Дифф_Исчисление_11

достаточно, чтобы

′

′

f (x)³ 0

( f (x)£ 0) для всех x Î (a,b);

2) если производная

′

′

f (x)> 0

( f (x)< 0) для всех x Î (a,b), то функция f

1)

Необходимость. Пусть f (x) возрастает на [a, b]. Покажем, что

f ′(x)³ 0

"x Î(a, b). Предположим противное, т. е. f ′(x0 )< 0 , x0 (a, b). Тогда по

Достаточность. Пусть f

′

(x)³ 0 для всех x Î(a,b). Для любой пары точек

x1 < x2 таких,

что [x1, x2 ] (a, b),

функция f на отрезке [x1, x2 ] удовлетворяет ус-

ловиям теоремы Лагранжа:

′

c (x1, x2 ), для которой f (x2 )− f (x1 )= f (c)(x2 − x1 ).

Так как c Î(x1, x2 )Ì (a, b),

то f

′

f (x2 )³ f (x1 ). Т. о., мы

(c)³ 0 и, следовательно,

доказали, что функция

f (x) возрастает на [a, b].

′

для всех x Î(a,b). По схеме доказательства предыдущего

2) Пусть f (x)> 0

пункта с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получаем

′

f (x2 )- f (x1 )= f (c)(x2 - x1 ).

Так как

′

, то f (x2 )> f (x1 ), то

c (x1, x2 ) (a, b), то f (c)> 0 и если x1 < x2

есть функция

f (x) возрастает в строгом смысле на [a, b].

функция f (x) возрастает для значений x (x0 − δ, x0 ) и f (x)

убывает для значе-

o

ний x (x0 , x0 + δ). Следовательно, x Oδ (x0 ) f (x0 ) > f (x)

, то есть x0 – точка

локального максимума функции f (x) (рис. 12.1).

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума.

рую производную. Тогда функция имеет в точке x0 максимум, если

f ′′(x0 ) < 0 , и

минимум, если f ′′(x0 ) > 0 .

Доказательство.

Запишем формулу Тейлора для функции

f (x) в окрестности точки x0

при

n = 2:

f (x)= f (x )+

f ′(x0 )

(x − x )+

f ′′(x0 )

(x − x )2

+o((x − x )2 ).

0

1!

0

2!

0

0

По условию

f ′(x0 )= 0, поэтому

sgn(f (x)− f (x0 ))= sgn f ′′(x0 )

при

x → x0 .

o

Если

f ′′(x0 ) > 0 x Oδ (x0 ) , то f (x) >

f (x0 ) и, следовательно, x0

– точка локаль-

o

(x0 ) , то

ного минимума функции f (x). Если же

f ′′(x0 )< 0 x Oδ

f (x) < f (x0 ) и,

следовательно, x0 – точка локального максимума функции

f (x).

Пример 12.2. Доказать неравенство 1+ 2ln x ≤ x2

для x > 0.

Рассмотрим функцию

f (x) = x

2

− 2ln x −1. Имеем

f (1) = 0,

f

′

2(x2 −1)

.

(x) =

x

Для

′

а для 0

< x < 1 f

′

на интервале

x > 1 f (x) > 0,

(x)< 0 . Таким образом, f (x)

(0, 1)

убывает, на интервале

(1, + ∞)

возрастает, и так как

f (x)

непрерывна при

x = 1, то

точка

x = 1 является

точкой минимума.

Следовательно, для

x > 0

f (x)= x2

- 2ln x -1³ f (1)= 0, откуда и вытекает неравенство x2 ³1+ 2ln x, x > 0.

(x -1)3

Пример 12.3. Исследовать на экстремум функцию y = 3(x + 1)2 .

Определим промежутки монотонности и экстремумы данной функции. Пер-

вая производная функции равна:

y¢(x)= (x -1)2(x + 5). Находим критические точ-

3(x +1)3

ки: y′ = 0 при x =1,

x = −5 и y′ не существует при x = −1.

При x (− ∞; − 5), x (− 1;1)U (1; + ∞)

y′ > 0 , при xÎ(- 5;1)

y′ < 0 . На каж-

дом из промежутков (− ∞; − 5], (−1;1], [1; + ∞) функция возрастает, на промежутке

[− 5;−1) убывает (рис. 12.2), в точке (−5; −4,5) имеет локальный максимум. Отме-

тим, что y′(1)= 0, т. е. график функции имеет в этой точке горизонтальную

y′

+

−

+

+

у

−5

−1

1

х

Рис. 12.2

касательную, точка

x =1 является критической, но

локального

экстремума у

функции в этой точке нет, т. к. первая производная не меняет знак. Точка

x = −1

также не является точкой экстремума (заданная функция в ней не определена), хо-

тя производная при переходе через эту точку меняет знак.

Полное исследование и построение графика функции приведены ниже (при-

мер 12.12).

Для нахождения наиб f (x) и наим f (x) непрерывной на [a, b] функции ис-

x [a, b]

x [a, b]

пользуется следующая схема решения:

1.

Найти критические точки функции f (x), т.е. те значения x [a, b], при

которых либо f

′

′

(x) = 0, либо f

(x) не существует (но в этих точках сама функция

f (x) определена и непрерывна).

2.

Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка

[a, b].

3.

Найти

наиб f (x) и

наим f (x). Для этого нужно сравнить значения

x [a, b]

x [a, b]

Иногда

вместо наиб f (x) и

наим f (x) записывают соответственно

x [a, b]

x [a, b]

max

f (x) и

min

f (x).

x [a, b]

x [a, b]

56

y

y

a

b

x

a

b

x

Рис. 12.3

ТЕОРЕМА.

Если функция f

имеет на интервале (a,b) вторую производ-

′′

′′

ную и f (x) ³ 0 ( f

(x)≤ 0) для x (a,b), то график функции имеет на (a,b) вы-

пуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство.

′′

x (a, b) и докажем, что ее график является вы-

Допустим, что f (x)≤ 0

y

пуклым вверх. Через точку M 0 прове-

M 0

дем касательную к графику функции

y = f (x) . Для доказательства теоремы

Y

мы должны установить, что график

функции на (a,b) расположен не выше

y = f (x)

своей касательной на этом интервале.

x

Пусть x – произвольная точка из (a,b),

a

x0

x

b

y = f (x) – ордината графика функции в

Рис. 12.4

точке

x . Далее

57

x −1

Пример 12.6. Для f (x) =

график функции (см. рисунок 12.7)

выпук-

x

лый вниз на (− ∞, 0) и на (0, 1),

выпуклый

вверх

на

(1, + ∞).

Точка перегиба графика функ-

1

ции (1; 0).

Заметим, что здесь

x

точка x =1 является точкой ло-

0

1

кального минимума функции.

Рис. 12.7

ТЕОРЕМА о необходимом условии существования точки перегиба

Если функция y = f (x) имеет перегиб в точке M 0 (x0 , f (x0 ) , то f ′′(x0 ) =0,

или f ′′(x0 ) не существует.

Доказательство.

Пусть точка M 0 (x0 , f (x0 ) разделяет промежутки выпуклости вниз и вверх

(Рис. 12.5). Пусть при

x < x0 кривая

y = f (x) выпукла вниз, а при

x > x0

кривая

y = f (x)

выпукла вверх. Тогда при x < x0 вторая производная

′′

³ 0 и,

значит,

f (x)

′

′′

£

0 и, значит,

′

f (x) возрастает. При

x > x0 f (x)

f (x) убывает. Это означает, что

функция

′

максимум

в

точке x0 ,

следовательно, ее

производная

f (x) имеет

′

′

′′

( f (x)) = f (x) в этой точке или равна нулю, или не существует.

Замечание. Необходимое условие точки перегиба не является достаточным.

Например, кривая y = x4 является выпуклой вниз, так как y¢¢ º12x2 ³ 0 и,

значит,

не имеет точек перегиба, хотя y′′ = 0 при x = 0.

Определение.

Точки, в которых f ′′(x0 ) =0 или f ′′(x0 )

не существует, называют крити-

Пусть, например, вторая производная

f

′′

′′

(x) ³ 0 при x < x0 и

f (x) £ 0

при x > x0 . В этом случае (Рис. 12.5) слева от x0

график функции выпуклый вниз,

а справа от x0 выпуклый вверх, т. е. M (x0 , f (x0 )

– точка перегиба графика функ-

ции.

Область определения x R . При x =1 значение функции y = 0. Производная

y′ =

2x − 2

. Точка

x =1 является точкой минимума функции; y

min

= y(1)= 0.

x2 − 2x + 2

′′

− 2x(x − 2)

= (x2 − 2x + 2)2 . Знаки второй производной:

′′

Вторая производная y

y

(x)< 0

при

x (− ∞; 0), x (2; + ∞),

y′′ (x)> 0 при x (0; 2). При x (− ∞; 0) и x (2; + ∞) гра-