книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

п е р в о г о п р и б л и ж е н и я

dXt

Ф у н к ц и и Fi не с о д е р ж а т ч л е н о в н и ж е в т о р о г о п о р я д к а м а л о с т и , / = 1, . . . , п) — п о с т о я н н ы е л и н е й н о й ч а с т и р а з л о ж е н и я .

Д о с т о и н с т в о п е р в о г о м е т о д а з а к л ю ч а е т с я в т о м , ч т о о н у к а з ы ­ в а е т с л у ч а и , к о г д а с п р а в е д л и в а з а м е н а у р а в н е н и й (1 .3 1 ) у р а в н е ­

н и я м и (1 . 3 0 ) . В с е с л у ч а и и с с л е д о в а н и я у р а в н е н и й (1 .3 1 ) р а з д е л я ю т ­

с я н а д в е к а т е г о р и и . К о д н о й из н и х о т н о с я т с я с л у ч а и , в к о т о р ы х в о п р о с о б у с т о й ч и в о с т и ( н е у с т о й ч и в о с т и ) н е в о з м у щ е н н о г о д в и ж е н и я

р а з р е ш а е т с я на о с н о в а н и и и с с л е д о в а н и я у р а в н е н и й п е р в о г о п р и б л и ­ ж е н и я ( 1 . 3 0 ) . Ч т о б ы эт и с л у ч а и о б н а р у ж и т ь , н е о б х о д и м о с о с т а в и т ь х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е и и с с л е д о в а т ь е г о к о р н и Х , ( ; = 1, 2 , . . . ,

п). Е с л и в е щ е с т в е н н ы е ч а с т и в с е х к о р н е й X; х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я п е р в о г о п р и б л и ж е н и я о т р и ц а т е л ь н ы , т о н е в о з м у щ е н н о е

д в и ж е н и е а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в о н е з а в и с и м о о т ч л е н о в р а з л о ­ ж е н и я в ы ш е п е р в о г о п о р я д к а м а л о с т и . Е с л и с р е д и к о р н е й Xi х а р а к ­ т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я п е р в о г о п р и б л и ж е н и я н а й д е т с я п о м е н ь ­ ш е й м е р е о д и н с п о л о ж и т е л ь н о й в е щ е с т в е н н о й ч а с т ь ю , т о н е в о з м у ­ щ е н н о е д в и ж е н и е н е у с т о й ч и в о н е з а в и с и м о о т ч л е н о в р а з л о ж е н и я

в ы ш е п е р в о г о п о р я д к а м а л о с т и .

н е к о т о р а я г р у п п а к о р н е й , в е щ е с т в е н н а я ч а с т ь к о т о р ы х р а в н а н у л ю .

В э т и х с л у ч а я х в о п р о с о б у с т о й ч и в о с т и н е в о з м у щ е н н о г о д в и ж е н и я н е м о ж е т б ы т ь р а з р е ш е н н а о с н о в а н и и и с с л е д о в а н и я у р а в н е н и й

п е р в о г о п р и б л и ж е н и я . Н е о б х о д и м о р а с с м а т р и в а т ь у р а в н е н и я (1 .3 1 ) в и х и с х о д н о м с о с т о я н и и : у с т о й ч и в о с т ь ' ( н е у с т о й ч и в о с т ь ) н е в о з м у ­ щ е н н о г о д в и ж е н и я о п р е д е л я е т с я в и д о м н е л и н е й н ы х ф у н к ц и й .

В т е х с л у ч а я х , к о г д а п е р в ы й м е т о д Л я п у н о в а не п о з в о л я е т ■получить и н ф о р м а ц и ю о б у с т о й ч и в о с т и п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я , с л е ­

зволяет исследовать устойчивость системы, не обращаясь к решению дифференциальных уравнений состояния. Устойчивость исследуется с помощью свойств соответст­ вующих функций, называемых функциями Ляпунова.

Т е о р е м а 1 (теорема об устойчивости). Если суще­ ствует дифференцируемая функция Е(х,) (t=l, 2,.. ., п), называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:

покоя Xi = 0 (t = 1, 2,..., я) системы устойчива.

40

Чтобы понять, почему существование функции Л я п у ­

нова гарантирует устойчивость, рассмотрим состояние системы в фазовой плоскости (рис. 11). Отметим, что движение в фазовой плоскости совершается против часовой стрелки.

Система устойчива, если для любого е > 0 су­ ществует б > 0 такое, что при |х(б))|<6 выполнено

существует функция К(х)

Xo{Xi(to), Xz(to)), лежащую в круге радиуса б. Если начальная точка х0 выбрана в окрестности начала коор­ динат и, следовательно, К(х0) =Ki<K, то при t> t0 точка траектории, определяемой этими начальными условия­ ми, не может выйти за пределы ie-окрестности начала

вости). Если существует дифференцируемая функция

41

Для объяснения вновь обратимся к рис. 11. Так как

~ < 0, то значение V (х) вдоль траектории решения стре­

мится к нулю при t, стремящемся к оо. В силу первого условия теоремы х стремится к началу координат, т. е. точка покоя Xi= 0 (г = 1, 2,..., /г) асимптотически устой­ чива.

П р и м е р 1. Д л я у я с н е н и я с м ы с л а в т о р о г о м е т о д а р а с с м о т р и м с о с т о я н и я ш а р и к а , с к а т ы в а ю щ е г о с я в ч а ш у ( р и с . 1 2 ). Е г о с о с т о я н и я о п и с ы в а ю т с я с и с т е м о й д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й

т о р и и р е ш е н и я д л я л ю б о г о в о з м о ж н о г о с о с т о я н и я н е п о л о ж и т е л ь н а

п о в е р х н о с т ь в п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й . П о в е р х н о с т ь , о п р е д е л я е м а я н е к о т о р ы м п о л о ж и т е л ь н ы м ч и с л о м с, з а к л ю ч а е т в н у т р и с е б я в с е

п о в е р х н о с т и , о п р е д е л я е м ы е м е н ь ш и м и п о л о ж и т е л ь н ы м и з н а ч е н и я ­ м и с. Е с л и в н е к о т о р о й т о ч к е о д н о й и з э т и х п о в е р х н о с т е й д в и ж е н и е

н а п р а в л е н о в н у т р ь , т о с о с т о я н и е р а в н о в е с и я в н а ч а л е к о о р д и н а т

д о с т и г а е т с я . П о э т о м у у с т о й ч и в о с т ь м о ж е т б ы т ь о п р е д е л е н а с п о ­ м о щ ь ю с в о й с т в с о о т в е т с т в у ю щ е й п о в е р х н о с т и и не т р е б у е т с я р е ш а т ь у р а в н е н и я с о с т о я н и й . Н е в о з н и к а е т п р и н ц и п и а л ь н ы х т р у д н о с т е й при о б о б щ е н и и э т о й с и т у а ц и и н а « - м е р н ы й с л у ч а й .

П р и м е р 2 . Р а с с м о т р и м с и с т е м у , о п р е д е л я е м у ю д и ф ф е р е н ц и а л ь ­

н ы м и у р а в н е н и я м и ,

dx,

И с с л е д у е м на у с т о й ч и в о с т ь т о ч к у р а в н о в е с и я

42

ч и ст о м н и м ы м и , п е р в ы й м е т о д н е д а е т и н ф о р м а ц и и о б у с т о й ч и в о с т и с о с т о я н и я р а в н о в е с и я п е р в о н а ч а л ь н о й с и с т е м ы .

В о с п о л ь з у е м с я в т о р ы м м е т о д о м . В д а н н о м с л у ч а е л е г к о п о д -

р а в н о в е с и я а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в а .

Кстати, если для некоторой выбранной функции условия теорем не выполнены, то это не означает еще того, что система неустойчива, эти условия могут выпол­ няться для какой-нибудь другой функции V(x), то есть

В заключение необходимо отметить, что в определе­ ниях Ляпунова сравниваются два решения одной и той же системы уравнений. На практике представляет зна-

43

на описываемую систему действуют силы, учесть кото­ рые при составлении уравнений попросту невозможно.

Если исследуемая система уравнений

^ — ■fi(t> -М > Х%>•••>-4i)> Xf (*о) — ’ X { o( i 1 1 > 2, ... , tl)

(1.32)

подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему (1.32) на малом интервале изменения i> t0 сле­ дует заменить возмущенной системой

при t~>ti возмущения прекращаются, и мы снова воз­ вращаемся к системе (1.32) с не­ сколько измененными начальны­ ми значениями в точке t2. Факти­ чески, действие кратковременных возмущений в конечном счете сводится к возмущениям началь­ ных значений, а вопрос об устой­ чивости сводится к рассмотренно­ му выше вопросу об устойчивости в смысле Ляпунова. В случае уче­ та возмущений будут сравнивать­ ся решения различных систем.

Советские ученые Мал­ кин II. Г., Четаев I I. Г. и др. обоб­ щили устойчивость по Ляпунову

на случай устойчивости движения относительно постоян­ но действующих возмущений. Однако, если возмущения действуют постоянно, то система (1.32) должна быть за­ менена системой (1.33) для всех R{. Возникает совершен­ но новая задача об устойчивости при постоянно дейст­ вующих возмущениях, исследованная в [59].

Анализ примеров данной главы показывает, что си­ стемы, описываемые линейными уравнениями, в случае асимптотической устойчивости, имеют точку равнове-

4 4

с т е м ы , п р и н а д л е ж а щ и е о б л а с т и у с т о й ч и в о с т и . П р и а н а л и з е , з н а я о б л а с т ь а с и м п т о т и ч е с к о й у с т о й ч и в о с т и , м о ж н о с д е л а т ь в ы в о д о п о ­ в е д е н и и с и с т е м ы в р е а л ь н ы х у с л о в и я х .

В о п р о с п о с т р о е н и я о б л а с т е й у с т о й ч и в о с т и и з л а г а е т с я в о м н о г и х р а б о т а х , н а п р и м е р в [3].

§ 1.3. Дискретные системы

Дискретные устройства в современной технике играют весьма важную роль. Достаточно упомянуть о вычислительных и управляющих машинах дискретно­ го действия, управляющих системах автоматической телефонии, электростанций и т. п. [1, 84, 87].

Простейшим, элементом дискретной системы являет­ ся реле. Реле — это элемент, входная и выходная вели­ чины которого могут принимать лишь конечное (как правило, два или три) число значений. Реле может быть выполнено на диодах, триодах, электронных лам­ пах. Типичный релейный элемент — электромеханическое реле, исполнительные органы которого (контакты) могут находиться только в двух (устойчивых) состояниях — замкнутом и разомкнутом.

Рассматривая совместно множество образующих ре­ лейное устройство элементов и связи, по которым про­ исходит взаимодействие между элементами, т. е. рас­ сматривая структуру релейных устройств, разработчик решает задачи:

1) построения структуры релейных устройств по за­ данным соотношениям вход — выход (так называемая

задача синтеза релейных устройств) ; 2) определения соотношения вход — выход по задан­

ной структуре (анализ релейных устройств).

Здесь уместно упомянуть об одной из основных за­ дач синтеза— проблеме минимизации: построения струк­

В настоящее время математический аппарат, приме­ няемый для описания и исследования элементов и уст­ ройств, обладающих релейным действием, включает многие средства так называемой «конечной» математи­ ки: математическая логика, комбинаторный анализ, тео­ рия, графов и другие разделы математики, имеющие дело с дискретными величинами.

Все релейные устройства можно разделить на два основных класса: однотактные и многотактные, Одно-

46

тактпые устройства — устройства без памяти, т. е. та­ кие, в которых совокупность выходных сигналов в любой момент времени представляет собой однозначную функ­ цию входных сигналов в тот же момент времени. Много­ тактные устройства — это релейные устройства с па­ мятью, т. е. такие, в которых совокупность выходных сигналов в любой момент времени зависит не только от совокупности входных сигналов, но и от внутреннего состояния устройства.

Цель данного параграфа — ввести в круг основных понятий теории дискретных систем.

1. Однотактные релейные устройства. Булевы функ­ ции. Переменные хи х2, ..., хп, принимающие значения из множества {0,1}, называются двоичными или булевы­ ми переменными. Из п булевых переменных можно образовать 2п не совпадающих между собой наборов

(0,0 0), (0,0, ... ,1), ... , (1,1,...1).

Функции f{x 1, Хг, . . . . хп) от любого конечного числа булевых переменных, принимающие значения 0 или 1, называются булевыми функциями.

Имеется точно 22” различных булевых функций от п переменных (включая функции от меньшего числа пере­ менных).

В случае одного переменного имеется всего четыре различные булевы функции:

функции-константы

h (x )= 0 ,

&(*) = !;

Мы остановимся еще только на двух булевых функ­ циях от двух переменных — дизъюнкции и конъюнкции.

Можно показать, что через дизъюнкцию, конъюнк-

4 7

цик) и инверсию путем суперпозиции (подстановки не­ которых булевых функций вместо аргументов в данную булеву функцию) можно представить любую булеву функцию любого конечного числа переменных.

Дизъюнкция (обозначается f3(xi, Xz)=Xi\/xz) зада­

*1 V (*2 V Л‘з) = X, V А2V А3>

которая задается табл. 2, и т. д.

Дизъюнкция как операция над переменными Хи Хг, ..., хп подчиняется переместительному

Д-,V А2V А3= V А2V = А2V А3V

и т. д. и сочетательному

V (Х2V Аз) = (А>V Х*)V

законам.

Конъюнкция (обозначается /в(д',, х,) — х хД х,) за­ дается табл. 3 и имеет смысл логического „И“.

Применяя суперпозицию, получим конъюнкцию от трех переменных Х\, Xz, х3

(см. табл. 4)

xi А (хг А х,) = Л1, Л хг А AY

48

Конъюнкция тоже подчиняется переместительному и сочетательному законам

лу Л Л', Д -к, = х, Д х, Д х 3=

— х, Д х, Д л, и т. д.,

■*. Л (х2Л Л'з) = (л, Л X.) Л Х 3.

Многие выражения могут быть упрощены за счет преобразования булевых функций, выраженных через дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию по известным