книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

00

л

Воспользуемся формулой преобразования Лапласа— Стильтьеса

0 0

F ( p ) = p \fV)e- p*dt

6

(Это — пока еще неизвестное изображение неизвестной функции). Тогда выражение (1.19) перепишется в виде

Так как у (0) ^ у' (0) = 0 по условию, то уравнение (1.20) можно переписать в виде:

P*F (Р) + 3рГ (р) + 2F {р) - ;7^ з

( 1. 21)

Изображение определится из решения алгебраического уравне­ ния (1.21). Теперь необходимо найти оригинал, для этого представ­ ляем выражение (1.21) в следующем виде:

А В С

F (P) = P J + J + P y + 2 + P J + T -

Значения А, В, С находятся по правилам, известным из алгебры, тогда

30

Решение уравнения (1.18) найдено. Таким же образом находится решение уравнения любого порядка, описывающего движение си­ стемы.

При исследовании систем по -сопоставленным им ма­ тематическим моделям возникает вопрос, насколько ре­ альный процесс функционирования будет соответство­ вать расчетному, так как всегда в действительности при расчетах пользуются приближенными моделями, и це­ лый ряд факторов неизбежно не учитывается. Ответ на этот вопрос дает анализ устойчивости.

3. Устойчивость. Теория устойчивости занимается исследованием влияния возмущающих факторов на дви­ жение исследуемой системы. Под возмущающими фак­ торами понимаются силы, не учитываемые при описании движения вследствие их малости по сравнению с основ­ ными силами. Эти возмущающие силы обычно неизвест­ ны. Они могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния системы, ли­ бо непрерывно. Это будет означать, что составленные дифференциальные уравнения движения отличаются от истинных, что в них не учтены некоторые малые попра­ вочные коэффициенты. Влияние малых возмущающих факторов на движение системы будет различно: на одни движения это влияние незначительно, так что возмущен­ ное движение мало отличается от невозмущенного — устойчивое движение; на другие — значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от не­ возмущенного— неустойчивое движение.

Теория устойчивости и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматривае­ мое движение устойчивым или неустойчивым.

В зависимости от смысла исследуемой задачи и типа возмущения используются различные методы определе­ ния устойчивости [19]. Мы остановимся па устойчивости по Ляпунову и проиллюстрируем последовательность процедур, применяемых при практической оценке устой­ чивости реальных объектов [59].

31

1°. О с н о в н ы е понятия . Предположим, что си­ стема автоматического управления описывается систе­ мой дифференциальных уравнений *>

ние системы автоматического управления; У,— известные функции, определенные в некоторой

фиксированной области пространства перемен­ ных t, уи ..., уп,

с начальными условиями y{(tQ) = y iQ (г'= 1, 2, ..., гг). Они определяют исходное состояние системы управления

нии условий, при которых достаточно малое изменение

= 0 , е сл и о н о р а з р е ш и м о о т н о с и т е л ь н о с т а р ш е й п р о и з в о д н о й , м о ж н о

или

dyt

dt ~ f (t. У, Ух, Уг, ... , Уп-0.

32

для всякого решения yi(t), то в этом случае мы имеем дело с асимптотической устойчивостью. Понятие асимп­

'дуется физическая осуществимость того или ино­ го состояния равновесия. Если данное состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, то оно физи­ чески осуществимо, если нет, — то неосуществи­

мо, так как при любых сколь угодно малых нафд чальных отклонениях изображающая точка си­ стемы начнет уходить из окрестности точки равРис. 8. новесия. Примером неустойчивости является со­ стояние маятника в верхнем положении (рис. 8).

Достаточно сколь угодно малого толчка, чтобы маятник, выйдя из точки Ь, стал удаляться от нее все больше и больше.

Для исследования на устойчивость некоторого реше­ ния y*i(t) (i= 1, 2,. .., п) системы уравнений

щ = У., У „ - , У П) (г = 1, 2, ..., п) (1.27)

целесообразно преобразовать уравнение (1.27) к новым переменным:

Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению yi — y*i(i) (7=1, 2 , , п) системы (1.27), в силу зависи-

3 4

мости (1.28), соответствует тривиальное решение

s=0 (г'= 1, 2,.. ., п) системы (1.29). Поэтому в дальней­ шем без ограничения общности можно считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение или (что одно и то же) расположенная в начале координат точ­ ка покоя системы уравнений.

2°. Первый м е т о д Ляпу но в а . Т е о р е м а 1. Со­ стояние равновесия х 0— 0 дифференциального уравнения

т г =/(■*) tfC*.) = o)

является асимптотически устойчивым, если состояние равновесия 0 соответствующей свободной линейной ста­ ционарной системы

dt — л х -

где

А: dfiix)

Ох*

является асимптотически устойчивым.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Раскладывая функцию f в ряд Маклорена с двумя членами в начале координат, полу­ чаем

Цх|12. Полное решение этого дифференциального уравне­ ния может быть записано в общем виде:

*) С о в е р ш е н н о а н а л о г и ч н о у с т о й ч и в о с т и р а в н о в е с и я о п р е д е л я е т ­ с я п о Л я п у н о в у у с т о й ч и в о с т ь д в и ж е н и я .

является неустойчивым.

Доказательство этой теорехмы проводится аналогично предыдущей.

Пример 1. Р а с с м о т р и м с и с т е м у , о п р е д е л я е м у ю у р а в н е н и я м и

с т в и т е л ь н а я ч а с т ь о д н о г о из н и х п о л о ж и т е л ь н а , с о с т о я н и е р а в н о ­ в е с и я 0 д л я л и н е а р и з о в а н н о й с и с т е м ы н е у с т о й ч и в о и, с л е д о в а т е л ь н о ,

н е у с т о й ч и в о д л я и с х о д н о й с и с т е м ы .

Пример 2. Р а с с м о т р и м с и с т е м у , о п р е д е л я е м у ю у р а в н е н и я м и

dx

—тг = 2 — ev - З х — c o s x .

Н а ч а л о к о о р д и н а т я в л я е т с я п о л о ж е н и е м р а в н о в е с и я . И с с л е д у е м

( Уо

на у с т о й ч и в о с т ь т о ч к у р а в н о в е с и я I

\ *-0

Р а з л а г а я sin х , e w, c o s х п о ф о р м у л е М а к л о р е н а , о п р е д е л и м л и ­ н е а р и з о в а н н у ю с и с т е м у :

Т а к к а к д е й с т в и т е л ь н ы е ч а с т и с о б с т в е н н ы х ч и се л м а т р и ц ы о т р и ­

37

П р и м е р 3. Р а с с м о т р и м у р а в н е н и е у п р у г и х к о л е б а н и й м а я т н и к а

с у ч е т о м т р е н и я или с о п р о т и в л е н и я с р е д ы :

d2%

+ Ьх + с s in х = О,

г д е b — к о э ф ф и ц и е н т , х а р а к т е р и з у ю щ и й з а т у х а н и е ,

с — п о с т о я н н а я , з а в и с я щ а я о т с и л ы т я ж е с т и и д л и н ы м а я т ­ ника.

Т о ч к а х 0 = 0 я в л я е т с я с о с т о я н и е м р а в н о в е с и я . Д л я в ы я с н е н и я у с т о й ч и в о с т и п р и м е н и м п е р в ы й м е т о д Л я п у н о в а .

Н а х о д и м с о б с т в е н н ы е ч асл а м а т р и ц ы А

И х д е й с т в и т е л ь н ы е ч а с т и о т р и ц а т е л ь н ы , п о э т о м у н а ч а л о к о о р д и ­ н а т я в л я е т с я а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в ы м п о л о ж е н и е м р а в н о в е с и я

п о с т р о е н н о й л и н е й н о й с и с т е м ы , а с л е д о в а т е л ь н о , и п е р в о н а ч а л ь н о й н е л и н е й н о й с и с т е м ы .

2 ) Ь< 0 ( с л у ч а й о т р и ц а т е л ь н о г о т р е н и я ) . Э к в и в а л е н т н а я с и с т е ­ м а у р а в н е н и й и м е е т в и д :

dXi ~dT= х2-

dx2 —— с s in xt + bx2,

С о о т в е т с т в у ю щ а я л и н е й н а я с и с т е м а :

38

Так как собственные числа матрицы А

и м е ю т п о л о ж и т е л ь н ы е в е щ е с т в е н н ы е ч а с т и с о с т о я н и я р а в н о в е с и я О д л я л и н е а р и з о в а н н о й с и с т е м ы н е у с т о й ч и в о и, с л е д о в а т е л ь н о , н е у с ­ т о й ч и в о д л я з а д а н н о й с и с т е м ы . Н а р и с . 9 и 10 п о к а з а н ы т р а е к т о ­ ри и в ф а з о в о й п л о с к о с т и д л я с л у ч а е в Ь> 0 и Ь<0 .

н е з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я п р о с т о г о м а я т н и к а о п и с ы в а ю т с я у р а в н е ­ н и ем

%

—jj r + с s in х = 0 .

П е р е й д я к э к в и в а л е н т н о й с и с т е м е у р а в н е н и й , п о л у ч и м

dx1

“5 Г = *2’

йхц

— п ~ = — с s in Xi.

С о о т в е т с т в у ю щ а я л и н ей н а я с и с т е м а и м е е т в и д

Т а к к а к с о б с т в е н н ы е ч и сл а м а т р и ц ы А \ = i Vс и = — iV с

я в л я ю т с я ч и с т о м н и м ы м и , т о п е р в ы й м е т о д Л я п у н о в а не д а е т и н ф о р ­ м а ц и и о б у с т о й ч и в о с т и с о с т о я н и я р а в н о в е с и я п е р в о н а ч а л ь н о й с и ­ с т е м ы .

39