Дифф_Исчисление_11

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Применение производных в экономике и исследование функций

Методические указания по курсу “Математика”

для студентов всех специальностей факультета экономики и управления

Екатеринбург 2013

1

УДК 517.1

Составители: О.Я. Шевалдина

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов

Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.

Методические указания содержат кратко изложенный теоретический мате- риал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функ- ций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономи- ке (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимиза- ция налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятель- ной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с тра-

диционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно ис- пользовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при про- ведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания

предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.

Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»

ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» , 2008

2

ЛЕКЦИЯ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ØПроизводная функции в точке. Геометрический смысл. Уравнения касатель- ной (и нормали). Бесконечные производные. Односторонние производные

ØДифференцируемость функции одной переменной

üОпределение функции, дифференцируемой в точке

üНеобходимое и достаточное условие дифференцируемости

üТеорема о непрерывности дифференцируемой функции в точке Ø Правила вычисления производных

ØДифференцирование сложной функции

ØДифференцирование обратной функции

ØПроизводные некоторых элементарных функций (таблица производных)

8.1 Производная функции одной переменной

функция аргумента x :

y = f (x0 ):= f (x0 + x)− f (x0 ).

Определение.

Если существует предел

то значение этого предела называют производной функции y = f (x) в точке x0 ,

обозначают y'(x0 ) или f ′(x0 ) и говорят, что функция f имеет в точке x0 произ-

водную.

3

Используются и другие символические обозначения производной:

Жозеф – Луи Лагранж (1736–1813 гг.) – знаменитый французский математик и механик.

Ньютон

Лейбниц

Так как x = x − x0 , то x = x0 + x, и приращение функции f в точке x0 имеет вид Dy = Df (x0 )= f (x)- f (x0 ).

Определениепроизводной можно записать также в виде формулы

(sin x)′ = cos x.

Экономисты используют для обозначения производной также символ

Mf (x0 ) (т. е. Mf (x0 ):= f '(x0 )) и термин маржинальное значение функции в точке

x0.

Физический смысл производной

Производная f ′(x0 ) – скорость изменения функции в точке x0 . В частности,

4

если x – время, y = f (x) – координата точки, движущейся по прямой в момент x ,

то f ′(x0 ) – мгновенная скорость точки в момент времени x0 .

Геометрический смысл производной. Связь с существованием

k = tg ϕ0 , проходящая через точку A (x0 , f (x0 )), называется касательной к графи-

ку функции y = f (x) в точке A.

ТЕОРЕМА. График функции f имеет в точке A (x0 , f (x0 )) касательную то-

гда и только тогда, когда функция y = f (x) имеет в точке x0 производную f ′(x0 ).

Доказательство.

существует касательная к графику функции в точке (x0 , f (x0 )).

Уравнения касательной и нормали

Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде y = kx + b . Так как

A Γ, то f (x0 )= kx0 + b , откуда b = f (x0 )− k x0 . Поскольку угловой коэффициент касательной k = f ′(x0 ), то ее уравнение имеет вид

y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ) .

Определение.

Нормалью к графику функции f (x) в точке x0 называется прямая, прохо-

дящая через точку M (x0 , f (x0 )) перпендикулярно касательной в этой точке.

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касатель-

ной формулой

Уравнение нормали к графику функции в точке M (x0 , f (x0 )) :

6

ную + ∞ или − ∞ соответственно). В этом случае касательная к графику функции

в точке A параллельна оси Oy ( tg ϕ0 = ∞ ) и ее уравнение x = x0 (так как она про- ходит через точку (x0 , f (x0 ))).

(рис. 8.2).

у

y

1

Рис. 8.2 Рис. 8.3

ная к графику функции (рис. 8.3).

7

водную в точке x0 тогда и только тогда, когда f−′(x0 ), f+′(x0 ), причем f−′(x0 )= f+′(x0 ).

Пример 8. 4. f (x) = x . x0 = 0 .

8

x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производ-

ную.

9

Доказательство.

Следовательно, производная f ′(x0 ) существует и f ′(x0 )= A.

Достаточность. Пусть конечная производная f ′(x0 )= A. Тогда по опреде-

лению производной lim Dy = A . Положим

x→0 Dx

ТЕОРЕМА о непрерывности дифференцируемой функции в точке

10