Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифф_Исчисление_11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

576.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Обратное утверждение неверно. Непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке, но не является достаточным.

В самом деле, пусть y := x . Функция x не имеет производной в нуле (при-

мер 8.4), хотя она и непрерывна всюду.

Связь понятий: непрерывность функции, дифференцирование функции, су-

ществование производной можно представить следующей схемой:

Функция дифференцируе-		Существует конечная про-
ма в точке x0		изводная f ′(x0 )

Функция непрерывна в точке x0

8.3 Правила вычисления производных

ТЕОРЕМА. Пусть функции f : X → R и g : X → R имеют в точке x0 , пре-

дельной для X , производные f ′(x0 ) и g′(x0 ). Тогда в этой точке существуют про-

f ö′

изводные ( f ± g)

), ( f × g)

), ç

), если

g(x

)¹ 0 и выполняются равен-

è g ø

ства:

1. ( f ± g)′(x0 )= f ¢(x0 )± g¢(x0 ).

2. ( f × g)′(x0 )= f ¢(x0 )× g(x0 )+ f (x0 )× g¢(x0 ).

′

(x )× g(x )- f (x

)× g (x )

æ f ö

(x )=

, g(x

)¹ 0 .

)

è g ø

Доказательство.

1. Имеем

D( f ± g)(x0 )=

[f (x0 + Dx)± g(x0 + Dx)]- [f (x0 )± g(x0 )]=

[f (x

+ x)− f (x

)]± [g(x

+ x)− g(x

)]

. Так как существуют производные f ′(x0 )

′(

)

, то переходя к пределу при

x → 0 , получим

lim

( f ± g)(x0 )

)± g

)

= f (x

x→0

2. Имеем

D( f × g)(x0 )

f (x0 + Dx)g(x0 + Dx)- f (x0 )g(x0 )=

= g(x

+ Dx)

f (x0 + Dx)- f (x0 )

+ f

)

g(x0 + Dx)- g(x0 ).

Так как g′(x0 ) существует, то функция g непрерывна в точке x0 . Поэтому

lim g(x + x)

= g

). Значит,

x→0

lim

D( f ± g)(x0 )

= f

)× g(x

)+ f

)

)× g (x

x→0

Следствие. (c × f )′(x

)= c ×

f ¢(x

), если c – постоянная величина.

3. Сначала рассмотрим случай, когда

f (x)≡1, т. е. получим формулу для

производной дроби

. Имеем

g(x)

Dç

÷(x

)

g(x0 + Dx)

g(x0 )

1 g(x0

+ Dx)- g(x0 )

è g

= -

g(x

)g(x

+ Dx)

(8.3.1)

Так как функция g непрерывна в точке x0 и g(x0 )¹ 0 , то существует такая окрестность Oδ (x0 ), что для любого x Oδ (x0 ) функция g(x) сохраняет знак, т. е.

g(x)¹ 0 . Выражение в правой части (8.3.1) имеет предел при x → 0 , поэтому

существует lim

x→0

æ	1	ö
Dç		÷(x		)
Dç		÷(x		)
ç		÷	0
è g		ø	0

= -

g¢(x0 )

g 2 (x

), т. е.

′

)

(x )= -

g 2 (x

)

è g

Теперь с помощью формулы для производной произведения получим

æ f ö′

1 ö′

æ 1 ö′

(x )

= ç f ×

(x )

= f

)×

+ f (x

)ç

)

è g ø

f ¢(x0 )× g(x0 )- f (x0 )× g¢(x0 ), g(x )¹ 0 , т. е.

g 2 (x

)

′

(x )× g(x )- f (x )× g (x )

æ f ö

(x )=

, g(x )¹ 0

g2 (x

)

è g ø

8.4 Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА.

Если функция

y = f (x)

дифференцируема в точке x0 , а функ-

ция

z = g(y)

дифференцируема

точке

y0 := f (x0 ),

то

функция

h := (g o f )(x)= g(f (x)) дифференцируема в точке x0 и имеет место формула

h¢(x0 )= (g o f )′(x0 )= g¢(y0 )× f ¢(x0 )

(8.4.1)

Доказательство.

Дадим приращение

переменной

x и обозначим соответствующее при-

ращение

функции

f (x)

через

y .

Тогда

y = f (x0 + x)− f (x0 ),

f (x0 +

x)= f (x0 )+

y = y0 +

y . Заметим также, что из

дифференцируемости

f (x) в точке x0

следует ее непрерывность в этой точке:

lim y = 0. Учитывая эти замечания, вычисляем производную:

→0

g(f (x0 + x))− g(f (x0 ))

g(y0 + y)− g(y0 )

)= lim

= lim

→0

g(y0 + y)− g(y0 ) Dy

g(y0

+ y)− g(y0 )

(

)×

)

lim

= lim

× lim

x→0

y→0

x→0

f x0

8.5 Дифференцирование обратной функции

ТЕОРЕМА о производной обратной функции

Пусть функция

f (x)

строго монотонна и непрерывна в окрестности точки

x0 .

Если

существует

f ′(x0 )¹ 0, то обратная

функция

f −1(y)

имеет

в точке

y0 := f (x0 ) производную и справедливо равенство

(f −1(y))′ (y )=

f ¢(x0 )

Доказательство.

В силу непрерывности функции

y = f (x) в точке

из Dx ® 0

следует

y = f (x

+ x)− f (x

)→ 0. Так как обратная функция

x = f −1(y)

непрерывна в

точке y0 , то из Dy ® 0 вытекает Dx ® 0 . Таким образом,

в нашем случае, условия

Dx ® 0 и Dy ® 0 равносильны.

Так как функция f −1(y) строго монотонна, то из Dy ¹ 0 следует, что Dx ¹ 0.

Поэтому

. Если

f ′(x0 )¹ 0,

то,

пользуясь равносильностью условий

Dx ® 0 и Dy ® 0, находим

lim

= lim

lim Dy

f ¢(x0 )

x→0 Dy

x→0

x→0 Dx

8.6 Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)

1. c′ = 0, где c – постоянная величина.

′

α −1

æ 1

ö′

) =α x

, в частности, ç

= -

(

x )

è x ø

(a x )′ = a x ln a , в частности,

(ex )′

= ex .

4.(loga x)¢ = 1x loga e , в частности, (ln x)¢ = 1x .

5.(sin x)′ = cosx , (cosx)′ = sin x .

(tg x) =

(ctg x) = -

cos2 x

sin2 x

(arcsin x)¢ =

, (arccosx)¢ = -

1- x2

(arctg x) =

, (arcctg x)

= -

1+ x2

+ x2

′

(x)= ch

(x)= ch2 (x)

(x)= − sh2 (x).

(x), ch

(x)= sh (x), th

, cth

Докажем справедливость этих формул. Будем использовать определение производной, эквивалентные бесконечно малые, правила вычисления производ- ных.

1. y = c , где c – постоянная величина.

o	Производная y¢ = lim		c − c	= 0 .
o	Производная y¢ = lim		Dx	= 0 .
	x→0		Dx
	2. y = xα .
o	Производная (xα )¢ = lim (x + Dx)α - xα
	x	→0		Dx
				15

=lim

x→0

x	α	éæ	+	Dx öα		ù
x		êç1	+	x	÷	-1ú
		êè		x	ø	ú
		ë				û	=
				Dx			=
				Dx

éæ	+	Dx öα
= êç1	+	÷	-1 ~
êè		x ø
ë

a × Dx		ù		x	α	×a × Dx	= a xα−1.
	,	Dx ® 0ú	= lim
					x × Dx
x		ú	x→0
		û

Для сложной степенной функции имеем формулу производной

[(u(x))n ]′ = n ×(u(x))n−1 ×u¢(x)

или в краткой записи

(un )′ = n ×un−1 ×u¢ .

3. y = ax , a > 0, a ¹ 1Þ x = loga y . Пользуясь теоремой о производной об-

ратной функции, находим: (ax )′ =

= ax ln a .

(loga y)¢

(log

loga e

Для сложной показательной

функции

имеем

u(x) ′

u(x)

) = a ×ln a ×u (x) или в

краткой записи

(au )′ = au ×ln a ×u¢.

	4. y = loga x, a > 0, a ¹ 1.
o	Приращение Dy = loga (x + Dx)- loga	x = loga	æ	+	Dx ö
o	Приращение Dy = loga (x + Dx)- loga	x = loga	ç1	+	÷.
			è		x ø

Dx ö

log

ç1

Производная

a è

x ø

é0ù

Dx ö x

= ê

ú =

lim loga

ç1 +

(x)= lim

x→0

ë0û

x→0

Dx ö

x ÷

= lim log

ç1+

log

e =

ln a

x→0

a ç

x ø

u′(x)

Для сложной логарифмической функции (loga u(x))

ln a

u(x)

или

(log

u)¢

′

u ×ln a

5. y = sin x .

Производная

Dx ö

sin(x + Dx)- sin x

0ù

2cosç x +

÷sin

2 ø

= cos x .

= ê

ú = lim

y (x)= lim

x→0

0û

x→0

Для сложной функции

(sin u)′ = cosu ×u¢

Производная функции y = cos x находится аналогично.

6. y = tg x .

sin(x + x) sin x

tg(x + Dx)- tg x

é0

cos(x + Dx)

cos x

Производная

= ê

ú = lim

y (x)= lim

x→0

ë0

x→0

= lim

sin x

= lim

sin x

× lim

cos2 x

x→0 cos(x + Dx)cos x Dx

→0

x→0 cos(x + Dx)cos x

u′

и для сложной функции

(tgu)

cos2 u

Производная функции y = ctgx находится аналогично.

7. y = arcsin x,

<1 Þ x = sin y,

π . Пользуясь теоремой о производной

обратной функции, находим:

(arcsin x) =

(sin y)¢

cos y

1- sin2 y

1- sin2 (arcsinx)

1- x2

Для нахождения производной функции y = arccosx воспользуемся известной

тригонометрической формулой

arcsin x + arccos x =

y¢ = (arccos x)¢ = çæ π

- arcsin x÷ö′

= (- arcsin x)¢ = -

è 2

1 - x2

Для сложной функции

(arcsin u)¢ = -(arccosu)¢

′

1- u2

8. y = arctgx Þ x = tg y при

< π .

′

◄ Производная (arctg x) =

= cos

y =

(tg y)′

1 + tg2 y

1 + tg2 (arctg x)

1 + x2

Для нахождения производной функции y = arcctgx воспользуемся известной

тригонометрической

формулой

arctg x + arcctg x = π

аналогично

предыдущему

случаю.

′

u′

Для сложной функции

(arctg u) = −(arcctg u) =

1+ u2

9. Для нахождения производных этого пункта воспользуемся формулами:

sh (x)= ex − e−x

, ch (x)= ex + e− x

, th (x)=

ex − e−x

, cth (x)=

ex + e−x

ex + e− x

ex − e− x

и правилами вычисления производных.

Рассмотрим еще один способ нахождения производных.

8.7 Логарифмическая производная

Определение. Логарифмической производной функции y = f (x) называет-

ся производная (ln y )' .

Так как (ln x )′ = 1x , то по правилу дифференцирования сложной функции по-

лучим следующее соотношение для логарифмической производной

(ln	y	)′ =	y'	.	(8.7.1)
			y'

			y
			y

Если производную y' рассматривать как скорость изменения функции у, то

величину yy' естественно считать относительной скоростью изменения или тем-

пом роста функции у.

Спомощью логарифмической производной удобно вычислять производную

втех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Такое вычисление

основано на формуле

y'= y × (ln		y		)',	(8.7.2)

полученной из соотношения (8.7.1) умножением на у.

Используя формулу (8.7.2), найдем производную функции вида y = uv , где

u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции:

y'= y × (ln y)'= u	v	(vlnu)'= u	v æ	u'ö
y'= y × (ln y)'= u		(vlnu)'= u	çv'lnu + v	÷.
			è	u ø

Пример 8.7. Найдем производную функции y = x3 × (x)ln 2 x .

Найдем ln y = (3ln x + (ln2 x)× ln x )= 3ln x + 12 ln3 x .

Дифференцируя левую и правую часть, получим: yy′ = 3x + 12 ×3ln2 x × 1x . От-

æ 3

1 ö

ln 2

сюда y¢ = y × ç

(ln

x)×

= 3x

(

x )

× ç1

(ln

x)÷.

è x

x ø

Пример 8.8. Пусть

K = K(t)

– приближенная величина вклада в момент

времени t. Можно ли определить (приближенно) ставку банковского процента r

по функции K(t)?

Решение. Пусть r – номинальная ставка за год, Dt – доля года, тогда про- центы за период времени Dt составят K × r × Dt . Так как приращение вклада и про-

центы по вкладу – одно и то же, то		K = K r			t . Отсюда
r =		DK		.	(8.7.3)
r =		K Dt		.	(8.7.3)
		K Dt
Предположим, что функция	K(t) имеет производную K '(t). Тогда мы мо-
жем заменить в равенстве (8.7.3) приращение					K на дифференциал dK = K ' t , в
			19

результате получим r » KK′Dtt = KK′ = (ln K )¢ .

Вывод: ставка банковского процента r совпадает с логарифмической произ- водной от величины вклада.

Упражнение. Пусть K(t) = K0 (t +1)1,5, где t – число лет от открытия вклада,

K0 – величина вклада в начальный момент времени t = 0. Какой будет ставка бан-

ковского процента: а) через 2 года; б) через 5 лет? Какова при этом абсолютная скорость (производная K ') роста вклада?

Пример. Пусть A(t) – стоимость некоторого актива А в момент времени t,

r – доходность от вложения денег в другие активы. Считаем для простоты, что r не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив А?

Решение. Найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доход- ность актива А будет больше r . Так как мгновенная доходность совпадает с тем- пом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством

(ln A(t))'> r .

(8.7.4)

Если неравенство (8.7.4) задает интервал (t1, t2 ), то актив следует купить в момент времени t1 и продать в момент t2 . Если же множество (8.7.4) является объедине-

нием двух интервалов (− ∞, t1 )U (t2 , + ∞), то актив А выгодно продать в момент t1

и снова купить в момент t2 .

Упражнение. Пусть r =10% годовых, A(t) = C × e0,2t −1, C - const. В какой момент времени выгоднее всего купить (продать) актив А?

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.20162.41 Mб69Диссертация Акимжанов.pdf
#
23.02.20151.58 Mб12Диссертация защита.pdf
#
22.02.201541.76 Mб35Диссертация на соискание учёной степени.doc
#
23.02.20155.16 Mб34Диссертация на соискание учёной степени.pdf
#
22.02.20151.09 Mб18Дифуры. решение варианта. Грахов, Катальников.doc
#
13.03.2016576.21 Кб5Дифф_Исчисление_11.pdf
#
13.03.20162.11 Mб45Дифф_Исчисление_2015_проверенный.docx
#
22.02.2015179.2 Кб13ДКБ Ибрагимова.doc
#
23.02.201533.61 Кб6Для ОБРАЗЦА.docx
#
20.11.2018192.51 Кб19для 302.doc
#
22.02.201544.81 Кб29для диплома.docx