книги из ГПНТБ / Снапелев, Ю. М. Моделирование и управление в сложных системах

и м е е т с м ы с л а ( т а к к а к о н а п р и в о д и т к р а в е н с т в у * 2= 0 , ч т о п р о т и ­

в о р е ч и т д е т е р м и н и с т и ч н о с т и и н е о т р и ц а т е л ь н о с т и * 2) ; в с л у ч а е н е ­ р а в е н с т в а п о л у ч а е м

П о с к о л ь к у т о л ь к о п е р в о е о г р а н и ч е н и е с в я з а н о с о с л у ч а й н ы м и з м е ­ н ен и ем п р а в ы х ч а с т е й , т о в н е го д о б а в л е н о п е р е м е н н о е У, п р е д с т а в ­ л е н н о е в в и д е р а з н о с т и н е о т р и ц а т е л ь н ы х п е р е м е н н ы х , а ш т р а ф н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы п р и н я т ы р а в н ы м и е д и н и ц е .

220

при ограничениях и условиях

П р и м и н и м и з а ц и и / за с ч е т в ы б о р а у2 п р и ф и к с и р о в а н н о м х 2 н е о б ­ х о д и м о р а з л и ч а т ь д в а с л у ч а я :

= х ! + З х 2 + 5 /4 .

Н а в т о р о м э т а п е т е п е р ь о с т а е т с я н а й т и

m in Ф ( х 2)

л2/з0

в ел и ч и н и з в е с т е н . П у с т ь с л у ч а й н ы м в з а д а ч е я в л я е т с я л и ш ь в е к т о р о г р а н и ч е н и й 6 ; е г о п л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я р{Ь), а п л о т н о с т ь р а с ­

З а д а ч а с в е р о я т н о с т н ы м и о г р а н и ч е н и я м и

р ( А Х ^ Ь ) /з 1— у = а

м о ж е т б ы т ь с в е д е н а к д е т е р м и н и с т и ч е с к о й з а д а ч е

АХ^Ь0.

Э к в и в а л е н т н о с т ь э т и х з а д а ч о ч е в и д н а .

221

Для отыскания координат вектора Ь° остается решить уравнение

+ 0 0

гд е i -- 1, т.

Имеется возможность ’поставить в соответствие зада­ чам стохастического программирования некоторого клас­ са задачи с вероятностными ограничениями, но практи­ ческое осуществление таких процедур затруднительно и мы на этом останавливаться не будем.

Рассмотрим теперь еще один класс задач, которые с некоторыми оговорками можно считать стохастически­ ми. Речь идет об оптимизации функции цели, заданной с помощью статистической модели. Как уже было ска­ зано выше, статистическое моделирование позволяет в принципе вычислять значения любых функционалов от параметров системы, включенных в модель. Поэтому существенное значение имеет разработка методов реше­ ния задач математического программирования для слу­ чая, когда функция цели и ограничения не задаются ана­ литически, а алгоритмически, т. е. с помощью модели

[16, 151, 154, 157, 169].

Н. П. Бусленко и Г. А. Соколов [18] предложили спо­ соб оптимизации функционала, специально приспособ­ ленный для случая задания его с помощью статистиче­ ской модели. Поясним его сущность, связав задачу опти­ мизации с управлением некоторой сложной системой.

Рассмотрим сложную систему, состоящую из некото­ рого числа агрегатов [15]. Состояние ее в каждый момент

Как уже указывалось, в сложных системах имеется управляющий агрегат, который производит распределе­ ние функций между агрегатами системы во времени [3, 141, 142]. В результате работы управляющего агрега­ та в некоторые моменты времени вырабатывается набор величин (xi, хг, ...,хп), определяющих дальнейший по­ рядок функционирования системы.

Набор величин x,(t=l, п) называется планом. Легко видеть, что процесс функционирования системы, описы­ ваемый функциями состояний Zi( t ), полностью определя-

222

-ется планом (хд, х2, ..., хп) и наборов величин од (/=1, 2, . . m), включающим в себя параметры системы, зна­ чения случайных ошибок и отклонений, моменты отказа ненадежных элементов и длительности их ремонта ит. д.

Пусть качество функционирования системы оценива­ ется при помощи некоторого функционала Ф, определен­ ного на множество функций Z i ( t ) . Тогда

Ф= Ф(хи х2, . ■ Хп, сн, а2, . . ат ).

Обычно на величины х* накладываются ограничения вида

значений Xi величин Хи чтобы функционал Ф получил оп­ тимальное значение при выполнении всех ограничений. Если функционал и ограничения определяются с по­ мощью некоторой статистической 'модели, применение произвольных оптимизационных методов представляется затруднительным, особенно в части проверки ограниче­ ний.

Рассмотрим сначала такую задачу: минимизировать функцию f(X), при ограничениях gk(X)^zO, где

2 f e [ 0 , a], k— \} т.

Здесь f(X) и gu(X) ■— выпуклые (вниз), непрерывно диф­ ференцируемые функции от п переменных.

Эта задача асимптотически эквивалентна такой: ми- \Ч

нимизировать функцию Ф =\(Х) + 1/с iexip (cgh(X)) при k

ограничениях О ^ Х ^ а , оде с> 0 — константа. Эквивалентность этих задач следует понимать в том

смысле, что решение одной из них является допустимым вектором другой и минимальные значения функций цели совпадают. Под асимптотической эквивалентностью по­ нимается эквивалентность при с— »-оо.

Вторую задачу можно записать в более общем виде:

(вниз), непрерывно дифференцируемая функция. Таким образом, во второй задаче мы получили тривиальнейшие

223

ограничения (я-мерный параллелепипед) вместо ограни­ чений вида g h (X )^ 0. Это принципиально меняет реше­ ние задачи в сторону облегчения.

Но здесь возникает и некоторая трудность. Введен­ ная во вторую задачу константа с > 0 в общем случае подбирается интуитивно, исходя из физики задачи. Нет пока еще стандартных рекомендаций по выбору констан­ ты с> 0 для задач определенного класса. Правда, в ра­ ботах [73—76, III] имеется попытка стандартизировать выбор, но это сделано для определенного класса, и об­ щие выводы отсюда не следуют. Но, тем не менее, для специалиста, понимающего физику задачи, выбор кон­ станты с> 0 не проблема.

Вторая задача, записанная в общей форме, может быть решена любым из способов выпуклого программи­ рования. Однако мы приведем метод, специально при­ способленный для решения задачи этого типа. Его про­ стота, удобство машинной реализации будут очевидны, особенно в случае, когда функция цели задана в виде статистической модели [23, 48, 50, 118, 119].

Предлагаемый метод является обобщением известно­ го в квадратичном программировании метода Хилдрета и Д'Эзопо [56]. Процесс начинается с произвольной допу­

строение точки Х р +1. Последняя получается покомпонен­ тно в результате минимизации функции одного перемен­ ного

Таким образом, задача выпуклого программирования свелась к многократному определению минимума неко­ торой выпуклой функции, скажем, Ф(х), одного пере­ менного три условии Os^xsgTa. Существует метод, а имен­ но, метод Кифера — Джонсона [9] для решения рассма-

224

триваемой задачи. Согласно этому методу в зависимости от требуемой точности отрезок [0, Ln]линейно отображает­ ся на отрезок {0, а], где L„ — п-е число Фибоначчи. Далее вычисляются значения Ф(х) в точках kLn- 1 и kLn- 2, где k — коэффициент перехода от одного масштаба к друго­ му. Если 0(kLn-i)<,0(kLn-z), то делается вывод, что минимум достигается на отрезке [L„_2; Ln] длиной Ln- 1. Если же 0(kLn-i) р*Ф(кЬп- 2), то делается вывод, что минимум достигается на отрезке [0; L„_i], длина которого также равна L„_i. Таким образом, ценой вычисления функции в двух точках область поиска экстремальной точки (отрезок длиной Ln) сузилась (до отрезка длиной L„_i). Далее процесс повторяется аналогичным образом, причем значение функции в одной точке уже известно, поэтому для перехода к отрезку, содержащему экстре­ мальную точку длиной Ln- 2, достаточно вычислить зна­ чение функции лишь в одной еще точке.

Здесь необходимо отметить, что Фибоначчиев поиск

ражений), что приходится производить очень большое количество вычислений значений функционала. Учиты­ вая, что в интересующем нас случае для вычисления значения функционала в каждой точке приходится мно­ гократно воспроизводить функционирование некоторой сложной системы (с помощью ее статистической модели), возникает проблема ускорения сходимости. Возможно, окажется полезным метод зависимых испытаний, пред­ лагаемый Ю. Г. Полляком [86].

При реализации методики решения для задач кон­ кретного вида можно ввести некоторую модификацию [13, 71, 73, 74, 75, 76]. Как уже указывалось, метод Ки­ фера—Джонсона, использованный в [18] для оптимиза­ ции сложных систем общего типа, основан на последова­ тельном линейном отображении отрезка [0; а] на отрезок [0; Ln], где Ln — n-e число Фибоначчи.

Однако, хотя процесс линейного отображения с по­ мощью последовательности Фибоначчи во многих слу­ чаях ускоряет сходимость процесса, реализация его на ЭВМ, особенно малых ЭВМ, связана со значительными затратами машинной памяти, что отрицательно сказы­ вается на возможностях эффективного решения задач

225

больших размеров с большим числом независимых пере­ менных Xi, где г — 1, 2, 3,...

Для поиска экстремума функционала на отрезке при­ меним известный метод половинного деления отрезка с «дельта-щупом».

Рассмотрим более подробно процедуру оптимизации сложной системы этим методом. В первую очередь выде­ ляются основные параметры системы, которые необхо­ димо оптимизировать. Затем находятся границы их из­ менения. Если одна из границ — бесконечность, то ее необходимо разумно ограничить. Далее, исходя из физи­ ческого смысла задачи, всем оптимизируемым парамет­ рам системы даются начальные (нулевые) приближения к решению. Вся информация вводится в статистическую модель, имитирующую функционирование рассматривае­ мой системы. Полученное значение функционала запоми­ нается в памяти машины. Оно будет необходимо в даль­ нейшем для конечного анализа оптимизации при сравне­ нии со следующим приближением. Затем значения всех параметров, кроме одного (скажем, первого), закрепля­ ются. Проводится оптимизация по одному параметру, ко­ торая выглядит так.

От точки, находящейся в середине рассматриваемого промежутка, откладывается 6-окрестность. Вводя в ста­ тистическую модель значения середины промежутка и любого конца, например правого, этой окрестности, по­ лучаем два значения функционала. Сравниваем их. Если значение функционала от правого конца 6-окрестности больше значения функционала от середины, а мы ищем минимум, то необходимо ввести в статистическую модель значение левого конца этой окрестности и полученный функционал сравнить с функционалом от правого конца. Равенство значений этих функционалов (естественно, с определенной, наперед заданной степенью точности) означает, что минимум найден и находится в серединной точке рассматриваемого промежутка.

Если же значение функционала от левого конца 6-ок­ рестности меньше его значения от середины, то поиск минимума сужается до промежутка слева от начала до середины промежутка. Далее процедура повторяется до тех пор, пока не будет найдено минимальное значение. Затем, закрепляя этот минимум за первым параметром,

226

что оптимизируется система, имеющая п параметров, где п = 1, 2, 3 ,...). Аналогично оптимизируют оставшиеся (п—2) параметров.

После нахождения по всем параметрам минимума функционала и ввода этих значений в статистическую модель получаем следующее, первое приближение. Срав­ нивая на заданную точность нулевое и первое приближе­ ния, делаем вывод: достигнут ли минимум функционала или необходимо искать следующее приближение.

Следующее приближение ищется описанным выше способом до тех пор, пока будет достигнута требуемая точность, таким образом, в результате проведенной вы­ числительной процедуры мы пришли к выражению

... min f(X).

ftgXs~a

Если обозначить через n количество шагов процесса поиска экстремума, то через п шагов мы приходим к от­ резку, длина которого приблизительно в 2™раза меньше исходного.

Выше предлагалось решение задачи оптимизации с помощью непараметрических критериев [18].

Общеизвестно, однако, что при наличии дополнитель­ ной информации о характере случайной функции, напри­ мер, о нормальности закона распределения значений ар­ гумента функции, мощность параметрических критериев не уступает порядковым [108]. Кроме того, известно, что для порядковых критериев (например, для х —-критерия Ван дер Вардена) требуется запрограммировать доста­ точно большое число логических операций, что сущест­ венно влияет на время выполнения итерации.

На наш взгляд, весьма удобным для программиро­ вания и, как показал опыт, эффективным для процесса поиска оптимума математического ожидания случайной величины, закон распределения которой мало отличается от нормального, является критерий Стьюдента [26, 109].

Пусть Ф(х)=М^(х), где 1(х) — случайная величина, а М — знак математического ожидания. При оптимиза­ ции функционала Ф (имеется в виду статистическая мо­ дель его значения), сравнивая его значение в двух точ­ ках Х\ и хъ -приходим к известной «задаче двух выбо­ рок». Для метода Кифера—Джонсона и половинного де­ ления с «дельта-щупом» необходимо выбрать одну из трех гипотез: # i:x > 0 , Н2:х = 0, Я3: х < 0, где х > 0 оз-

227

начает, что в требуемом смысле значение функционала Ф(х) в точке Xi больше, чем в точке х2; х = 0 означает, что значения функционалов в точках Xi и х2 совпадают и,

больше, чем в точке Xi. Пусть имеется g случайных ве­

ки различия средних значений заключается в следую­ щем.

Если модуль отношения 111—■1 — 1э ■ ^ 2,1 пре­

вышает границу ^ из таблицы 7 [26], то гипотезу # 2 сле­ дует отвергнуть и считать, что верна гипотеза Я 1 и Н3, смотря по тому, будет ли разность D положительной или отрицательной. Разъясним обозначения в написанной

выше формуле: g(xi), %(х2) — средние значения соответ­ ствующих систем случайных величин,

как U|>^g. то гипотезу равенства значений функцио­

нала в точках Xi и х2 отвергаем. Так как под знаком мо­ дуля стоит отрицательное число, то справедлива гипоте­ за Н3: значение функционала в точке х2 больше, чем в точке Х{. Заметим, что если дисперсии систем случай­ ных величин равны друг другу, то вероятность ошибоч­ ности выбора гипотезы Н3 даже меньше, чем [3 = 2,5.

Изложенная методика [77] поиска экстремума функ­ ционала, заданного при помощи статистической модели, позволяет обходить некоторые трудности программиро­ вания. Кроме того, она примерно на 30% ускоряет схо­ димость процесса во времени.

В к а ч е с т в е и л л ю с т р а ц и и п р и в е д е м п р и м е р о п т и м и з а ц и и м е т о д о м Б у с л е н к о — С о к о л о в а ф у н к ц и о н а л а , з а д а н н о г о а л г о р и т м и ч е с к и . Р а с ­ с м о т р и м у ж е з н а к о м у ю з а д а ч у д о у к о м п л е к т а ц и и у з л о в т е л е в и з о р а

( § 2 . 1 ) . С ф о р м у л и р у е м ее м а т е м а т и ч е с к и .

228

П у с т ь и м е е т с я с и с т е м а м а с с о в о г о о б с л у ж и в а н и я с т р е м я к а н а ­ л а м и ; з а я в к и п о с т у п а ю т д в у м я п о т о к а м и п о п у а с с о н о в с к о м у з а к о н у р а с п р е д е л е н и я с п а р а м е т р а м и A-i и Я2. З а я в к а п е р в о г о п о т о к а п о с т у ­ п а е т н а о б с л у ж и в а н и е н а п е р в ы й к а н а л и, е с л и о н з а н я т , п о с т у п а е т на в т о р о й . В с л у ч а е з а н я т о с т и в т о р о г о к а н а л а з а я в к а т е р я е т с я . З а ­

ся . В р е м я о б с л у ж и в а н и я т к а ж д о й з а я в к и с в о б о д н ы м к а н а л о м о п р е ­ д е л я е т с я п о к а з а т е л ь н ы м з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я с п а р а м е т р а м и рь

Р8 — 8 , 1 2 5

>i = 7,5

f ( р 1) = 2 9 5 4 3 ,7 6 7 1

Рз .-= 5

229