Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифф_Исчисление_11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

576.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

ØФормула Тейлора для многочленов

ØЗАДАЧА наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с оста-

точным членом в форме Пеано

ØФормула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Мак-

лорена

ØРазложения основных элементарных функций в окрестности точки x0 = 0 (асимптотические формулы)

11.1 Формула Тейлора для многочленов

В 1715 году Брук Тейлор (1685 –1731, английский математик) опубликовал формулу для разложения функции в степенной ряд, которая явилась мощным ин- струментом для исследования функций и приближенных вычислений.

Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть функция y = f (x) имеет в ок-

рестности точки x0 производные до n - го порядка включительно. Требуется най-

ти многочлен

Tn (x) = Tn (x, x0 )= Tn (x, f , x0 )

степени не выше n такой, что для всех s = 0,1, 2, K, n выполняются равенства

					f (s)(x	0	) = T	(s)(x ) .					(11.1.1)
						0	n		0
Будем искать Tn (x) в виде многочлена по степеням разности (x − x0 ):
T (x)= a		+ a (x − x )+ a		2	(x − x )2 +K+ a			n	(x − x )n = ån		a (x − x )k ,		(11.1.2)
n	0	1	0	2	0			n	0	k =0	k	0
										k =0

где коэффициенты ak нужно определить.

Найдем производные многочлена Tn (x) порядка s, s = 0,1, 2, K, n:

Tn¢(x)= a1 + 2 ×a2 (x - x0 )+ 3× a3 (x - x0 )2 +K+ n × an (x - x0 )n−1 =

= ån kak (x - x0 )k −1 ,

k =1

T ¢¢(x) =1× 2 × a	2	+ 2 ×3× a	3	(x - x )+K+ n(n -1)a	n	(x - x )n−2	=	(11.1.3)
n	2		3	0	n	0

= ån k(k -1)ak (x - x0 )k −2 ,

k =2

и далее,

Tn(s)(x)= ån k(k -1)K(k - s +1)ak (x - x0 )k −s .

k =s

Из (11.1.2) и (11.1.3) при x = x0 получаем

Tn (x0 )= a0 , Tn¢(x0 )= a1, Tn¢¢(x0 )=1×2×a2 , Tn¢¢¢(x0 )=1×2×3×a3,K, Tn(n)(x0 )=1× 2×3Kn an.

Отсюда

T (s)(x )

, s = 0,1, 2,K, n.

Значит, с учетом (11.1.1), должны выполняться равенства

(s)(x )

, s = 0,1, 2,K, n .

Таким образом, поставленную задачу решает многочлен

Tn (x) = Tn (x,

f , x0 )= ån

f (k)(x0 )

(x - x0 )k .

(11.1.4)

k =0

Многочлен Tn (x), заданный формулой (11.1.4), называют многочленом Тей-

лора порядка n функции f

в точке x0 .

Он единственен!

11.2 Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Покажем, что именно многочлен Тейлора Tn (x) функции f (x) задает наи-

лучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность

приближения

f (x) ≈ Tn (x), т. е. оценим в некоторой окрестности точки

x0 функ-

цию

Rn (x) = Rn (x, f , x0 ):= f (x)−Tn (x, f , x0 ). Разность

Rn (x)

называют остаточ-

ным членом формулы Тейлора.

Покажем, что

R (x)= o((x - x )n )

(11.2.1)

В самом деле, рассмотрим

Rn (x)

f (x)-Tn (x)

0 ö

lim

= ç

÷ =(применим последовательно n раз правило

(x - x0 )n

x→x0

0 ø

Лопиталя) =

f (x)- T

(x)

æ 0 ö

(n)

(x)- T

(n)

)

(n)

(x)- f

(n)

)

= lim

= ç

÷ = K

= lim

x→ x0 n(x - x0 )n−1

0 ø

→ x0

x→ x0

а это означает, что R (x) º f (x)-T (x) = o((x - x )n ),

т. е.

(k)

(x0 )(x - x0 )k + o((x - x0 )n ).

f (x)= å f

(11.2.2)

k=0

Полученная формула носит название формулы Тейлора порядка n функции

f в точке x0

с остаточным членом в форме Пеано. Ее называют асимптотиче-

ским разложением n -го порядка функции

f (x) в окрестности точки x0 . Формула

(11.2.2) является качественной характеристикой погрешности (форма Пеано ).

(Джузеппе Пеано (1858–1932) – итальянский математик).

Джузеппе Пеано (1858 – 1932) – итальянский математик

В курсе математического анализа доказывается, что можно найти другие по-

грешности приближения f (x) ≈ Tn (x). В частности, справедлива

11.3 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ТЕОРЕМА.

Пусть функция

y = f (x)

n раз непрерывно дифференцируема на

(a,b) и

имеет в каждой точке этого интервала, за исключением,

быть может, точки x0

производную (n+1)-го порядка. Тогда для любого x (a,b)

между x0 и х найдется

такая точка ξ, что справедлива формула Тейлора

f (x) = f (x

) +

f ′(x0 )

(x − x

f ′′(x0 )

(x − x

)2 +... +

f (n)(x0 )

(x − x

)n + R

(x)

n+1

где

(x) =

f n+1(ξ)

(x − x )n+1

(11.3.1)

(n +1)!

– остаточный член в форме Лагранжа.

Так как точка ξ (x0 , x), то ξ = x0 + θ (x − x0 ), где 0 < θ < 1.

Формула (11.3.1) является количественной характеристикой погрешности (форма Лагранжа).

Формула Маклорена

(Колин Маклорен (1698–1746) – шотладский математик.)

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при x0 = 0:

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

+ ... +

f (n)(0)

xn + R

n+1

(x),

где

(x) =

f n+1(θ x)

xn+1, 0 < θ < 1.

n+1

(n +1)!

Пример

11.1.

Разложить

функцию

f (x) = x3 - 2x2 + 3x + 5

по

степеням

(x − 2) .

Решение.

′

(x) = 3x

− 4x + 3;

′′

6x − 4 ;

′′′

(4)

(x) = 0. Отсюда

f (x)

f (x) = 6 ; f

f (2) = 11;

′

′′

′′′

= 6;

(4)

(2)

= 0 .

f (2) = 7;

(2) = 8;

f (2)

Следовательно, по формуле Тейлора третьего порядка

x3 - 2x2 + 3x + 5 = 11+ 7(x - 2) +

(x - 2)2

(x - 2)3.

f (4)(c)

Остаточный член R (x)

(x - 2) = 0. Таким образом,

x3 − 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x − 2) + 4(x − 2)2 + (x − 2)3 .

Пример 11.2. Разложить функцию f (x) = ln(1+ x) по формуле Тейлора в ок-

рестности точки x0

= 2.

Имеем f (2)= ln 3,

f (x)= 1 + x

, f

(2)= 3,

¢¢

+ x)2 , f

(x)= - (1

(2)= - 32 ,

¢¢¢

1× 2

¢¢¢

1× 2

(x)= (1+ x)3 , f

(2)= 33 , … ,

f (n)(x)= (-1)n−1(n -1)!,

f (n)(2)= (-1)n−1(n -1)!,

(1 + x)n

f (n+1)(x)=

(-1)n n!

f (n+1)(x)=

(-1)n n!

где 2 < ξ < x.

(1+ x)n+1

Поэтому

1× 2

(-1)n−1(n -1)!

f (x) = ln3 +

(x -

2) -

(x -

(x - 2)

... +

n!3n

(x -

2) +

1!×3

2!×32

3!×33

			n	(-1)k −1(x - 2)k
+ R	(x) = ln 3 + å					+ R		(x),
				k ×3k
n+1			k =1			n+1
где R		(x)=	(-1)n n!		(x - 2)n+1 =			(-1)n	(x - 2)n+1 , 2 < ξ < x.
			(1+ x)n+1(n +1)!				(1+ x)n+1(n +1)
n+1

11.4 Разложения основных элементарных функций в окрестности точки x0 = 0 (асимптотические формулы)

Запишем формулу Тейлора (11.2.2) при x0 = 0 с остаточным членом в форме Пеано:

¢¢

(n)

(0)

f (x) = f (0)+

f (0)

x +

f (0)

+K+

xn +o(xn )

(11.4.1)

Формулу (11.4.1) называют формулой Маклорена разложения функции

f (x) по

степеням x с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть f (x) = ex , x = 0.

Вычислим

производные функции

ex в точке

x = 0 :

f (n)(x) = ex , f (n)(0) = e0 = 1.

Используя формулу (11.4.1), получим

ex = 1+ x +

+K+

+ o(xn )

В частности, при n =1 и n = 2 имеем:

ex = 1+ x + o(x), ex = 1+ x +

+ o(x2 ).

2. Пусть f (x) = sin x, x0 = 0. Вычислим значения производных функции f (x) = sin x при x = 0 :

¢	æ	p ö	¢	¢¢	æ	×	p ö	¢¢
¢		÷,	¢	¢¢				¢¢
f (x) = cos x = sinç x +		÷,	f (0) = 1;	f (x) = -sin x = sinç x + 2			÷, f (0) = 0;
	è	2 ø			è		2 ø
					46

¢¢¢

p ö

¢¢¢

÷,

f (x) = - cos x = sinç x + 3×

(0) = -1;

………………………………………………………………..

f (n)(x) = sinæ x + n × p ö,

f (n)(0) = sin np =

0, n = 2k,

-1.

î(-1)k −1, n = 2k

Используя формулу (11.4.1) при n = 2k , находим:

sin x = x −

−

(−1)k +1 x2k −1

+ o(x2k )

(2k −1)!

В частности, при k =1 и k = 2 имеем:

sin x = x + o(x2 ),

sin x = x −

+ o(x4 ).

3. Разложение для f (x) = cos x получается аналогично:

x2n

2n+1

cos x = 1 −

−K+ (−1)

+ o(x

)

(2n) !

В частности, при n = 1:

cos x =1 -

+ o(x3 ).

4. Пусть

f (x) = ln(1+ x), x0 = 0. Вычислим значения производных функции

f (x) = ln(1+ x) при x = 0 :

¢¢

¢¢¢

1× 2

(4)

1× 2 ×3

(1+ x)2

(x) = - (1+ x)4

, K,

f (x)

= 1+ x , f (x) = -

, f (x) = (1+ x)3 , f

f (0) = 1, f (0) = -1,

(0) = 2!,

(4)

(0) = -3!, K, f

(n)

(0) = (-1)(n -1)!

¢¢

¢¢¢

Тогда

f (n)(0)

= (-1)n−1(n -1)!

(-1)n−1 . Используя формулу (11.4.1), получим:

ln(1+ x)= x -

-K + (-1)n−1

+ o(xn )

В частности, при n = 1

ln(1+ x)= x + o(x).

5. Аналогично получаем:

(1+ x)α = 1+ αx +

α(α −1) x2 +K+ α(α −1)K(α − (n −1)) xn + o(xn )

Если α = −1, то

∞

(1+ x)−1 =

= åaxn = 1− x + x2 − x3 +K+ (−1)n xn + o(xn )

+ x

n=0

Заменив x на − x, получим:

∞

(1− x)−1 =

åaxn = 1+ x + x2 + x3 +K+ xn + o(xn )

− x

n=0

Пример 11.3. Разложить функцию f (x) = e−x в ряд Маклорена до o(x3 ).

Решение. Воспользуемся разложением ex =1+ x +

+K+

+ o(xn ). Заме-

ним x на (− x), получим e

− x = 1− x +

−

+ o(x3 ).

y = e−x

y = y3

y = y2

y1 = 1− x

− 2

−1

Рис. 11.1

На рисунке 11.1 изображена кривая y = e−x , а также ее приближения

y = 1− x , y		= 1+ x −	x2	и y = 1− x +	x2	−	x3	.
	2				2
1		2		3		6
					48

Пример 11.4. Разложить функцию f (x) = tg x в окрестности точки									x0 = 0,
взяв n = 3.
Решение. Воспользуемся формулой Маклорена при n = 3. Найдем произ-
	¢	1	¢¢	−3		¢¢¢	−4	2	−2
водные					x × sin x ;			x × sin x + 2 cos x ;

	f (x) = cos2 x ;		f (x) = 2cos			f (x) = 6 cos
отсюда	f (0) = 0 ,	′	′′	,	′′′	. Получаем
отсюда	f (0) = 0 ,	f (0) = 1, f (0)= 0		,	f (0)= 2	. Получаем

tg x = x + x33 + o(x3 ).

Пример 11.5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычис-

cos x - ex2

лить пределы: а)

lim

; б)

lim ç

÷.

x→0

x→0è x

sin x ø

éæ

Решение. а) lim

êç1

- (1+ x2 )ú

= -

;

x→0 x2

êç

ëè

б) Если ограничиться разложением sin x = x + o(x2 ) , то в

æ	1	-	1 ö		= lim	sin x - x	= lim	x + o(x2 )- x	= lim
выражение lim ç				÷		x sin x

x→0è x			sin x ø		x→0		x→0 x(x + o(x2 ))		x→0

пределе получаем

o(x2 ) . Чему x2 + o(x)

равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какие бесконечно малые скрываются под o(x) и o(x2 ). Поэтому следует взять следующее приближение:

Тогда lim sin x - x = x→0 xsin x

lim

x→0

sin x = x -

+ o(x4 ).

3æ 1

ç x -

+ o(x )÷

- x

x ç

+ o(x)÷

= lim

= 0.

x→0

xç x -

+ o(x )÷

ç1

+ o(x )÷

ЛЕКЦИЯ 12. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ØУсловия возрастания и убывания функции

ØЛокальный экстремум

üТеорема Ферма (необходимое условие локального экстремума)

üДостаточные условия экстремума

üПервое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции

üВторое достаточное условие локального экстремума дважды дифференци-

руемой функции

Ø Выпуклость и точки перегиба графика функции

ü Теорема о достаточном условии выпуклости вниз (вверх) графика функции

на данном интервале ü Точки перегиба графика функции

Ø Асимптоты графика функции

ü Схема исследования функций и построения кривых

12.1 Условия возрастания и убывания функции

Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b).

Определение.

Функция	f (x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на
(a, b), если для любых x1, x2 (a, b),		x1 < x2 , верно	неравенство f (x1 )< f (x2 )
(f (x1 )> f (x2 )).	Функция f (x) возрастает (убывает)		на	(a, b), если для любых
x1, x2 Î(a, b),	x1 < x2 верно неравенство	f (x1 )£ f (x2 )	(f	(x1 )³ f (x2 )).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.20162.41 Mб69Диссертация Акимжанов.pdf
#
23.02.20151.58 Mб12Диссертация защита.pdf
#
22.02.201541.76 Mб35Диссертация на соискание учёной степени.doc
#
23.02.20155.16 Mб34Диссертация на соискание учёной степени.pdf
#
22.02.20151.09 Mб18Дифуры. решение варианта. Грахов, Катальников.doc
#
13.03.2016576.21 Кб5Дифф_Исчисление_11.pdf
#
13.03.20162.11 Mб46Дифф_Исчисление_2015_проверенный.docx
#
22.02.2015179.2 Кб13ДКБ Ибрагимова.doc
#
23.02.201533.61 Кб6Для ОБРАЗЦА.docx
#
20.11.2018192.51 Кб19для 302.doc
#
22.02.201544.81 Кб29для диплома.docx