупомянутых систем с ограниче­ ниями, где возможны как потери требований, так и их ожидание. Поэтому иногда системы с ограничениями называют смешанными.

Перечислим еще некоторые возможные и встречаю­ щиеся на практике правила:

4)Время пребывания обслуживания требования зависит от того, сколько ему пришлось ожидать.

5)Среднее время обслуживания уменьшается с ро­ стом очереди.

6)Число приборов возрастает с ростом очереди.

живанию.

В силу однородности потока мы можем различать требования либо по длительности фактического ожида­ ния (т. е. по моментам их поступления), либо по про­ должительности остающегося в их распоряжении вре­ мени ожидания (или пребывания). Перечислим некото­ рые частные случаи:

1) неупорядоченность — с равными вероятностями на обслуживание поступает любое из ожидающих требо­ ваний;

66

2) строгая очередность — требования назначаются

кобслуживанию в порядке их поступления;

3)обратная очередность — первым начинает обслу­ живаться то из требований, которое поступает послед­ ним (разбор груды ящиков, складываемых друг на друга).

Таким образом, основными шагами процесса обслу­ живания однородного потока являются:

1)выбор свободного прибора;

2)задание времени обслуживания.

Для системы с отказом 1) и 2) исчерпывают весь процесс обслуживания. Если рассматриваются системы массового обслуживания с ожиданием, то должны быть дополнительно заданы правила:

,3) образования очереди;

4)назначения очередного требования.

3.Порядок обслуживания. В основе процедуры обслу­ живания неоднородного потока лежит порядок обслу­ живания однородного потока. Ниже рассматриваются лишь некоторые из особенностей процесса обслужива­ ния, вызываемых неоднородностью потока.

Сразу же очевидно, что для неоднородного потока

полнодоступности множества обслуживающих прибо­ ров 5 может не наблюдаться. Действительно, неодно­ родность потока может сказываться именно в том, что каждому из потоков, на которые можно разбить неодно­ родный поток, отвечает (доступно) свое подмножество множества 5. В этом случае множество 5, как принято в телефонии, называют неполнодоступным пучком (ли­ ний приборов). В качестве примера приведем станочный парк металлообрабатывающего завода, где, наряду с универсальными, имеются и специализированные станки (токарные, расточные и т. п.).

Неоднородность потока может влиять на распреде­ ление времени обслуживания. Так, телефонная стати­ стика показывает, что в пределах одного и того же города длительность разговоров распределена по пока­ зательному закону, тогда как длительность междугород­ ных разговоров можно грубо принять постоянной (3 ми­ нуты) .

В качестве примера влияния неоднородности потока на дисциплину очереди приведем важный частный слу­ чай, когда для некоторых требований имеем систему с неограниченным ожиданием, а для всех остальных —

с отказами. Такой вариант возможен при организации междугородной телефонной связи. Скажем, на Москов­ ском узле связи для немосковских абонентов, связы­ вающихся через Москву с другими городами (например, из Одессы в Баку можно позвонить только через Моск­ ву), обеспечивается возможность ожидания, тогда как для вызовов, поступающих от московских абонентов, допустимы отказы.

Наиболее сложным и интересным является случай различных вариантов назначения очередного требова­ ния для неоднородного потока. Вызвано это тем, что требования различных типов могут взаимодействовать между собой на общих приборах, т. е. одни требования могут влиять на обслуживание других требований — вплоть до прекращения их обслуживания.

Пусть, для простоты, множество приборов 5 являет­ ся полнодоступным, а данный неоднородный поток мож­ но представить в виде суперпозиции двух потоков П1 и П2. (Суперпозиция— это когда заявки двух потоков упорядочены по общему возрастанию времени поступ­ ления.) Если для требований обоих потоков допустимо ожидание, то необходимо специальное правило, опреде­ ляющее, как быть, когда к моменту освобождения одного из приборов имеются ожидающие требования обоих потоков, т. е. нужно задать правило взаимодействия очередей.

Наиболее распространенным является случай, кото­ рый можно иллюстрировать известным правилом: «инва­ лиды обслуживаются вне очереди», т. е. при освобожде­ нии любого из приборов его тут же занимает очередное требование потока Hi («инвалиды»). Видимо, удобнее всего эту дисциплину называть внеочередным обслужи­ ванием.

При внеочередном обслуживании, имеющем, очевид­ но, смысл лишь для систем с ожиданием, требования взаимодействуют лишь во время ожидания. Можно ставить вопрос шире, т. е. говорить и о взаимодействии в процессе обслуживания, а это имеет смысл и для си­ стем с отказами. Распространенным является следующее правило: если при поступлении требования потока П1 все приборы заняты, но при этом некоторые приборы обслуживают требования потока П2, то требования по­ тока П1 занимают одни из этих приборов (при выборе прибора можно руководствоваться, например, обычными

68

правилами, рассмотренными выше для однородного по­ тока), а обслуживание требования потока П2 прекра­ щается (это требование называют прерванным). Таким образом, очередь из требований потока ГЦ возможна лишь в том случае, когда все приборы заняты обслужи­ ванием требований потока ГЦ.

Судьба прерванных требований может быть различ­ ной. Например, в телефонии при поступлении вызова междугородной телефонной станции прерванные требо­ вания теряются. Если же они остаются как претенденты на обслуживание, должны быть указаны правила поста­ новки их в очередь. Мы остановимся лишь на особен­ ностях обслуживания прерванных требований. Здесь употребительны два варианта:

1)не учитывается время, ранее затраченное на об­ служивание этого требования. Пример: если нагрев детали был прерван из-за появления более важного требования (таковым, в частности, может быть поломка самой нагревательной установки), и деталь успевает остыть, процесс нагрева необходимо повторить;

2)обслуживание продолжается с той стадии, на которой оно было прервано. Так обычно бывает при механической обработке детали.

Как уже отмечалось, необходимость учитывать не­ однородность потока вызвана тем, что различные требо­ вания могут обслуживаться по-разному. Выше мы рас­ смотрели влияние неоднородности потока на отдельные шаги процесса обслуживания. Очевидно, что и качество обслуживания будет неодинаковым для требований раз­ ных типов. (Обычно в математической теории массового обслуживания основными характеристиками качества обслуживания считаются: для систем с отказами — вероятность потери требования; для систем с неограни­

Действительно, при прочих равных условиях и внеоче­ редное обслуживание и обслуживание с прерыванием будут «более выгодными» для потока ГД в том смысле, что соответствующие характеристики качества обслужи­

в обслуживании по отношению к потоку П2.

69