Диссертация на соискание учёной степени

Величина R/S носит название нормированного размаха. Как показал Херст [116], для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением: R / S / 2 H .

Показатель Херста Н определяется через тангенс наклона прямой ln(R / S) H ln / 2 , полученной в результате аппроксимации точек прямой методом линейной регрессии в логарифмических координатах. Этот показатель характеризует скоррелированность членов исследуемого ряда.

При анализе результатов численных экспериментов по изучению зависимости Q(t) на интервале времени , вводилась новая переменная

логарифмических координатах, для дискретного временного ряда Q(t) при двух различных значениях параметра эффективного трения Г (рис. 3.3а) и

при двух значениях коэффициента упругости канала К (рис. 3.3б).

Рис 3.3. Результаты исследования временного ряда Q(t) методом Херста при различных значениях параметра эффективного трения (а); при различных значениях параметра упругости канала K (б).

На основании полученных зависимостей можно сделать вывод, что динамика RyR-канала в рамках ЭК-модели является сильно коррелированной (H ≈ 1.0) на относительно коротком промежутке времени,

сравнимом с длительностью конформационной релаксации канала в метастабильный минимум потенциала, соответствующий открытому

81

состоянию, и слабо коррелированной на длительных промежутках времени

(H ≈ 0.5).

Основываясь на результатах проведенного R/S-анализа, можно заключить, что в рамках электронно-конформационной модели динамика координаты Q канала является не только стохастической, но и детерминированной, причем на коротких интервалах времени, и при этом исследуемая система обладает «памятью».

Следует отметить, что на сегодняшний день в литературе отсутствуют экспериментальные данные, указывающие на фрактальные свойства RyR-

каналов, поэтому необходим более детальный экспериментальный анализ конформационных изменений RyR-канала с целью подтверждения результатов,

полученных с помощью представленной здесь модели.

Для предсказания поведения исследуемой системы требуется детальный параметрический анализ как медленной конформационной динамики, так и быстрых переходов RyR-канала в рамках ЭК модели.

3.2 Медленная конформационная динамика RyR-канала

На первоначальном этапе с целью изучения активности одиночного RyR-

канала исследовалось влияние основных констант конформационного потенциала (2.4) и коэффициентов, входящих в уравнение Ланжевена (2.7) на характер динамики канала.

3.2.1 Параметр эффективного трения Г. Конформационная динамика RyR-канала

Коэффициент эффективного трения Г, входящий в уравнение Ланжевена

(2.7), влияет на характер изменения конформационной координаты Q со временем. Приведенное уравнение (М=1) изменения конформационной координаты при отсутствии тепловых возмущений ( temp (t) 0 ) может быть

записано в терминах затухающего гармонического осциллятора:

где 0 K – характерная частота колебаний гармонического осциллятора.

82

При малом трении (Г<2 0 ) общее решение может быть представлено в виде

[118]:

где А и В – константы.

Критическое затухание примечательно тем, что именно в этом случае осциллятор быстрее всего стремится к положению равновесия, причем, если коэффициент трения Г меньше критического, то он дойдет до положения равновесия быстрее, однако, при этом «проскочит» его по инерции. В этом случае осциллятор будет совершать колебания вблизи точки минимума.

При значениях Г больше критического (Г>2 0 ) решение выглядит следующим образом:

экспоненциально стремиться к положению равновесия, причем тем медленнее,

чем больше трение.

Величина коэффициента Г варьировалась выше и ниже критического значения crit . При фиксированном значении параметра К=12 значение Гcrit≈6.8.

При Г< Гcrit наблюдались колебания системы вблизи минимума потенциала

83

(рис. 3.4а, колебания отмечены пунктирным прямоугольником). При Г> Гcrit

наблюдался неколебательный случай динамики RyR-канала (рис. 3.4б)

Рис. 3.4 Зависимости конформационной координаты Q от времени при различных значениях параметра эффективного трения Г. Параметры КП: K=12, p=-0.86, a=5.

а. Колебательное движение вблизи минимума КП. б. Режим отсутствия колебаний системы.

При проведении дальнейших численных экспериментов параметр Г

выбирался по значению больше критического (Г=7).

3.2.2 Влияние коэффициента упругости канала K на форму конформационного потенциала

Конформационный потенциал (2.4) имеет два локальных минимума со следующими конформационными координатами:

Первый минимум соответствует закрытому, второй - открытому состоянию канала. Положение этих минимумов зависит от величины коэффициента упругости К.

Варьируя значения К в широком интервале [1; 20] при фиксированном наборе остальных коэффициентов в (2.4), можно исследовать влияние этого параметра на свойства конформационного потенциала. Типичные графики конформационного потенциала представлены на рисунке 3.5.

84

Как видно из рисунков 3.5 и 3.6, с увеличением значения коэффициента K

уменьшается расстояние между минимумами КП и крутизна ветвей КП. При изучении конформационной динамики канала исследовалось среднее время релаксации канала из точки, соответствующей одному минимуму КП в другой минимум ( trelax ).

Как показывает график, представленный на рисунке 3.7, с ростом К уменьшается значение trelax . Другими словами, варьируя параметр К, можно менять скорости конформационной релаксации канала в ЭК-модели. В

дальнейших экспериментах значение К выбиралось равным 12.

85

Выбор интервала значений параметра а, характеризующего электронно-

конформационное взаимодействие, а также изучение влияния этого параметра на форму потенциала (2.4) необходимы для успешного проведения компьютерных экспериментов.

86

При анализе влияния параметра а на свойства КП выбирался случай при p 1, который соответствует условиям глобального минимума закрытого состояния канала. При этом значении p построены конформационные потенциалы при различных значениях параметра а и при К=12 (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Конформационный потенциал RyR-канала при четырех различных значениях параметра электронно-конформационного взаимодействия а.

Как видно из графика, при а < 2 минимум правой ветви КП лежит левее точки пересечения ветвей КП, а это означает отсутствие локального минимума,

отвечающего за открытое состояние RyR-канала.

Необходимо оценить интервал значений параметра а, при котором наблюдается стабильность правого локального минимума потенциала. Это условие выполняется в том случае, когда минимум находится правее точки пересечения ветвей потенциала. Данная точка имеет координаты (0;0). Правый

Отсюда следует, что при минимальном значении параметра р=-1

безразмерный параметр а должен принимать значение больше 2. При

87

проведении численных экспериментов, приведенных в данной работе, параметр

а принимался равным 5.

Как видно из рисунка 3.8, расстояние между минимумами КП увеличивается с ростом а, вследствие этого уменьшается время релаксации канала из одного локального минимума КП в другой (trelax) (рис. 3.9).

3.3 Стохастическая динамика RyR-канала. Быстрые переходы

При проведении численных экспериментов с достаточно большой длительностью, исследуя стохастическую динамику RyR-канала, можно пренебречь медленной конформационной динамикой. Быстрые электронные и туннельные переходы можно описать в рамках традиционной марковской схемы, имеющей ряд преимуществ. Во-первых, марковские схемы обладают достаточной простотой математического аппарата; во-вторых, алгоритмы численной реализации являются быстрыми, и с помощью них можно оценить средние времена пребывания канала в открытом, закрытом и инактивационном состояниях при различных значениях интенсивностей электронных и туннельных переходов.

В связи с тем, что в ЭК-модели электронные переходы связаны с взаимодействием ионов Са2+ с активными центрами RyR-канала, можно

88

Изменение вероятностей пребывания в различных состояниях от времени описывается с помощью системы дифференциальных уравнений (уравнения

Колмогорова):

где P – вероятности пребывания в том или ином состоянии.

Зависимости вероятности пребывания канала в различных состояниях от времени являются решениями системы (3.11). Исследование решений системы

(3.11) позволит оценить значения вероятностей электронных и туннельных переходов RyR-канала, что необходимо для проведения численных экспериментов.

3.3.1 Кинетические характеристики динамики RyR-канала

Графики зависимости активности RyR-канала представляют собой последовательность чередующихся интервалов, указывающих на пребывание канала в открытом или закрытом состояниях (рис. 3.10). При анализе процессов открытия и закрытия RyR-канала исследовались такие кинетические

90