книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

Таким образом, процесс продолжается в течение нескольких этапов. Спрашивается, как осуществлять распределение затрат на каждом этапе для того, чтобы максимизировать общую отдачу за конечное число эта­ пов?

Формально задача описывается следующим образом. Берется функция R\{x, у) — g(y) +h(x—у), представляю­ щая собой общую отдачу на первом этапе, затем

Rz(x, уи уг) =*g(yi) +h(Xi—yi) +g(yz) +h(xz—yz),

где

Xi— X X2=ay+b(Xi—yi), (0 < y < x i),

представляющая собой общую отдачу за два этапа, и

затем

N

RN(Xi,y»—,yN) = 'El {g{yi) + h{xi — yl))>

представляющая собой общую отдачу, при некотором распределении затрат г/i, у2, ..., yN, где Xi= x,

ХШ= ауг + Ь(Хг—Уг), (0 < «/*<*!, 1=1, N) .

Любой выбор yi (i = 1, N) называется стратегией, а выбор, максимизирующий Rn, называется оптимальной стратегией. При оптимальной стратегии Rn зависит только от первоначальных затрат и числа этапов N.

Для того, чтобы установить функциональное урав­

ной стратегии и начале процесса с некоторого перво­ начального количества х.

Rn (x, у) = g ( y ) +h(x—у) + fN-i(ay + b(x—y)).

Таким образом, по определению ДДх), получаем основ­ ное функциональное уравнение

fN{x) = max Rn(х , у) = max (g (у) - f h {x — у) - f

200

Для большего числа этапов /дг и fx-i приблизительно одинаковы и могут быть обозначены функцией /, кото­ рая не зависит от N.

Это дает более простое уравнение

/ (х) = max {g (у) + h (х — у) + / (ау + Ь(х — у))). Os^y^x

Для этого уравнения доказаны теоремы существова­ ния и единственности решения. С учетом требования / (0) = 0 это уравнение может быть решено методом последовательных приближений.

Пусть:

Пусть fo(x)—fg будет отдача, вычисленная по рекур­ рентному соотношению при использовании той или дру­ гой из этих стратегий. Последовательные приближения могут быть теперь вычислены, используя функциональ­ ные уравнения для N этапов. Такой процесс ведет к улучшению приближения на каждом шаге, поскольку

для i< / .

Принимая допущения о свойствах функций g и h, можно дать методы для вычисления

Уи= Уы(х) и fN(x).

Например, если функции g и h строго выпуклы отно­

мирования к задачам об узких местах и другим типам задач приведены в работах Веллмана (см., напри­ мер, [8, 9]).

Следуя [173], рассмотрим задачу нелинейного про­ граммирования, которую решим методом динамического программирования. Найти хи Хг, ... , Xn, удовлетворяю­

201

Будем считать все ctj и Ь целыми. Заметим, что функцию вида (2.57) принято называть сепарабельной.

хотим рассмотреть вычислительный метод, позволяю­ щий найти оптимальное решение этой задачи, или, если оно не единственно, найти все оптимальные решения.

Предварительно условимся о следующем. Пусть ф(*ь х2, .... xN) есть некоторая функция от N перемен­ ных. Тогда через

будем обозначать абсолютный максимум этой функции

где максимум берется по неотрицательным целым чис­ лам, удовлетворяющим условию

,v

X ajXj = b. (2.59) /=J

Рассмотрим вычислительную процедуру, позволяю­ щую определить 2* и оптимальное решение (хЛ х2*, ...,

..., xN*) задачи (2.55) — (2.57).

Введем в рассмотрение последовательность функций

где максимум берется по неотрицательным целым зна­ чениям Xi, Хг, ..., Xk, удовлетворяющим условию

k

(2.61)

/=1

202

при этом

(2.62)

Эти функции определим последовательно с помощью ре­ куррентных соотношений, которые легко получить следу­

/='

условию (2.61). Выберем значение Xk, зафиксировав его, будем максимизировать V по всем остальным перемен­ ным хи ..., Xh-i- При этом, в силу условия (2.61) вели­ чины Xi, ... , будут зависеть от выбранного значе­ ния Xk. Представим себе, что максимизация выполнена для всех возможных значений хи. Тогда наибольшее из всех полученных значений V будет равно Fk(l), и мы найдем совокупность значений хи . ■■, Xk, максимизи­ рующую V. Таким образом выбирается величина Xh и вычисляется

где слагаемое fh(Xk) вынесено из-под знака максимума, так как оно не зависит от Xi, ..., xh~i. Когда Хи выбрано, значения хи ..., Xh-i, кроме условий целочисленностп и неотрицательности, должны удовлетворять неравен­

ству

k—\

а это означает, что второе слагаемое справа в выраже­

203

где Хп может принимать значения 0, 1 ,2 ......["а "]’ где’ как

для всех | = 0, 1, ... , Ь. Зная /4 (1 ), определяем функцию /гШ согласно (2.66)

также для всех g= 0, 1, ..., b, затем определим функцию Fз(1) и т. д., наконец,

и мы получим схему вычислительной процедуры, позво­ ляющей найти Z*. Остается указать, как в результате

204

притом это соотношение может выполняться более чем для одного значения xi(|), т. е. это значение может быть не единственным.

Составляем таблицу 20. Далее переходим к вычисле­ нию значений функции F2{'E>) с помощью соотношения (2.70) для всех | = 0, 1, ... , Ь. При этом х2 может при­

ния ДД!) при фиксированном g последовательно находим

тЛ0Д) = / 2(0) + Л О - о - а . )

тЛМ) = М1) + Л ( ^ - Ь О

УЛ2Д) = М 2 )+ ^ ( 5 - 2 - 0 ,)

(2.74)

т2 )='■(№)+

наибольшее из которых и есть F2(Q. Одновременно определяется (или определяются) значения х2{%), для которых

после чего строится таблица для F2{"g) и х2(1), анало­

и повторив процедуру вычислений, построим таблицу

205

xN* известно, то остальные переменные должны удовле­ творять условию

N

/=1

мума на множестве неотрицательных целых чисел, удов­ летворяющих этому условию, а, согласно (2.60) — (2.61), этот максимум есть FN_l(b—aNxjv*). Значение или зна­

Метод динамического программирования может быть применен к решению задач математического програм­ мирования, обладающих следующими особенностями:

1)задача должна допускать возможность интерпре­ тировать ее как ^-шаговый процесс принятия решений;

2)задача должна быть определена для любого числа шагов и ее структура не должна изменяться с измене­ нием числа шагов;

3)при рассмотрении ^-шаговой задачи должен быть задан параметр, характеризующий состояние системы и называемый параметром состояния; тот же параметр должен описывать состояние системы при любом коли­ честве шагов;

4)на k-м шаге выбирается одно или несколько зна­ чений переменной xh, называемой управляющей пере-

206

менной; оптимальные значения - управляющей перемен­ ной зависят от параметра состояния;

5) решение для ^-шаговой задачи получается из ре­ шения (k— 1)-шаговой путем добавления k-vo шага и использования результата, полученного для (k—-1) ша­ гов. Выбор значения управляющей переменной на k-u шаге в ^-шаговом процессе не должен влиять на пред­ шествующие (k— 1) шаги.

Если эти условия выполнены, то решение jV-шаговой задачи может быть сведено к решению последователь­ ности задач: сначала одношаговой, потом двухшаговой, трехшаговой и вплоть до Лг-шаговой. В этом суть дина­ мического программирования.

Обобщим наши рассуждения. Вообще говоря, на практике часто встречаются задачи, где имеется не один, а несколько параметров состояния, и на каждом шаге приходится выбирать значения не одной, а нескольких

управляющих переменных. Обозначим через £ вектор, компонентами которого служат параметры состояния, описывающие состояние системы при наличии &-шагов, а через хъ — вектор, компонентами которого служат переменные, подлежащие выбору на k-ou шаге. Тогда

Fh{\) есть оптимальное значение целевой функции ^-ша­

называть Fh(l) функцией состояния. Пусть при выбран­ ных Xh и | вектор параметров^ состояния для осталь­

ных (k— 1) шагов есть ц{Ъ-х^)- Сущность подхода динамического программирования состоит в построении и использовании рекуррентных соотношений вида

так, что, определив Fu(c) при фиксированном £, мы

одновременно находим оптимальные значения x(Q управлений на k-u шаге ^-шагового процесса, описывае­

мого вектором | параметров состояния. Заметим, что (2.68) есть частный случай соотношений (2.81), когда имеется единственный параметр состояния и на каждом шаге выбирались значения только одной управляющей переменной.

Соотношения (2.81) можно прочитать следующим образом: оптимальное значение целевой функции k-ma-

207

гового процесса не может быть получено, если для любого Xk, выбранного на k-u шаге, значение целевой функции для остальных (k—1) шагов не является опти­ мальным при этом выбранном на k-м шаге значении

Это утверждение часто называют принципом опти­ мальности Беллмана (в отличие от принципа оптималь­ ности Л. С. Понтрягнна) и формулируют так: Опти­ мальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в на­ чальный момент, последующие решения должны состав­ лять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.

Под оптимальным поведением здесь понимается та­ кая последовательность решений по этапам, которая оптимизирует функцию параметров окончательного со­ стояния. Принцип оптимальности может быть использо­ ван для непосредственного вывода рекуррентных соотно­ шений, содержащих функции состояния, а в задаче (2.55) — (2.57) мы поступили иначе — вывели рекуррент­ ные соотношения из определения функций состояния. В дальнейшем мы будем поступать так же, как в за­ даче (2.55) — (2.57).

Р а с с м о т р и м п р и м е р , и л л ю с т р и р у ю щ и й м е т о д д и н а м и ч е с к о г о п р о ­

г о п р е д п о л а г а е м о г о п р е д п р и я т и я в к а ж д о м п у н к т е п р о и з в о д с т в а и к а ж д о г о в а р и а н т а с т р о и т е л ь с т в а или р а с ш и р е н и я п р е д п р и я т и я м о ж ­

н о о п р е д е л и т ь з а в и с и м о с т ь с е б е с т о и м о с т и п р о д у к ц и и и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й о т п р о и з в о д с т в е н н о й м о щ н о с т и п р е д п р и я т и я . Э т а з а в и с и ­ м о с т ь о п р е д е л я е т с я э к о н о м и с т а м и н а о с н о в а н и и о п ы т а д е й с т в у ю щ и х

п р е д п р и я т и й , п а с п о р т н ы х д а н н ы х о с н о в н о г о т е х н о л о г и ч е с к о г о о б о р у ­ д о в а н и я , т и п о в ы х п р о е к т о в н о в ы х з а в о д о в и т. п . К р о м е т о г о , д л я к а ж д о г о п у н к т а , у ч и т ы в а я с ы р ь е в у ю б а з у и д р у г и е ф а к т о р ы , э к о н о ­ м и с т м о ж е т у к а з а т ь н а и б о л ь ш у ю п р о и з в о д с т в е н н у ю м о щ н о с т ь , к о ­ т о р у ю м о ж н о т а м с о с р е д о т о ч и т ь .

Т р е б у е т с я в ы б р а т ь п р о и з в о д с т в е н н ы е м о щ н о с т и п р е д п р и я т и й т а к , ч т о б ы с у м м а р н ы е р а с ч е т н ы е г о д о в ы е з а т р а т ы п о в с е м п р е д п р и я т и я м б ы л и н а и м е н ь ш и м и в о з м о ж н ы м и .

С о с т а в и м м а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь з а д а ч и .

П у с т ь

Xj — п р о и з в о д с т в е н н а я м о щ н о с т ь / - г о п р е д п р и я т и я ( / = 1 , N);

В — с у м м а р н а я п р о и з в о д с т в е н н а я м о щ н о с т ь в с е х N п р е д п р и я т и й ; Dj, dj — с о о т в е т с т в е н н о н а и б о л ь ш а я и н а и м е н ь ш а я п р о и з в о д с т ­

в е н н а я м о щ н о с т и , к о т о р у ю м о ж е т и м е т ь / - е п р е д п р и я т и е ;

208

&i(Xj) — г о д о в ы е р а с ч е т н ы е з а т р а т ы н а / - м п р е д п р и я т и и . И з в е ­ с т н о , ч т о он и р а в н ы с у м м е с е б е с т о и м о с т и п р о и з в о д с т в а и п р о и з в е д е ­ н и я к а п и т а л о в л о ж е н и й на н о р м а т и в н у ю э ф ф е к т и в н о с т ь

Cj {Xj) -\-В •Kj ( Xj) ,

п р и я т и я х . П о л у ч а е м с л е д у ю щ у ю з а д а ч у м а т е м а т и ч е с к о г о п р о г р а м м и ­ р о в а н и я :

/= 1