книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

альному» управлению или близкая к ней, а также есть возможность определить значение оптимизируемого функционала .при «идеальном» управлении.

Пусть в нашем распоряжении имеются значения параметров управления, соответствующих «идеальному» управлению для проектируемой сложной системы.

Рекомендуемый для управления эвристический метод исследуется на той же имитационной модели. При этом некоторые факторы или связи между факторами и часть ■параметров не учитываются, поэтому модель должна быть соответствующим образом приспособлена к работе

сэвристическим методом управления.

Спомощью выбранных критериев эвристический ме­ тод сравнивается с «идеальным» управлением. Если дан­ ный эвристический метод можно улучшить путем учета некоторых дополнительных факторов и параметров, то целесообразно это сделать и проверить методом стати­

стического моделирования качество улучшенного метода управления [71, 78].

Рассмотрим в качестве иллюстративного примера про­ ектируемый конвейер, на который для проверки будут поступать партии деталей с известным законом распре­ деления количества их в каждой партии. Для контроля качества деталей применяется система контролеров-авто- матов. Автоматы снабжены телевизионными устройства­ ми, позволяющими обследовать некоторое количество деталей, попавших в поле зрения. Из этого количества автомат выбирает одну и обрабатывает ее в течение фик­ сированного времени, остальные детали, в силу движения конвейера, могут выйти из поля зрения данного автома­ та. Задача состоит в нахождении таких значений пара­ метров управления данной системы, чтобы число пропу­ щенных, не проконтролированных автоматом деталей было минимальным.

В качестве параметров управления можно взять, на­ пример,

а) скорость движения конвейера, б) скорость обработки деталей,

в) порядок расположения автоматов вдоль конвейера, г) размер поля зрения и разрешающую способность

фотоэлементов телевизионных устройств, д) число самих автоматов-контролеров,

е) если предположить, что детали представляют собой раскаленные болванки, то температура их также

130

является управляющим параметром, так как влияет на разрешающую способность фотоэлементов, фиксирующих эти детали, или на время обнаружения в них ра­ ковин.

При^математическом описании процесса необходимо иметь достаточно полную информацию о факторах, прак­ тически или гипотетически влияющих на протекание рас­ сматриваемого производственного процесса: параметрах управления, управляющих сигналах, константах, стои­ мостных данных и других [127, 132, 140].

Эвристический метод управления может состоять в том, что в первую очередь обследуются детали, время пребывания которых в поле зрения автомата наимень­ шее, при условии, что каждый автомат обследует отдель­ ную деталь (обследование деталей двумя и более авто­ матами исключается). Если такой метод управления (по данным абсолютной оценки) не обладает необходимым качеством, можно учесть дополнительные факторы. На­ пример, для обследования данных автоматом выбира­ ется деталь (из числа удовлетворяющих указанным выше требованиям), требующая наименьших затрат вре­ мени на обследование и т. д. Значимость этого улучше­ ния также может быть проверена 'методом статистиче­ ского моделирования.

Эвристический алгоритм (речь идет об управляющем алгоритме данного эвристического метода управления) также может представлять некоторый процесс оптими­ зации, предложенный коллективом специалистов.

Так как эвристические методы связаны с перебором вариантов, то большую пользу в их применении может принести построение эвристической кривой распределе­ ния показателя качества решения задачи. При этом весьма ценным оказывается опыт уже решенных задач, в которых условия протекания исследуемого процесса аналогичны условиям проектируемого процесса управле­ ния.

Если значения критерия качества сильно уклоняются от оптимальных, то 'метод статистического моделирова­ ния позволяет выяснить, почему это происходит. Часто отклонение может возникнуть в результате пропуска значимого фактора, либо оказывается, что упущена существенная связь между какими-либо факторами.

Вэтом случае надо исследовать неучтенные факторы

исвязи, обращаясь к помощи специалистов-экспертов..

Таким путем можно улучшить «первоначальный вари­ ант системы управления, выбранный из эвристических соображений [78].

Очень часто среди значимых факторов, влияющих на функционал, появляются так называемые «сомнитель­ ные» факторы.

Сомнительные факторы должны быть подвергнуты проверке методами корреляционного или регрессионного анализа. Достаточно эффективными в этом отношении следует признать быстро развивающиеся статистические методы планирования экстремальных экспериментов

[104, 105].

В к а ч е с т в е и л л ю с т р а т и в н о г о п р и м е р а и с п о л ь з о в а н и я э в р и с т и ч е ­ ск о й п р о ц е д у р ы м о д е л и р о в а н и я м о ж н о п р и в е ст и т а к ж е з а д а ч у р е ­

г у л и р о в а н и я у л и ч н о г о д в и ж е н и я н а п е р е к р е с т к е [71, 148].

Ч е т ы р е х с т о р о н н и й п е р е к р е с т о к , о б р а з о в а н н ы й п е р е се ч е н и е м д в у х у л и ц с д в у с т о р о н н и м д в у х р я д н ы м д в и ж е н и е м , о б о р у д о в а н с в е т о ф о р ­ н ой си гн а л и за ц и ей , к о т о р а я р а б о т а е т «в с о о т в е т с т в и и с д в у х ф а з н о й

с х е м о й ор га н и за ц и и д в и ж е н и я т р а н с п о р т а .

Н а з о в е м входом в п е р е к р е с т о к т о ч к у (т о ч к а Аг, I = 1 , 2, 3, 4 ),

л е ж а щ у ю в о п р е д е л е н н о й о к р е с т н о с т и л ю б о й и з у л и ц н а ф и к с и р о ­

в а н н о м р а с с т о я н и и о т л и н и и « с т о п » .

Выходом и з п е р е к р е с т к а б у д е м с ч и т а т ь л и н и ю « с т о п » л ю б о г о н а п р а в л ен и я (т о ч к а 5 ; ) , п р и н я в , ч т о э к и п а ж , п р о ш е д ш и й н а д л и н и ей « с т о п » , п ок и н у л п е р е к р е с т о к .

Э к и п а ж и , д в и ж у щ и е с я к п е р е к р е с т к у , п е р е с е к а ю т т о ч к и Л< ч е ­

р ез сл у ч а й н ы е и н те р в а л ы в р ем ен и . В р е м я п р о е з д а э к и п а ж а о т т о ч к и Ai д о л и ни и « с т о п » я в л я е т ся т а к ж е сл у ч а й н о й в е л и ч и н о й . Р а с с т о я ­

и к р а сн ы й — в к о н ф л и к т у ю щ е м н а п р а в л е н и и , а т а к ж е п р о м е ж у т о ч ­ н о го , к о г д а в н а п р а в л ен и и с р а з р е ш е н н ы м д в и ж е н и е м в к л ю ч е н ж е л ­ ты й си гн а л .

П р и м е м , ч т о п р о м е ж у т о ч н ы й т а к т д л я р а з р е ш е н н о г о н а п р а в ­

л ен и я в к л ю ч а е т ся в д л и т е л ь н о с т ь о с н о в н о г о , к р а с н о г о , си гн а л а . Т о г д а в с х е м е ор га н и за ц и и д в и ж е н и я б у д е т в с е г о д в а т а к т а , а с в е ­

т о ф о р б у д е т д в у х з н а ч н ы м , с к р а с н ы м и зе л е н ы м си гн а л а м и . П р и

п о я в л ен и и на с в е т о ф о р е к р а с н о г о си гн а л а э л и п а ж и п р е к р а щ а ю т д в и ­ ж е н и е и о с т а н а в л и в а ю т с я у с в е т о ф о р а в о ч е р е д и . В м о м е н т в к л ю ­ чен и я з е л е н о г о с и г н а л а о ч е р е д ь п о с т е п е н н о « р а с с а с ы в а е т с я » , п р и ч ем в к а ж д о м р я д у д в и ж е н и я э к и п а ж и п о к и д а ю т с о о т в е т с т в у ю щ у ю о ч е ­ р е д ь с ж е с т к о й д и сц и п л и н о й . В т еч ен и е « з е л е н о й » ф а зы в о з м о ж н ы с л е д у ю щ и е в а р и а н т ы п р о е з д а э к и п а ж е й ч е р е з п е р е к р е с т о к :

— при н ал и чи и о ч е р е д и в н о в ь п р и б ы в ш и й э к и п а ж о с т а н а в л и ­ в а е т с я в к о н ц е о ч е р е д и ;

132

— ftprt о т с у т с т в и и о ч е р е д и в н о в ь п р и б ы в ш и й э к и п а ж с в о б о д н о

п е р е се к а е т л и н и ю « с т о п » . Л ю б о й э к и п а ж , с т о я щ и й в о ч е р е д и , в п р о ­ ц е с с е « з е л е н о й » ф а зы п р а к т и ч е ск и д в и ж е т с я к л и н и и « с т о п » при

в и ж е н д о э т о г о м о м е н т а и м г н о в е н н о п е р е н о с и т с я к л и ни и « с т о п » при п о д х о д е о ч е р е д и .

В н а с т о я щ е е в р е м я и м е е т с я д о с т а т о ч н о р а с п р о с т р а н е н н ы й ал ­ г о р и т м у п р а в л е н и я с в е т о ф о р н о й си гн а л и за ц и е й ![71, 112, 148]. Д л и ­ т е л ь н о с т и ф а з з а р а н е е о п р е д е л е н ы и за п и са н ы в п а м я т и а в т о м а т и ­

ч е с к о г о у с т р о й с т в а , у п р а в л я ю щ е г о си гн а л и за ц и е й . В м о м е н т и ст е ч е ­ н ия д л и т е л ь н о с т и ф а зы п р о и з в о д и т с я с м е н а си гн а л а . Т а к и м о б р а з о м , о с у щ е с т в л я е т с я ж е с т к о е п р о г р а м м н о е у п р а в л е н и е с в е т о ф о р а м и

в ф у н к ц и и в р е м е н и б е з о б р а т н о й с в я з и с п а р а м е т р а м и т р а н с п о р т ­

С т о ч к и з р е н и я з а д е р ж е к б е з р а з л и ч н о н а п р а в л е н и е д в и ж е н и я п о т о к о в , н а п р и м е р , с п а р а м е т р а м и Xi и Аз и п о т о к о в с п а р а м е т р а м и Х2 и Xi. П о э т о м у п р и м е м , ч т о у л и ц ы я в л я ю т с я о д н о с т о р о н н и м и .

Т о г д а м о д е л ь ф у н к ц и о н и р о в а н и я п е р е к р е с т к а с в о д и т с я к п е р е ­ с е ч е н и ю д в у х о д н о р я д н ы х у л и ц с о д н о с т о р о н н и м д в и ж е н и е м . В к а ­ ч е с т в е к р и т е р и я э ф ф е к т и в н о с т и у п р а в л е н и я с в е т о ф о р н о й с и г н а л и з а ­ ц и ей п р и н и м а е т с я с р е д н я я з а д е р ж к а о д н о г о э к и п а ж а п е р е д п е р е ­ к р е с т к о м при э т о м с п о с о б е у п р а в л е н и я .

К р о м е т о г о , б ы л и п р и н я ты д о п у щ е н и я о т о м , ч т о са м и эк и п а ж и не и м е ю т с о б с т в е н н о й д л и н ы , т а к к а к , ч т о б ы в с т а т ь э к и п а ж у в о ч е р е д ь , е м у н е о б х о д и м о д о е х а т ь д о т о ч к и В. В к а ч е с т в е « и д е а л ь ­ н о г о » у п р а в л е н и я в з я т а .п р о ц е д у р а , п р и к о т о р о й д л и т е л ь н о с т ь « з е л е ­ н о й » ф а зы п о м а г и с т р а л и з а в и с и т о т ч и сл а э к и п а ж е й , н а х о д я щ и х с я и н а к а п л и в а ю щ и х ся в о ч е р е д и н а к о н ф л и к т у ю щ е м н а п р а в л ен и и .

н ен и е с о с т а в и л о 3 2 э к и п а ж а . О б щ е е с р е д н е е в р е м я з а д е р ж к и э к и п а ­ ж е й с о с т а в л я е т 33 91 9 с , а ср е д н е е к в а д р а т и ч н о е о т к л о н е н и е —

288 с. З н а ч ен и е с р е д н е г о в р е м е н и з а д е р ж к и о д н о г о э к и п а ж а р а в н о 6 с., а д и с п е р с и я — 0 ,0 3 с.

В к а ч е с т в е э в р и с т и ч е с к о й п р о ц е д у р ы у п р а в л е н и я в з я т а а в т о м а т и ­ ч е ск а я см е н а ф а з с о п р е д е л е н н о й д л и н о й ц и к л а .

Ц е л ь и с с л е д о в а н и я п р и э в р и с т и ч е с к о й п р о ц е д у р е у п р а в л е н и я —

н а й ти т а к и е зн а ч ен и я д л и н ы ц и к л а и д л и н д в у х ф а з в э т о м ц и к л е ,

ч т о б ы п р и б л и зи т ь зн а ч ен и е с р е д н е г о в р ем ен и з а д е р ж к и эк и п а ж е й к м и н и м а л ь н о м у зн а ч е н и ю , п о л у ч е н н о м у п ри и д е а л ь н о м у п р а в л е н и и .

П р и а в т о м а т и ч е с к о й с м е н е ф а з в н у т р и ц и к л а н а п р а к ти к е р у к о ­ в о д с т в у ю т с я с л е д у ю щ и м с о о т н о ш е н и е м [1 4 8 ]:

^зела А, / Аг

^зел3 9*1 / ^2 ’

133

гд е <зеЛ1 — в р е м я „ зе л е н о й " ф азы п о о д н о м у н а п р а в л е н и ю ;

в р е м я « з е л е н о й » ф а зы н о к о н ф л и к т у ю щ е м у н а п р а в л е н и ю ; Ач — в е л и ­ чи н а , х а р а к т е р и з у ю щ а я в х о д н о й п о т о к п о о д н о м у н а п р а в л е н и ю ; Яг — в ел и ч и н а , х а р а к т е р и з у ю щ а я в х о д н о й п о т о к п о к о н ф л и к т у ю щ е м у н а ­ п р а в л е н и ю ; P i — в ел и ч и н а , х а р а к т е р и з у ю щ а я и н т е н с и в н о ст ь « р а с с а ­ с ы в а н и я » п о т о к а п о о д н о м у н а п р а в л е н и ю ; р 2 — в ел и ч и н а , х а р а к т е ­ р и з у ю щ а я и н т е н с и в н о ст ь « р а с с а с ы в а н и я » п о т о к а п о к о н ф л и к т у ю щ е ­ м у н а п р а в л е н и ю .

Д л я у п р о щ е н и я у п р а в л е н и я в э в р и с т и ч е с к о м п о д х о д е п р и н я т о ,

ч то

P l = P 2 ,

и и сп о л ь з о в а н о с о о т н о ш е н и е

^зел/^зелз“

С о г л а с н о у к а з а н н о м у , б ы л и п о л у ч е н ы с л е д у ю щ и е р е з у л ь т а т ы ф у н к ­ ц и о н и р о в а н и я си с т е м ы в те ч е н и е 10 ч.

К к о н ц у ф у н к ц и о н и р о в а н и я м о д е л и , и м и т и р у ю щ е й ф у н к ц и о н и р о ­ в а н и е п е р е к р е с т к а , б ы л о з а д е р ж а н о , с о г л а с н о э в р и с т и ч е с к о й п р о ц е д у ­

ре у п р а в л е н и я , 5 57 2 э к и п а ж а , п р о е х а л о б е з о с т а н о в о ч н о 2 188 э к и п а ­ ж е й . О б щ е е в р е м я з а д е р ж к и о д н о г о э к и п а ж а при э т о м с о с т а в и л о 7 с.

Э т о зн а ч ен и е д о с т и г н у т о п р и д л и н е ц и к л а с в е т о ф о р а в 33 с и п р и О ел = 15 С И ^кр — 18 С.

О ч е в и д н о , п р и в е д е н н о е э в р и с т и ч е с к о е у п р а в л е н и е о с у щ е с т в и т ь в т е х н и ч е с к о м о т н о ш е н и и з н а ч и т е л ь н о п р о щ е « и д е а л ь н о г о » . Н а в о ­ п р о с о т о м , с л е д у е т ли п р и н я ть или о т в е р г н у т ь э в р и с т и ч е с к о е у п р а в ­

л ен и е , н е о б х о д и м ы д о п о л н и т е л ь н ы е э к о н о м и ч е с к и е и с с л е д о в а н и я , у ч и ­ т ы в а ю щ и е , с о д н о й с т о р о н ы , з а т р а т ы , с в я за н н ы е с в н е д р е н и е м в с е х с р е д с т в , н у ж н ы х д л я и д е а л ь н о г о у п р а в л е н и я , а с д р у г о й с т о р о н ы ,— ■

з а т р а т ы о т у в е л и ч е н и я с р е д н е г о в р е м е н и з а д е р ж к и э к и п а ж а при э в р и с т и ч е с к о м у п р а в л е н и и . О д н а к о э т о т в о п р о с не р а с с м а т р и в а л с я .

В заключение настоящего параграфа необходимо от­ метить, что в последнее время неформальные 'методы все больше «завоевывают право на жизнь». В связи с этим появилось много интересных работ, к которым мы и отсы­ лаем любознательного читателя [149, 150, 158, 182].

Процесс решения задач, связанных со сложными си­ стемами, можно разделить на три этапа:

—изучение задачи и ее содержательное описание; —■математическая формализация,

—решение полученной математической задачи при помощи модели.

В зависимости от вида модели применяются различ­ ные методы решения. Так, методы математического про­ граммирования применяются для решения задач, где требуется найти многомерный вектор, доставляющий экстремум целевой функции при некоторых ограничени­ ях. В таких задачах искомый вектор не зависит от фак­ тора времени.

134

Если же требуется найти функцию (или вектор-функ­ цию), зависящую от некоторой переменной и доставляю­ щую экстремум функционалу,—то это задача вариаци­ онного исчисления.

Задача оптимального управления отличается от зада­ чи вариационного исчисления .наличием дифференциаль­ ных уравнений среди ограничений, налагаемых на иско­ мую функцию [194].

Динамическое программирование занимает особое место среди методов решения экстремальных задач. За­ дачи динамического программирования, рассматриваю­ щие многошаговые процессы с дискретным временем, можно свести к классическим задачам математического программирования. Точно так же динамические задачи с непрерывным временем являются частным случаем задач вариационного исчисления или оптимального уп­ равления. Но специфика задач динамического програм­ мирования дает возможность решать их особыми и го­ раздо более эффективными методами.

Аналогичную классификацию можно провести и для задач теории игр [10, 24, 43, 58, 89, 92, 145, 153, 183, 184].

Так, одношаговые игры (в частности, матричные) соот­ ветствуют математическому программированию, диффе­ ренциальные игры сходны с задачами оптимального управления, а многошаговые игры соответствуют зада­ чам динамического программирования.

Несколько выделяется оптимизация на моделях, свя­ занная со стохастикой (см. напр. [172]). Все перечислен­ ные модели оптимизации мы рассмотрим .подробно в сле­ дующих .ниже параграфах.

§ 2.4. Классические модели оптимизации

Вначале определим, что мы будем понимать под тер­ мином «классические модели оптимизации». Под этим термином мы будем понимать тот случай нахождения оптимальных значений параметров управления в слож­ ной системе, когда они ищутся с помощью методов клас­ сической математики. К таким методам мы относим ва­ риационное исчисление и метод максимума Л. С. Понтрягина.

I. Вариационное исчисление [8, 9, 33, 39, 95] изучает методы нахождения экстремума функционалов.

135

Пусть М — множество функций и каждой функции ср(х), принадлежащей М (ф (х )еМ ), поставлено в соот­ ветствие определенное число, тогда говорят, что на мно­ жестве М задан функционал. Простейшим примером функционала является интеграл Римана

ь

&(У)= § у (x)dx,

а

определенный для всех функций у (х ), непрерывных на

[а, Ь\.

Другим примером функционала может служить длина I линии у = у (л), когда а < х < Ь , у{х)(=^М,

ь__________

Цу) = j / 1 +У'*{х) dx,

а

где М — множество функций у(х), определенных на от­ резке [а, Ь] и обладающих на нем непрерывной произ­ водной.

Мы ограничимся рассмотрением функционалов вида

а

где у'(х) означает производную функции у(х). Функция у(х) будет подчинена граничным условиям [9] вида

Задача ставится таким образам: найти функцию у(х), доставляющую экстремум функционалу (2.5) при огра­ ничениях '(2.6).

В вариационном исчислении стараются получить уравнения для отыскания экстремалей, т. е. допустимых кривых, на которых функционал достигает экстремума.

Р а с с м о т р и м п р и м ер , п р и в о д я щ и й к з а д а ч е в а р и а ц и о н н о г о и с ч и с ­ л ен и я [181].

П у с т ь на о с и Ол: з а д а н ы т о ч к и Л и В к о о р д и н а т а м и А (а, 0 ) ,

В(Ъ, 0).

М а т е м а т и ч е с к а я ф о р м у л и р о в к з т а к о й за д а ч и б у д е т в ы г л я д е т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м :

136

н ай ти ф у н к ц и ю у(х), д а ю щ у ю м а к с и м у м и н т е гр а л у

ь

н а х о д и т ь с я с о о т в е т с т в е н н о в т о ч к а х А и В, а в т о р о е — ч т о д л и н а к р и в о й р а в н а I.

Для понимания дальнейшего перечислим некоторые определения, следуя [95]. Если функционал У {у) иссле­ дуется на экстремум и функция у(х) «подозревается» в качестве «точки» экстремума, то значение функционала У (у) сопоставляется с его значениями на некотором множестве функций у(х), называемых функциями срав­ нения, к которому принадлежит и у(х).

Если имеет место минимум (максимум) Cf(у) при д (х), то положительна (отрицательна) разность

ь а = а ( у ) - а ( д )

на указанном выше множестве функций -сравнения. Окрестностью нулевого порядка, или сильной окрест­

ностью, называется множество непрерывных функций сравнения у(х), таких, что при некотором е> 0

\У(*)—У(х)\<г,

для всех х, принадлежащих области определения функ­ ций у(х).

Окрестностью первого порядка, или слабой окрест­ ностью, называется множество кусочно-гладких функций сравнений у(х), таких, что при некотором е> 0

\у(х)—у(х) |+ |/■(*)—&Чх) |<е.

Минимум (максимум) функционала &(у), достигаемый на

д (х ) в ее сильной (слабой) окрестности, называется сильным (слабым) минимумом (максимумом) функционала

3{У).

Всякий сильный экстремум является в то же время и слабым экстремумом. Сильный и слабый экстремумы

137

являются относительными экстремумами. Экстремум функционала 3 (у) по всей совокупности функций, на которых он определен, называется абсолютным экстре­ мумом. Абсолютный экстремум является в то же время и относительным.

При постановке задач вариационного исчисления должно указываться, какого характера экстремум необ­ ходимо разыскать. Общей задачей вариационного исчис­ ления является задача максимизации или минимизации функционала вида

Еще более общей является задача максимизации или ми­ нимизации выражения

ь

3 {y)=\g(z(x), у(х), x)dx-\-h{z{b), уф), Ь),

а

где х, у(х) подчинено (2.7).

Эта задача называется задачей Больца, а задача отыскания экстремума функций в точке b:

3(y) = h(z(b), уф), Ь)

— задачей Майера.

Пусть у(х) означает минимизирующую функцию, ко­ торая дает относительный минимум. Если z (x ) — любая «близкая» к ней функция, то

3 (г) 7 * 3 (у).

Двумя наиболее важными условиями минимума явля­ ются:

1) Условие Вейерштрасса. Пусть z(x) — функция, от­ личная от экстремальной функции у(х), a z'(x) — ее про­ изводная. Тогда должно выполняться неравенство

F(x, у, z')—F{x, у, y')—iz'—y')Fy,{x, у, у ' ) ^ 0.

Левая часть этого неравенства называется функцией Вейерштрасса и обозначается Е(х, г, у', г').

138

2) Условие Лежандра. Для того чтобы у(х) была минимизирующей функцией, должно выполняться нера­ венство

Fy>y.ix> У. у')^0,

что в анализе соответствует обычному условию на вто­ рую производную.

Иногда в вариационных задачах на экстремальную функцию налагают условия (ограничения) -на концах вида

у'(а))= О, H(y(b),y'(b))=0.

Чаще ограничение задается на левом конце интервала, а условие на правом конце включается в саму вариаци­ онную задачу.

Часто мы сталкиваемся с задачей максимизации (ми­ нимизации) функционала & (у) при интегральном ограниче­ нии вида

что в приложениях обычно означает ограниченность -не­ которого ресурса. При разных условиях можно показать, что, как и в обычном анализе, мы можем применить мно­ жители Лагранжа н рассматривать новую задачу отыс­ кания -экстремума функционала

ь

[ ( F(y, у', х) — №(у, у', x))dx.

а

Таким образом, мы получаем видоизмененное уравнение Эйлера

( Г ' „ , - е т у ) = о .

где р — постоянная, которая подлежит определению с помощью соотношения (2.8).

п р и в р а щ е н и и о к о л о о с и х о б р а з у е т м и н и м а л ь н у ю п о в е р х н о с т ь в р а ­ щ ен и я .

139