книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

бец. Это также одна из форм записи задачи линейного программирования.

Пример 3 [29]. Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах отправления в количествах а(, а2........ат единиц соответственно, не­ обходимо доставить в каждый из п пунктов назначения в количе­ ствах Ь\, Ь2, .... Ьп единиц. Стоимость перевозок единицы продукта

из г-того пункта (г= 1, т) отправления в /-й пункт назначения равна Cij (тариф перевозок) и известна для всех комбинаций '(/, /).

Пусть Xij — количество продукта, перевозимого по маршруту (i, /). Задача заключается в определении таких величин Xi, для всех

маршрутов (/, /), при которых суммарная стоимость перевозок была бы минимальной. Задача такого .вида называется транспортной за­ дачей линейного программирования. Условия этой задачи можно све­

сти в таблицу

Здесь количество продукта, перевозимого из i-го пункта отправления в /-й пункт назначения, равно Xij\ запас продукта в i-ом пункте отправления измеряется величиной 0, и общая потребность /-го

пункта назначения в доставляемом продукте равна 6 ,^ 0 . Предпо­ лагается, что общий запас продукта в пунктах отправления равен суммарной потребности в этом продукте пунктов назначения, т. е., что

S «i = S bj = А.

‘/

Общая стоимость перевозки x,j единиц продукта равна с,$хц. По­ скольку отрицательные перевозки не имеют реального смысла, то,

150

З а м е т и м , ч т о д л я с о в м е с т н о с т и у р а в н е н и й (2 .1 9 ) и (2 .2 0 ) н е о б х о д и ­ м о , ч т о б ы

П о л у ч е н н а я з а д а ч а (2 .1 8 ) — (2 .2 1 ) я в л я е т с я з а д а ч е й л и н е й н о го п р о ­

г р а м м и р о в а н и я с (т+ п) у р а в н е н и я м и и ш Х п п ер ем ен н ы м и .

Существует еще один вид записи задачи линейного программирования, с помощью которой можно было бы записать и эту задачу.

Минимизировать сХ при условиях Х^О,

X1S1 + X262+ •••+-£п6п==бо,

где 6j — столбец матрицы АЦ=А,п),

60= В.

Выше мы привели примеры задач линейного программи­ рования. В общем виде задача линейного программиро­ вания заключается в отыскании вектора (Хи Хг,. . ., X j , , х п ), минимизирующего (максимизирующего) линейную форму (функцию цели задачи или целевую

функцию):

переменные которой подчинены следующим линейным ограничениям:

151

где ац, bi, Cj — заведомо заданные постоянные величи­ ны, а т<п.

Без ограничения общности можно считать, что все Ьг^О, ибо, в противном случае, соответствующее урав­ нение можно умножить на — 1. В различных ситуациях удобно использовать разные виды записи общей задачи линейного программирования. Наиболее употребитель­ ными из них являются следующие (мы их уже рассмот­

Х= (xi, х2, .. . , х„) — вектор-столбец,

А= (ац) — матрица тХп,

В= {bh b2, . . . , Ьт) — вектор-столбец,

О—n-мерный нулевой вектор-столбец. 3. Минимизировать сХ при условиях

Xibi + х2д2+ . . . + я п6и = 6о,

где 60— столбец матрицы A(j=i,n)

Ьо = В.

Прежде чем рассмотреть метод решения общей зада­ чи линейного программирования, введем некоторые важ­ ные понятия, необходимые в дальнейшем.

Векторы а, Ь, с ,... в я-мерном пространстве называ­ ются линейно зависимыми, если существует такая сово­

т. е., если последнее равенство может выполняться толь-

152

г= 1

лении линейной зависимости) называется линейной комби­ нацией векторов {аг}.

вается система « линейно независимых «-мерных векто­ ров.

Любой вектор из Еп может быть единственным обра­ зом выражен линейной комбинацией векторов данного базиса. Очевидно, что система единичных «-мерных век­ торов ( 1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0,. .., 0), ... , (О, 0, 0,... 1)

является базисом пространства Еп. Известно, что одно линейное соотношение в двумерном пространстве Е2 (xi«i4-x2«2= a , где хи х2, а — константы, а ии и2— ком­ поненты любого вектора, принадлежащего U) опреде­ ляет прямую линию; одно линейное соотношение в Ез задает плоскость; соответствующий объект, определяе­ мый одним линейным соотношением в пространстве Еп,

где «> 3 , называется гиперплоскостью.

Множество называется выпуклым, если оно включает в себя произвольную выпуклую линейную комбинацию любых двух принадлежащих ему элементов.

Ясно, что Еп (множество всех «-мерных векторов) выпукло, ибо, если произвольные X и Y принадлежат Е„, то их выпуклая линейная комбинация аХ + [ЗУ также является «-мерным вектором и, следовательно, принад­ лежит Еп. Очевидно, что гиперплоскость в Еп, а также полупространства, ею образуемые, также суть выпуклые множества.

Пересечение двух или нескольких выпуклых мно­ жеств есть также выпуклое множество. В силу этого, пересечение конечного числа полупространств или гипер­ плоскостей есть множество выпуклое. Другими словами, любая система линейных уравнений или неравенств (ограничений) с « неизвестными определяет выпуклое

153

множество векторов — решений системы (пустое множе­ ство можно также считать выпуклым). Если определяе­ мое системой ограничений множество векторов-решений ограничено, то это ограниченное выпуклое множество называется выпуклым многогранником. Если среди эле­ ментов (точек) выпуклого множества есть такие, что их нельзя представить в виде линейной комбинации дру­ гих точек данного множества, то такие элементы (точ­ ки) называют крайними точками выпуклого множества. В частности, крайними точками многогранника будут его вершины.

Симплексом называется я-мерный выпуклый много­ гранник, имеющий в точности (я+1) вершин. Граница симплекса содержит симплексы низших порядков, на­ зываемых гранями. Число граней размерности i равно

•Симплексом нулевой размерности является точ­

ка, одномерным симплексом — отрезок, двумерным — треугольник, трехмерным — тетраэдр. Уравнение симп­ лекса, отсекающего на координатных осях единичные отрезки, имеет вид

П___

Хг > 0, £ Xi = 1, (г = 1 ,п).

;=1

В частности, при я = 2 получаем треугольник с верши­ нами ( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

Планом задачи линейного программирования назы­ вается вектор

Х = { хи Хъ . Хп),

удовлетворяющий условиям (2.23) и (2.24).

уз1

фициентами Xj, являются линейно независимыми. Непо­ средственно из этого определения следует, что число положительных компонент не может превышать пг.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных компонент.

Оптимальным планом, или решением задачи линей­ ного программирования, называется план, минимизирую­ щий линейную форму (2.22).

Функционал f ( X) , определенный в я-мерном прост­ ранстве и принимающий действительные значения, на-

154

зывается линейным функционалом, если для любых век­ торов U и V из этого пространства и скаляров а и (3 выполняется равенство

f { a- U+$V)=<ff{U)+V-f(V).

Очевидно, линейная форма (2.22) является линейным функционалом. 6 связи с этим задачу линейного про­ граммирования можно сформулировать по-другому.

Минимизировать линейный функционал f(X) при ли­

нейных ограничениях g i ( X ) ^ 0 (где i = l, т) и при усло­ вии X ^ 0.

Множество всех планов задачи линейного програм­ мирования выпукло. Выпуклое множество планов зада­ чи линейного программирования обозначается через К.

Из теорем, доказывающих разрешимость задач ли­ нейного программирования, следует, что:

1 ) существует такая крайняя точка К, в которой ли­ нейная форма (2.22) достигает своего оптимума (мини­ мума) ;

2 ) каждый опорный план соответствует крайней точ­ ке К;

3) с каждой крайней точкой К связаны т линейно независимых векторов из данной системы п векторов.

Из этого можно заключить, что необходимо исследо­ вать лишь крайние точки К, т. е. только опорные планы, каждый из которых определяется системой т линейно независимых векторов. Поскольку в данной системе п векторов содержится не более чем Спт систем, каждая из которых состоит из т линейно независимых векторов, величина Спт является верхней границей числа опорных планов задачи.

При больших т и п было бы непосильно отыскивать оптимальный план путем перебора всех опорных планов. Поэтому необходимо иметь вычислительную схему, по­ зволяющую осуществлять упорядоченный переход от од­ ного опорного плана к другому. Такой схемой является симплексный метод, предложенный американским мате­ матиком Дж. Б. Данцигом. С помощью этого метода можно отыскать крайнюю точку и определить, является ли она оптимальной. Если это ije так, метод позволяет найти такую соседнюю точку, в которой линейная фор­ ма (2.22) принимает значение, меньшее или равное пре­ дыдущему. Через конечное число шагов (обычно между m и 2т) достигается минимум линейной формы. Если

155

задача lie обладает планом йлй еслй её линейная фор­ ма не ограничена на множество планов К, то симплек­ сный метод позволяет установить это за конечное число шагов. С помощью симплексного метода можно решать любые задачи линейного программирования [29, 31, 38, 41, 69, 101].

Геометрическая интерпретация симплексного метода такова. Осуществляется ряд шагов, каждый из которых состоит в перемещении гиперплоскости, соответствую­ щей целевой функции, параллельно самой себе, и в вы­ числении расстояния от этой плоскости до начала коор­ динат всякий раз, когда гиперплоскость проходит через вершину выпуклого многогранника, определенного не­ равенствами. Процесс организован таким образом, что перемещенная гиперплоскость на каждом шаге дает улучшенный результат, приближающийся к оптималь­ ному. Чтобы не было полного перебора вершин выпукло­ го многогранника, в симплексном методе имеется кри­ терий, позволяющий исключить из рассмотрения некото­ рые вершины [189].

Остановимся несколько подробнее на алгебре симп­ лексного метода. Следуя [173], рассмотрим частный слу­ чай общей задачи линейного программирования, когда правые части всех уравнений неотрицательны. Миними­ зировать функцию цели

Процесс решения этой задачи будем параллельно ИЛЛЮ - стрировать примером.

при у с л о в и я х

[ X i + x3—2 x 4 - f 4 x 5 = 5

( 2 . 2 6 ')

\ x 2 — x3-f- 3 x 4 -f- x5 — 1

(2 .2 7 1)

156

О д н и м и з д о п у с т и м ы х р еш ен и и з а д а ч и л и н е й н о г о п р о гр а м м и р о в а н и я

т . е. в ы я с н и т ь , я в л я е т с я л и зн а ч ен и е (2 .2 9 ) н а и м ен ь ш и м из в с е х в о з ­ м о ж н ы х зн а ч ен и й ц е л е в о й ф у н к ц и и (2 .2 5 ), о т в е ч а ю щ и м р а зл и ч н ы м н е о т р и ц а т е л ь н ы м р е ш е н и я м си с т е м ы (2 .2 6 ) . Д л я с и с т е м ы (2 .2 6 ) н а ­ х о д и м о б щ е е р еш ен и е

з а п о в е д е н и е м ц е л е в о й ф у н к ц и и , ц е л е с о о б р а з н о в ы р а з и т ь ее т о л ь к о

с в о б о д н ы е н е и з в е ст н ы е .

Н о м ы п о й д е м д р у г и м п у т е м . Э т о т п у т ь т а к ж е п р и в о д и т к а н а ­ л о г и ч н о м у р е з у л ь т а т у . О ч е в и д н о , е сл и п е р е п и с а т ь в ы р а ж е н и е (2 .2 5 )

157

т

г д е Zj= '2i ctaij, (j —\,n). i=l

В в е д е м в е к т о р р(си Со, . . ст), к о м п о н е н т а м и к о т о р о г о с л у ж а т

к о эф ф и ц и е н ты н е и з в е ст н ы х в л и н ей н ой ф о р м е (2 .2 5 ), я в л я ю щ и е с я б а ­ зи сн ы м и в с и с т е м е у р а в н е н и й (2 .2 6 ). Т о г д а zj м о ж н о п р е д с т а в и т ь

к а к с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р а р на в е к т о р Y j ( a i j , сщ, . . . , amj), к о м п о н е н т ы к о т о р о г о с о с т о я т и з к о э ф ф и ц и е н т о в п р и н е и з в е ст н ы х Xj

в с и с т е м е у р а в н е н и й (2 .2 6 ), a Lo — к а к ск а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в е к ­

&i=Pyi~Cj, (/='!, и).

L0=pB.

В н а ш ем п р и м ер е м ы д о л ж н ы у м н о ж и т ь п е р в о е у р а в н е н и е с и с т е м ы

(2 .2 6 1) Cj = 3, в т о р о е — на с 2= — 4, с л о ж и т ь и х и и з с у м м ы в ы ч е ст ь у р а в н е н и е (2 .3 1 ‘ ) . В р е з у л ь т а т е п о л у ч а е м

Д л я п р и в ед ен и я в ы ш е о п и с а н н ы х в ы ч и сл ен и й о б ы ч н о с о с т а в л я ю т т а б ­ л и ц у , в ы п и са в м а т р и ц у к о э ф ф и ц и е н т о в с и с т е м ы у р а в н е н и й (2 .2 6 )

и п р и п и са в к ней с в е р х у с т р о к у , с о с т о я щ у ю и з в с е х к о э ф ф и ц и е н т о в л и н ей н ой ф о р м ы (2 .2 5 ), сл е в а , п р о т и в к а ж д о й с т р о к и — с о о т в е т с т ­

Д л я н а ш е го п р и м е р а п е р в а я си м п л е к сн а я т а б л и ц а б у д е т и м е т ь с л е ­ д у ю щ и й в и д (т а б л . 1 7 ).

Э л ем ен т ы п о сл е д н е й с т р о к и т а б л . 17 в ы ч и сл е н ы п о ф о р м у л а м (2 .2 9 ) и (2 .3 3 ), и м ея в в и д у при э т о м , ч т о 6 i и 62 р а в н ы н у л ю к а к с о о т -

158

Та б л и ц а 17

П о л е з н о с о с т а в и т ь в с п о м о г а т е л ь н у ю с и с т е м у л и н е й н ы х у р а в н е н и й , п р и п и са в к с и с т е м е (2 .2 6 ) у р а в н е н и е (2 .3 2 ):

Т о г д а п е р в у ю с и м п л е к с н у ю т а б л и ц у м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к р а с ­ ш и р е н н у ю м а т р и ц у с и с т е м ы у р а в н е н и й (2 .3 3 ) с у к а з а н н ы м и в ы ш е д о п о л н е н и я м и . Т е п е р ь , н а р я д у с .о б щ и м р е ш е н и е м (2 .3 0 ) с и с т е м ы

о гр а н и ч е н и й и з у р а в н е н и я (2 .3 2 ), с о в п а д а ю щ е г о с п о с л е д н и м у р а в н е ­ н и ем в с п о м о г а т е л ь н о й с и с т е м ы (2 .3 3 ), п о л у ч а е м в ы р а ж е н и е ц е л е в о й

159