книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

П о с л е д н и е д в е и т е р а ц и и с д е л а н ы д л я к о н т р о л я в ы ч и с л е н и й . Э т и р е з у л ь т а т ы о ы л и п о л у ч е н ы б е з у ч е т а о г р а н и ч е н и й , т. е п о и н а х о ж ­

д в а в и д а о г р а н и ч е н и й — л и н е й н ы е и н е л и н е й н ы е . С н а ч а л а р а с с м о ­ т р и м п р о ц е д у р у о п т и м и з а ц и и п р и л и н е й н ы х о г р а н и ч е н и я х :

230

231

З д е с ь т а к ж е п о с л е д н и е д в е и т е р а ц и и с д е л а н ы с п е ц и а л ь н о д л я к о н ­ т р о л я в ы ч и с л е н и й . О н и о т л и ч а ю т с я , п о - в и д и м о м у , в с и л у и с п о л ь з о ­ в а н и я р а з л и ч н ы х п с е в д о с л у ч а й н ы х ч и се л в п р о ц е с с е ф у н к ц и о н и р о в а ­ ния м о д е л и .

Р а с с м о т р и м р е з у л ь т а т ы о п т и м и з а ц и и , п о л у ч е н н ы е п ри н е л и н е й ­ н ы х о г р а н и ч е н и я х . П е р в о е о г р а н и ч е н и е — к в а д р а т и ч н о е .

/ ( р » ) = 3 3 2 0 4 , 6 6 1 5

232

(J-lП-гМ-З—M-lM-2 + Рз57 10

п р о ц е д у р а о п т и м и з а ц и и б у д е т т а к о й .

П р и с = 0 , 1 и м е е м :

(.Ра = 8,8

Здесь хотелось бы подчеркнуть, что процесс сходимо­ сти к оптимальному значению функционала идет доволь­ но быстро, 'причем процесс ускоряется при наличии ог­ раничений. Кроме того, необходимо отметить, что про­ цедура оптимизации ускоряется также при правильном подборе константы с>0. Как мы уже отмечали, выбор этой константы всецело зависит от квалификации и ин­ туиции исследователя. В приложении приводится блок-

2 34

схема моделирующего алгоритма, а также оптимизаци­ онная приставка (рис. 26 и 27).

Таким образом, мы рассмотрели процесс оптимизации сложных систем методом, разработанным в [18]. Различ­ ные модификации и усовершенствования у т о г о метода детально разработаны в [71, 73, 74, 75, 76, ПО, 111].

В заключение рассмотрим еще один интересный слу­ чай оптимизации сложных систем. Как уже было сказа­ но выше, большинство задач об управлении сложными системами после приведения к математическому форма­ лизованному виду имеют следующую формулировку.

Найти

max (или min)

Если окажется, что среди ограничений вида (2.84) есть неравенства, то введением неотрицательных вспомога­ тельных переменных они сводятся к равенствам.

Сначала допустим, что функционал Ф имеет явный вид. Кроме того, допустим, что существуют непрерывные частные производные по всем аргументам.

Назовем допустимой особой точкой такую точку

X=(xi, х2, . .., хп), для каждой компоненты которой вы­ полняется одно из трех равенств

Xj= 0 ,

Xj = a },

Тогда функционал Ф(хи х2, ..., хп, со, а2, ..., аи) при ус­ ловиях (2.84) — (2.85) достигает своего максимального (минимального) значения в одной из допустимых осо­ бых точек.

Докажем это утверждение.

Выразим т величин Xj (например, хи х%, ■. ■,хт) из выражений (2.84) через остальные (п—т):

X l — С[Д (Xm -f-i, Л-7П+2, * ••, Хп)

( 2.86)

Хщ — ф т ( Xm-f-ij Хт+2> ••■>Хп)

Это можно сделать, если в допустимой области опреде­ литель m-го порядка, составленный из матрицы частных производных функций ограничений, будет отличен от ну­ ля, т ,е.

Теперь, если подставить значения xi, х2, ...,x m из (2.86) в выражение Ф (х); х2, ..., хп, он, а2, ..., ап), то получим так называемую «задачу почти на безусловный экстре­ мум», ибо останутся только простейшие ограничения

(2.85).

Пусть оптимальное (максимальное) значение дости­

клонение AXj является допустимым и

Но так как мы предположили непрерывность частных производных по всем компонентам Xj, то

при помощи статистической модели, т. е. алгоритмически, то, очевидно, нет возможности вычислить его частные производные.

Соотношение (2.89) позволяет оценить точность (3 вычи­ сления Ф с помощью так называемой «целочисленной

i=i

Таким образом, число р определяет степень точности вычисления Ф с помощью «целочисленной сетки». В за­

мически, поиск допустимых особых точек потребует го­ раздо больше вычислений, чем для функционалов, за­ данных в явном виде.

Однако у описанного выше метода «целочисленной сетки» есть и преимущества.

Во-первых, выражение (2.89) справедливо только для функционалов с непрерывными частными прои ■‘вод­ ными. Метод «целочисленной сетки» пользуется только неравенствами типа (2.87), характеризующими особые точки как точки нарушений монотонности изменения функционала.

Во-вторых, особые точки, полученные по первому ме­ тоду, будут соответствовать не только максимальному (минимальному) значению Ф, но и седловым точкам, точкам перегиба и т. д. Особенно много «лишних» точек будет среди пограничных. В методе «целочисленной сет­ ки» все эти случаи не рассматриваются.

Подстановка (2.86) в Ф(Х, а) делает задачу безус­ ловной по переменным Xj, где / = т + 1, т + 2,... ,п. Необ­ ходимые условия экстремума здесь отличаются от усло­ вия (2.89). Так, например, должна быть равной нулю производная по

При вычислении по методу «целочисленной сетки» эти условия не имеют значения. Здесь просто надо вычислять значения по формулам (2.86), если это необходимо для вычисления функционала, а в остальном рассматривать задачу только от переменных xm+i, хт+2, •■•,хп, со, а2, ..., ад. Однако, вычисления усложняются, если на не­ которые или все Xj(j=], т) налагаются условия неотри­ цательности.

238

Пусть кроме (2.84)— (2.85) еще выполняется условие

следующий метод, являющийся обобщением известного двойственного метода в линейном программировании.

По формулам (2.86) т переменных Xj выражаются че­ рез остальные, если это необходимо для вычисления Ф(Х, а). В противном случае условие неотрицательности

рицательны.

Если среди них есть хотя бы одно отрицательное, то это X j считаем теперь неотрицательной независимой пе­ ременной, а одно из хт+и •••, хп выражаем через новые независимые переменные.

Группу зависимых переменных назовем базисом. Если на каждой итерации в базис выбирать такую внебазисную переменную, чтобы новое экстремальное значе­ ние Ф(Х, а) было меньше предыдущего, то указанный процесс за 'конечное число шагов приведет к решению задачи (2.83) — (2.85), (2.90).

При доказательстве этого утверждения будем предпо­ лагать разрешимость задачи и ее невырожденность.

Сначала докажем, что обусловленный обмен между базисными и внебазисными переменными всегда возмо­

Хп< 0.

Очевидно, что шах Ф (X, а) = Ф*2 при условиях (2.84)— (2.85) и хт, хт+1, ... ,xn-i ^ 0 будет меньше, чем Ф*\ (ра­ венство исключается, так как предполагается невырож­ денность).

Значит, задача

шахФ(Х, а)

/

при условиях (2.84)— (2.85) и хт, хт+1, .. .,xn-i ^ 0 имеет хотя бы локальный максимум (мы рассматриваем зада­

239