книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

От авторов

Основу предлагаемой читателю книги составляют об­ работанные конспекты лекций и консультаций, проводи­ мых авторами в различных организациях на протяжении последних лет. Разумеется, па отбор материала повлияли научные интересы авторов, но решающее значение име­ ли все-таки запросы наших слушателей. Именно это обстоятельство вселяет в нас надежду, что книга ока­ жется полезной достаточно широкому кругу лиц, кото­ рых сама жизнь заставила применять методы общей тео­ рии сложных (больших) систем в их повседневной дея­ тельности.

Типичными примерами сложных систем могут слу­ жить крупные современные производственные и энерге­ тические комплексы с автоматизированным управлением, некоторые экономические системы, вычислительные ком­ плексы, предназначенные для обработки информации и планирования, и т. д.

Мы ограничимся перечислением некоторых отличи­ тельных черт сложных систем:

1)наличие большого числа элементов;

2)сложный характер связей между отдельными эле­ ментами;

3)сложность функций, выполняемых системой;

4)наличие управления, как правило, сложно органи­ зованного;

5)необходимость учета взаимодействия с окружаю­ щей средой и воздействия случайных факторов.

Попутно отметим, что решение вопроса, считать ли некоторую систему сложной или нет, находится в руках исследователя и зависит от задач, которые перед ним стоят. Очевидно, например, что любую реальную систе­ му можно рассматривать как систему, состоящую из большого числа элементов, что все они между собой и с внешней средой связаны различным образом, подвер­ жены влиянию случайных воздействий и т. д., но не ме­ нее очевидно, что во многих случаях мы эти факторы (или некоторые из них) не учитываем (что иногда проис­ ходит из-за ограниченности наших возможностей). Из всего многообразия проблем теории сложных систем на­ стоящая книга затрагивает лишь две — именно те, кото­ рые возникают в каждом процессе принятия решений:

1)математическое описание изучаемой системы, т. е.

еематематическое моделирование;

10

2) панлучшее, в некотором, заранее определенном,

смысле, управление системой.

Книга состоит из двух глав. В первой главе после об­ щих сведении о математических моделях приводятся различные математические схемы, используемые для формализованного описания сложных систем. Наиболь­ шее внимание уделено системам массового обслужива­ ния, статистическим методам и системам автоматическо­ го управления, позволяющим охватить основные классы сложных систем. Агрегативные системы, введенные в тео­ рию сложных систем Н. П. Бусленко, позволяют описать подавляющее большинство практически интересных си­ стем. В настоящее время проводится интенсивная работа

вэтом направлении.

Ксожалению, из-за малого объема книги остались неохваченными некоторые важные для практики вопро­ сы, такие, как последовательный анализ в статистике,

оценка устойчивости и надежности функционирования сложных систем и др. В связи с этим мы рекомендуем читателю, ознакомившемуся с этой книгой, изучить мо­ нографию Н. П. Бусленко, В. В. Калашникова и И. Н. Коваленко «Лекции по теории сложных систем» [3].

Во второй части книги дан обзор оптимизационных методов и приведены иллюстративные примеры по ним.

Авторы очень благодарны редактору книги чл.-корр. АН СССР проф. Н. П. Бусленко за большую проделан­ ную работу, а также рецензентам — чл.-корр. АН СССР

проф. Г. С. Поспелову и д. т. н. проф. В. М. Солодову. На содержание книги оказали большое влияние беседы с д. т. н. проф. Д. Б. Юдиным, канд. физ.-мат. наук X. Ш. Маргулисом, чл.-корр. АН УССР проф. И. Н. Ко­ валенко и акад. АН УССР проф. В. С. Михалевичем и др. Канд. физ-мат. наук Жак С. В. и к. т. н. Карандаев И. С. любезно предоставили нам свои материалы.

Первую главу написал Снапелев Ю. М., вторую — Старосельский В. А. Приложение написал по просьбе авторов Л. Н. Картвелишвили.

В заключение нам хотелось бы поблагодарить В. С. Манусевича и В. Г. Леонова, внимательно прочитавших книгу в рукописи и высказавших ряд цепных замечаний, а также всех лиц, принимавших участие в ее написании.

11

Г л а в а п е р в а я

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Для исследования любой системы математическими методами (особенно с помощью ЭВМ) должна быть

впервую очередь построена ее математическая модель. Иными словами, данному реальному (физическому, ин­ формационному и т. д.) объекту должен быть поставлен

всоответствие некоторый математический объект, назы­ ваемый его моделью, исследование которого математиче­

скими методами позволяет получить полезные рекомен­ дации относительно рассматриваемого реального объ­

екта.

Вид математической модели зависит не только от природы реального объекта, но и от тех задач, ради ре­ шения которых она создается, и от требуемой точности их решения. Любая модель описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действитель­ ности.

§ 1.1 Виды математических моделей сложных систем

Математические модели можно классифицировать с различных точек зрения. Если начать с соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и параметрами сложной системы, то могут представиться два случая:

а) при совместном рассмотрении этих соотношений состояния системы в заданный момент времени одно­ значно определяются через параметры системы, входную информацию и начальные условия. Это случай так назы­ ваемых детерминистических моделей;

б) при помощи упомянутых соотношений можно определить (тоже однозначно) лишь распределения ве­ роятностей для состояний системы, если заданы распре­ деления вероятностей для начальных условий, парамет­ ров системы и входной информации. В этом случае мо­ дель называют вероятностной (стохастической).

Заметим, что любому реальному процессу присущи случайные флюктуации. Однако выбор детерминистиче-

12

ской или вероятностной математической модели полно­ стью в руках исследователя и зависит от того, собирает­ ся ли он учитывать случайные факторы. Если же при классификации исходить из способа дальнейшего исполь­ зования математической модели для изучения сложной системы, то такие модели можно разделить на аналити­ ческие и имитационные. Для аналитических моделей ха­ рактерно, что процессы функционирования элементов сложной системы записываются в виде некоторых функ­ циональных соотношений (алгебраических, интегро-диф- ференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логи­ ческих условий. Аналитическая модель может исследо­ ваться одним из следующих способов:

—аналитически. — когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых величин;

—численно, когда, не умея решать имеющиеся урав­

нения 'в общем виде, мы все же имеем возможность (в том числе и с применением всех средств вычислитель­ ной техники) получить числовые результаты при кон­ кретных начальных данных;

— качественно, когда, не имея решения в явном виде, мы, тем не* менее, можем найти некоторые свойства ре­ шения, например, оценить устойчивость решения и т. п.

В последнее время получило широкое распростране­ ние моделирование процессов на ЭВМ. Эти методы име­ ют свои особенности — здесь, как правило, вместо ана­ литической модели исследуемого процесса используется так называемое алгоритмическое описание процесса ее функционирования (при помощи алгоритма, предназна­ ченного для реализации на ЭВМ).

Отметим, что наиболее полное, а в некоторых случа­ ях и исчерпывающее, исследование можно провести в том случае, если получены явные зависимости, связы­ вающие искомые величины с параметрами системы и начальными условиями. Однако их удается получить лишь для сравнительно простых систем. Если же рас­ сматриваемая система достаточно сложна, аналитическое исследование наталкивается на значительные, а зача­ стую и непреодолимые, трудности, то, стремясь все же получить аналитическое решение, нередко идут на умыш­ ленное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить некоторые общие свойства систе­ мы. В отдельных случаях исследователя могут удовле­ творить и те выводы, которые можно сделать при каче­

13

ственных методах анализа математической модели [61]. Для получения аналитического решения различных типов функциональных уравнений развит мощный мате­ матический аппарат (алгебра, функциональный анализ, теория и методы решения разнообразных дифференци­ альных, интегральных и разностных уравнений, теория вероятностных процессов и т. д.). Можно без преувели­ чения сказать, что все многовековое существование ма­ тематики как науки было направлено на создание и раз­

витие такого аппарата.

Если исследуемая система достаточно сложна, то ра~ ди получения аналитического решения задачи мы вы­ нуждены накладывать жесткие ограничения на ее мо­ дель и прибегать к упрощениям. При этом приходится пренебрегать некоторыми особенностями системы, отче­ го созданная модель уже, строго говоря, перестает отве­ чать своему основному назначению — быть средством изучения рассматриваемой сложной системы. Но, не­ смотря на это, часто все же стремятся к построению та­ кой аналитической модели, которая обеспечивает хотя и грубое, по простое и легко обозримое решение рассма­ триваемой задачи. Оно обычно используется как ориен­ тировочное до получения более точных решений другими методами.

Численные методы — по сравнению с аналитически­ ми— применимы к значительно более широкому классу функциональных уравнений, однако полученные решения носят частный характер и не всегда есть возможность извлечь из них выводы общего характера. Использова­ ние численных методов стало особенно эффективным в связи с внедрением современных средств вычислитель­ ной техники, в особенности быстродействующих цифро­ вых вычислительных машин. Однако применение ЭВМ не имеет здесь принципиального значения, ибо ограни­ чивается лишь автоматизацией вычислений (правда, и здесь, как всегда, резкие количественные изменения да­ ли новое качество: колоссальное быстродействие совре­ менных машин позволяет применить такие численные методы, которые при прежних вычислительных средст­ вах не могли быть реализованы в приемлемое для прак­ тического использования время).

Переходя к моделям, названным выше имитационны­ ми, подчеркнем, что моделирующий алгоритм прибли­ женно воспроизводит сам процесс-оригинал в смысле его

14

функционирования во времени, причем имитируются эле­ ментарные явления, составляющие процесс, с сохране­ нием их логической структуры п последовательности про­ текания во времени. И если искать аналогии, то этот тип моделирования близок к натурному эксперименту.

Сущность рассматриваемого метода моделирования состоит в реализации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит, вообще говоря, формализован­ ный процесс сложной системы. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения

оначальном состоянии процесса (входной информации)

иего параметрах, получить сведения о состояниях про­ цесса в произвольные моменты времени.

Вмоделирующем алгоритме можно выделить три основных подалгоритма, каждый из которых выполняет одну из следующих функций:

1)моделирует какой-нибудь элементарный подпро­ цесс исследуемого процесса;

2) учитывает взаимодействие элементарных подпро­ цессов и осуществляет объединение их в единый про­ цесс;

3) обеспечивает согласованную работу отдельных подалгоритмов при реализации модели на ЭВМ.

Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется при помощи случайных чисел с заданными или вырабатываемыми в процессе моделирования веро­ ятностными характеристиками.

Информация о состояниях процесса, получаемая в результате работы моделирующего алгоритма, долж­ ным образом обрабатывается и используется для реше­ ния практических задач. Заметим, что интересные све­ дения о процессе можно получить, рассматривая отдель­ ные реализации построенного упомянутым образом слу­ чайного процесса. Однако обстоятельное исследование сложного процесса связано с определением статически устойчивых средних характеристик, вычисляемых по большому количеству реализаций.

В связи с исследованием процессов сложных систем методом моделирования на ЭВМ возникают следующие основные проблемы:

— построение формализованной схемы процесса, до­ ступной с точки зрения простоты для моделирования на современных ЭВМ и обеспечивающей необходимую точ­ ность решения практических задач;

15

— построение компактных и удобных для использо­ вания моделирующих алгоритмов и их программирова­ ние; i

— формулировка и разработка методики решения за­ дач исследования систем с использованием результатов моделирования.

В настоящее время методика машинного и вообще математического исследования динамики сложных про­ цессов находится в стадии становления. Сейчас можно говорить лишь о частных приемах, а общие методы еще ждут своей разработки.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность ре­ шения задач исключительной сложности. Такие особен­ ности рассматриваемой сложной системы как:

а) наличие элементов непрерывного и дискретного действия (в одной и той же системе, разумеется);

б) нелинейные соотношения любого характера, опи­ сывающие связи между элементами системы;

в) воздействие многочисленных случайных факторов сложной природы, которые приводят к принципиальным (как правило, даже к непреодолимым) трудностям при аналитических исследованиях — не являются препятст­ вием при имитации процесса функционирования си­ стемы.

Имитационные модели применимы к исследованию более сложных процессов, чем физические и аналоговые, Кроме того, в этом случае нет необходимости создавать специальную аппаратуру для каждой новой задачи. На­ ряду с отмеченными преимуществами, имитационное мо­ делирование, как и любой численный метод, обладает тем существенным недостатком, что полученное реше­ ние всегда носит частный характер, отвечая фиксирован­ ным значениям параметров системы, входной информа­ ции и начальных условий. Несмотря на этот весьма серьезный недостаток, имитационное моделирование является в настоящее время наиболее эффективным ме­ тодом исследования сложных систем, а подчас и единст­ венным практически доступным средством получения интересующей нас информации о поведении системы, осо­ бенно на стадии ее проектирования или модернизации. Подчеркнем, что мы имеем, по сути дела, метод матема­ тического экспериментирования, зачастую гораздо более дешевого и менее длительного по сравнению с натурным,

16

который, к тому же, далеко не во всех случаях возмо­ жен вообще.

Перед тем как перейти к краткому описанию основ­ ных типов задач, успешно решаемых с помощью имита­ ционных моделей, сделаем несколько замечаний терми­ нологического характера. Уже отмечалось, что попытка учесть в аналитических моделях влияние случайных фак­ торов приводит — если изучаемая система достаточно сложна — к весьма значительным и не всегда преодоли­ мым трудностям, тогда как введение случайных возму­ щений в имитационные модели не вносит принципиаль­ ных усложнений. По этой причине вероятностные анали­ тические модели используют для изучения сравнительно простых систем, а исследование сложных случайных процессов проводится, как правило, на имитационных моделях. Так как результаты, полученные при воспроиз­ ведении на имитационной модели рассматриваемого про­ цесса, являются реализациями случайных объектов (ве­ личин, функций), то для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его много­ кратное воспроизведение с последующей статистической обработкой полученных данных. Именно поэтому иссле­ дование сложных систем с помощью имитационных мо­ делей принято называть статистическим моделировани­ ем, хотя, разумеется, имитационные модели применимы и в детерминистском случае, где нет никаких статисти­ ческих задач.

Как указывалось выше, статистическое моделирова­ ние представляет собой численный метод, позволяющий приближенно воспроизводить функционирование некото­ рой системы. Первоначально этот метод применялся для моделирования случайных объектов (величин, функций), вероятностные характеристики которых совпадали с ре­ шениями данных аналитических задач, е последующим использованием статистических оценок этих характери­ стик для приближенного решения соответствующей ана­ литической задачи. Такая процедура получила название

«метод статистических испытаний или метод Монте-

Карло. Впоследствии было подмечено, что этот же при­ ем можно применять и для исследования процесса функ­ ционирования сложных систем, подверженных случай­ ным возмущениям, т. е. появился метод, названный выше статистическим моделированием. В силу сущест­ венного различия этих двух аспектов статистических

испытаний представляется целесообразным иметь и раз­ личные термины для их обозначения. Именно, статисти­ ческим моделированием правильнее называть способ изучения сложных систем с помощью имитационных мо­ делей, а название метод Монте-Карло сохранить для обозначения численного метода решения аналитических задач [3, 13— 17, 154].

Говоря коротко, с помощью статистического модели­ рования молено вычислить значение любого функциона­ ла; заданного на множестве реализаций процесса функ­ ционирования изучаемой сложной системы, если только соответствующие подпрограммы предусмотрены в по­ строенной имитационной модели. Наиболее важным, ин­ тересующим исследователя в первую очередь функцио­ налом, является обычно показатель эффективности си­ стемы, понимаемый в широком смысле слова. Имея возможность находить значения показателя эффективно­ сти, мы можем с помощью модели решать целый ряд задач. В их числе:

а) оценка эффективности различных принципов управления;

б) оценка вариантов структуры сложной системы; в) оценка влияния изменений различных параметров

сложной системы или ее отдельных элементов, а также начальных условий.

Это — задачи так называемого анализа сложных си­ стем. Не менее важны, но гораздо труднее задачи син­ теза сложных систем, когда требуется создать систему с наперед заданными свойствами и в некотором смысле оптимальную. Результаты моделирования часто оказы­ ваются полезными при синтезе системы для оценки ка­ чества тех или других ее вариантов. Для иллюстрации перечислим некоторые задачи, которые можно решать с помощью статистического моделирования для такой сложной системы, как производственный комплекс. Если этот комплекс еще только проектируется, можно опреде­ лить оптимальные размеры сырьевых и промежуточных емкостей. Причем оптимальность понимается здесь в смысле минимума суммы затрат: либо на капитальное строительство, либо из-за возможных перебоев в работе, когда не хватает сырья или переполнены промежуточ­ ные емкости.

Если комплекс уже функционирует, можно опреде­ лить его возможности выпуска продукции или перера-

18

боткн сырья с учетом всех планово-экономических по­ казателей но количеству и качеству. Здесь под словом «возможности» подразумевается и получение оптималь­ ных планов по самым разнообразным критериям (макси­ мум прибыли или минимум издержек при условии вы­ полнения установленных вышестоящими органами пока­ зателей); и оценка влияния качества и ритмичности поставок сырья на выполнение плана; и оценка эффек­ тивности дополнительных затрат на установку оборудо­ вания с целью «расширения узких мест», улучшения ка­ чества продукции, повышения надежности отдельных установок (дублирование, например, или более качест­ венный и длительный ремонт); и, наконец, нахождение оптимального (в смысле минимизации суммарных издер­ жек) режима отдельных установок.

В связи с упоминавшимися выше задачами синтеза следует заметить, что если методика решения задачи оптимального выбора структурных параметров системы (перспективное планирование) с помощью ее статисти­ ческой модели представляется достаточно отработанной, то вопросы использования статистических моделей для

Перечень возможных задач можно продолжить, но и перечисленные здесь свидетельствуют о широких возмож­ ностях метода статистического моделирования для иссле­ дования сложных систем. Более широко этот вопрос освещен в [13, 14]. В настоящее время для решения прак­ тических задач широко пользуются как аналитическими методами, так и моделированием сложных систем на ЭВМ. Обычно метод исследования выбирается после того, как математическая модель реального объекта уже построе­ на. В общем случае при построении математических мо­ делей для сложных систем применяются и аналитическое и алгоритмическое описания процесов функционирова­ ния их элементов. Чтобы упростить формализацию си­ стем, прибегают обычно к типичным математическим схемам, таким, как дифференциальные уравнения, буле­ вы функции, конечные автоматы, случайные процессы (например, й виде систем массового обслуживания) и т. д., при помощи которых удобно описывать элемен­ тарные подпроцессы реального процесса функциониро­ вания системы.