Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дифф_Исчисление_11

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
576.21 Кб
Скачать

ТЕОРЕМА о достаточных условиях возрастания (убывания) функции в точке

Пусть функция

f : [a, b]→ R, x0 (a, b). Пусть функция f

имеет в точке x 0

производную f (x0 ).

Тогда в точке x 0 функция f строго

возрастает, если

f (x0 )> 0, и строго убывает, если f (x0 )< 0 .

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть f (x0 )> 0.

Так как

f (x0 )= lim

f (x)f (x0 ),

то

существует

 

 

 

 

xx0

x x0

 

 

O (x ) (a, b ):

x O (x ) справедливо неравенство

f (x)f (x0 )> 0. Значит, ес-

ε

0

ε

0

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ли x - x0 > 0, то

f (x)- f (x0 )> 0, т. е.

f (x) > f (x0 ). Если x - x0 < 0, то

f (x) < f (x0 ).

Это и означает, что f строго возрастает в точке x 0 (рис. 10.1).

 

 

 

В случае

f (x0 )< 0аналогично доказывается,

что функция

f строго убывает

в точке x 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Точка x0 X называется

1)точкой локального максимума (локального минимума);

2)точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума),

если существует такая окрестность Oε (x0 )= (x0 − ε, x0 + ε ) этой точки, что, соот-

ветственно,

1) " x ÎOε (x0 ) f (x) £ f (x0 ) (f (x) ³ f (x0 ));

2) x Oε (x0 )\ {x0 } f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

31

Теорема Ферма о равенстве нулю производной

(Пьер Ферма (1601–1665 гг.) – выдающийся французский математик.)

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума)

Пусть f : X → R определена на множестве Х и x0 X – внутренняя точка множества Х. Если x0 точка локального экстремума и существует f ′(x0 ) , то f ′(x0 ) = 0 .

Доказательство.

Если f (x0 )> 0,

то

функция

f (x) строго возрастает

в точке

 

x0 , а если

f (x0 )< 0, то функция

f (x) строго убывает в точке x0 . Значит, локальный экстре-

мум возможен только при условии

f ′(x0 ) = 0 .

 

 

 

Замечание. Условие

f ′(x0 ) = 0 будучи необходимым для локального экс-

тремума, не является достаточным. Действительно, функция

f (x) = x3

 

строго воз-

растает на всей числовой оси. Вместе с тем, ее производная

2

обращает-

 

f (x) = 3x

 

ся в ноль при x = 0 .

у

x1 x2 х

Рис. 10.2

С другой стороны, локальный экстремум может достигаться в точках, где функция не дифференцируема или даже разрывна. На рисунке 10.2 x1, x2 точки локальных экстремумов.

32

10.2 Формулы конечных приращений, их приложения

Пусть функция f : X → R определена на множестве X и x0 X – предель-

ная точка X .

ТЕОРЕМА Ролля о среднем

(Мишель Ролль (1652 –1719 гг.) – французский математик).

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на

(a, b) (во всех внутренних точках). Если f (a) = f (b) , то существует такая точка

ξ (a, b), что

f (ξ) = 0 .

y

 

M

m

o

a

ξ1

ξ2

b

x

 

 

Рис. 10.3

Доказательство.

Так как функция f (x) непре-

рывна на отрезке [a, b], то, по второй теореме Вейерштрасса, в некоторых точках она достигает своих макси- мального M и минимального значений на этом отрезке. Если

M = m, то f (x) ≡ M = m x (a, b) и

 

 

 

f (x) = 0 x (a, b).

 

Пусть M ¹ m . Так как f (a) = f (b) , то, по крайней мере, одно из значений

( M или m ) достигается во внутренней точке отрезка [a, b]. Тогда по

теореме

Ферма в этой точке производная

f равна нулю. Теорема доказана.

 

Геометрически теорема Ролля показывает, что в некоторых точках интер-

вала (a, b) (на рис. 10.3 точки ξ1,

ξ2 ) касательная к графику функции параллельна

оси Ox .

 

 

Следствие. Если функция

f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и

f (a) = f (b) = 0 , то найдется хотя бы одна точка ξ (a, b), в которой

f (ξ) = 0 .

Иначе, между двумя нулями функции найдется хотя бы один нуль производной.

33

ТЕОРЕМА Лагранжа о среднем

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на

(a, b) (во всех внутренних точках). Тогда существует точка ξ (a, b)

такая, что

¢

f (b)f (a)

или

 

 

 

 

 

 

f (x) =

b - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (b)f (a) =

(10.2.1)

 

 

 

f (ξ)(b a).

Формулу (10.2.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

 

Доказательство. Сведем задачу к теореме Ролля. Выберем λ так, чтобы для

функции

ϕ(x):= f (x)− λ x

выполнялось

 

равенство

ϕ(a)= ϕ(b).

Имеем

ϕ(a):= f (a)− λ a, ϕ(b):= f (b)− λ b . Из уравнения

f (a)− λ a = f (b)− λ b

вытекает,

что

l =

f (b)f (a)

.

 

Таким

образом, j(x):= f (x)-

f (b)f (a)

× x ,

причем

 

 

 

 

b - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b - a

 

ϕ(a)= ϕ(b). Функция

ϕ(x) непрерывна на отрезке

[a, b]

и дифференцируема на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a, b). По теореме Ролля существует точка ξ (a, b) такая, что ϕ (ξ) = 0. Это озна-

чает, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

(x)=

f (b)f (a)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (ξ) = λ , т. е. f

 

 

b - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие о постоянстве функции, имеющей равную нулю производную.

Пусть функция f (x)

непрерывна на отрезке [a, b] и

 

 

 

f

(x) = 0 x (a, b). Тогда

f (x) ≡ C x [a, b].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (a, b). Рассмотрим две произвольные

 

Доказательство

. Пусть

 

f (x) = 0

точки

x0 , x (a, b) и пусть, например,

 

x > x0 .

Тогда

[x0 , x] (a, b). По теореме

Лагранжа

f (x)f (x0 )= f (ξ)(x x0 ), где

ξ некоторая точка из интервала (a, b).

34

Так

как

f

,

то

f (x)f (x0 )= 0 x < x0 .

Поэтому

(ξ) = 0

f (x) = f (x0 )= const,

x [a, b].

 

 

 

Геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 10.4)

у

В

 

М

А

α

а

ξ

b

х

Рис. 10.4

ТЕОРЕМА Коши о среднем

 

f (ξ) = tg α – есть тангенс угла на-

клона касательной

к графику функции

y = f (x) в точке

ξ (a, b), отношение

tg α = f (b)f (a) тангенс угла наклона b a

прямой, соединяющей точки A(a, f (a)) и

B(b, f (b)) графика функции. Таким обра-

зом, теорема утверждает, что на кривой y = f (x) существует точка M (x, f (x))

такая, что через эту точку можно провес- ти касательную параллельно хорде AB .

Пусть функции f (x) и g(x)непрерывны на отрезке [a, b] и дифференци-

 

 

 

 

" x Î(a, b). Тогда найдется

руемы в интервале (a, b) и пусть производная g (x) ¹ 0

точка x Î(a, b) такая, что

 

 

 

 

 

f (b)f (a)

 

 

 

=

f (ξ)

.

(10.2.2)

 

g(b)g(a)

 

 

 

g (ξ)

 

Доказательство.

Сведем задачу к теореме Ролля. Введем функцию j(x):= f (x)- l g(x) и под-

берем λ так, чтобы выполнялось равенство ϕ(a)= ϕ(b). Имеем j(a):= f (a)- l g(a), j(b):= f (b)- lg(b). Из уравнения f (a)- l g(a) = f (b)- l g(b)

находим

35

 

λ =

f (b)f (a)

 

 

 

 

.

 

(10.2.3)

 

g(b)g(a)

 

Заметим, что g(b) ¹ g(a), так как в противном случае

$hÎ(a, b): g (h) = 0 , что

противоречит условию

ϕ(x) непрерывна на отрезке

g (x) ¹ 0 " x Î(a, b). Функция

[a, b] и дифференцируема на (a, b), причем ϕ(a)= ϕ(b). По теореме Ролля сущест-

 

 

 

 

 

 

вует точка x Î(a, b) такая, что ϕ (ξ) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.2.4)

j (x) º f

(x)- l g (x) = 0 .

 

 

 

 

 

f

 

, находим λ =

(ξ)

. С учетом (10.2.3), полу-

 

 

Из (10.2.4) в силу того, что g (x) ¹ 0

 

 

 

 

g (ξ)

 

чим (10.2.2). Теорема доказана.

Замечание. Теорема Лагранжа частный случай теоремы Коши при g(x) = x , а теорема Ролля частный случай теоремы Лагранжа. Во всех этих тео-

ремах речь идет о существовании некоторого числа x Î(a, b), точное значение ко-

торого остается неизвестным. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши обычно называют

теоремами о среднем значении.

Сформулированные и доказанные теоремы легли в основу доказательства мощного метода раскрытия неопределенностей, который нашел швейцарский ма- тематик Иоганн Бернулли, но опубликовал французский математик Гийом Лопи-

таль (16611704).

(Лопиталь Гийом Франсуа Антуан (16611704), французский математик, автор первого учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу которого легли лекции швейцар- ского математика Иоганна Бернулли (16671748)).

10.3 Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)

ТЕОРЕМА о нахождении предела отношения функций через предел отношения производных

Пусть функции f (x) и g(x):

1)дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки x0 ;

2)g(x) ¹ 0 и g(x) ¹ 0 в этой окрестности;

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) существует lim

f (x)

= A

(конечный или бесконечный);

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim

f (x)= lim

g(x)= ∞ .

 

 

 

 

xx0

xx0

 

 

 

 

 

xx0

xx0

 

 

 

 

 

Тогда существует lim

f (x)

, причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

lim

f (x)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

g(x)

xx0

 

 

 

 

 

 

Замечание.

Правило

Лопиталя

можно рассматривать и

в

случае

x = ∞, x

 

= +∞, x = −∞.

В этом случае достаточно сделать замену

x =

1

 

и вос-

 

t

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пользоваться результатом теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай

lim

f (x)= lim

g(x) = 0 . Доопределим функцию

f (x):

 

 

 

 

 

xx0

 

 

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 )= 0 и g(x0 )= 0 . Так как теперь lim

f (x) = f (x0 ),

lim g(x) = g(x0 ), то функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

xx0

 

 

 

 

ции f (x) и g(x) будут непрерывны в точке x0 . Поэтому на [x0 , x], где x любая

точка окрестности точки x0 , функции

f (x) и g(x) непрерывны, дифференцируе-

мы и

 

 

 

 

Î(x0 , x). Т. е. применима теорема Коши:

 

 

g (x) ¹ 0 " x

 

 

ξ (x , x):

 

f (x)

=

f (x)f (x0 )=

f (ξ)

. Если x x , то ξ → x

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

g (ξ)

 

 

 

 

 

 

g(x)g(x0 )

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

lim

= lim

(ξ)

=

lim

f (x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

g(x)

ξ→x0

g(ξ)

xx0

g(x)

 

 

 

 

 

 

Случай lim

f (x)= lim g(x)= ∞ оставляем без доказательства.

 

 

 

 

xx0

xx0

 

 

 

 

 

Замечания.

1. При применении правила Лопиталя дифференцируется числитель и зна- менатель дроби отдельно.

37

2. Правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей вида (¥ - ¥),

(0 × ¥), (1¥ ), (00 ) и т. д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

Рассмотрим примеры раскрытия некоторых неопределенностей.

Неопределенность (0 × ¥):

 

 

f (x)× g(x) = (0 × ¥) = lim

f (x)×

1

 

 

f (x)

æ

0 ö

lim

 

= lim

 

 

= ç

 

÷.

g(x)

g(x)

 

x®x

0

x®x

0

 

x

0

è

0 ø

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

Неопределенность (∞ − ∞):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)ö

 

 

é(¥ × 0), lim

 

g(x)

 

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

x®x

 

 

 

 

 

 

lim ( f (x)- g(x)) = (¥ - ¥) = lim

 

f (x)ç1 -

 

 

 

 

 

 

÷ =

 

ê

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

x®x0

 

 

 

 

x®x0

è

 

 

 

f

(x)ø

 

 

ê

¥,

lim

 

¹ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

x®x

0

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределенности (1¥ ), (00 ), (¥0 ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ( f (x))g(x) = lim (eln f (x))g(x) = lim eg(x)×ln f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®x0

x®x0

 

 

 

 

x®x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ lncos5x

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10.1. Вычислить предел lim ç

 

 

 

 

 

 

÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

è sin2 4x

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

æ ln cos5x ö

æ

0 ö

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

× (- sin 5x)×5 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç cos5x

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

=

 

 

 

 

 

Решение. lim ç

 

 

÷ =

ç

÷ = lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

è

sin2 4x ø

è

0 ø

x®0

ç

 

 

2sin 4xcos4x × 4

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

= cos5x ®1, x ® 0; cos4x ®1, x ® 0

= lim

æ (- sin 5x)× 5 ö

 

æ

0

ö

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷ = ç

 

 

÷ =

 

 

 

 

 

æ (- cos5x)× 25

 

 

 

 

 

 

x®0

è 8sin 4x

ø

 

è

0 ø

 

 

 

 

 

= lim

ö

= -

25

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

è 8cos 4x × 4

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10.2. Вычислить предел

lim

(x × ln x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. lim (x × ln x) = (0 × ¥) =

 

 

 

 

ln x

 

æ ¥

ö

 

 

 

 

 

 

 

1/ x

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

=

ç

÷ =

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

(-1/ x2 )

 

x®0

+

 

 

 

 

x®0

+ 1/ x

 

è ¥

ø

x®0

+

 

 

lim x = 0 .

x®0+

38

Пример 10.3. Вычислить предел lim xx .

x®0+

Решение. lim xx = (00 )= lim (eln x )x

= lim ex×ln x

x®0+

x®0+

 

x®0+

 

 

 

 

æ 1

ö

Пример 10.4. Вычислить предел lim xçex

-1÷.

 

x®¥

ç

÷

 

 

 

è

ø

lim

(x×ln x)

= e0 =1.

= ex→0+

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

æ -1

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 1

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x × ç

 

 

÷

 

 

1

 

 

 

 

 

e x -1

æ

0 ö

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x

ø

 

 

 

 

 

lim xçe x

-1÷

= (¥ × 0) =

 

 

 

 

 

 

® 0, e x ®1

= 1.

lim

 

 

 

 

= ç

 

÷

= lim

 

 

 

 

=

 

1/ x

 

æ

-1ö

 

x

x®¥

ç

 

÷

 

x®¥

è

0 ø

x®¥

 

 

 

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x2

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10.5. Вычислить предел lim(2x - 9)x2 −25 .

x®5

2 x

lim(2x - 9)x2 −25

x®5

10× lim ln(2x-9)

= e x→5 x2 -25

 

 

 

 

ln(2x-9)

 

 

2x

 

lim 2xln(2x-9)

æ 0

ö

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→5

x2 -25

 

 

 

 

 

)

2

 

 

= e

= 2x ®10, x ® 5

=

= (1 )= lim(e

 

 

-25

 

 

= ç

÷

 

x®5

 

 

x

 

 

 

 

è 0

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

×2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10×lim

2x-9

= e2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e x→5

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз, если от неопреде- ленности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы должны оставаться справедливыми.

Пример 10.6. Вычислить

lim

xn

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®+¥ ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Значение предела lim

 

xn

æ ¥

ö

 

 

n × xn-1

æ

¥ ö

 

 

 

= ç

¥

÷

=

lim

ex

= ç

¥

÷

=

 

 

 

x®+¥ ex

è

ø

 

x®+¥

è

ø

 

=

lim

n(n -1)xn-1

 

= K =

lim

n!

= 0 позволяет сравнить бесконечно большие при

 

ex

 

 

x®+¥

 

 

x®+¥ ex

 

x → +∞

функции:

показательная функция ex бесконечно большая функция

большего порядка по сравнению со степенной функцией xn бесконечно боль-

39

шой при x → +∞ .

4. Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь то-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гда, когда существует предел отношения производных

lim

f (x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0

ϕ′(x)

 

 

 

Пример 10.7. Значение предела lim

x - cos x

=

æ ¥

ö

получить по правилу

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x + cos x

 

è ¥

ø

 

 

 

 

 

Лопиталя нельзя, поскольку

lim

(x − cos x)

 

= lim

1+ sin x

не существует (пове-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ (x + cos x)

x→∞ 1− sin x

 

 

 

 

 

 

дение sin x

при x → ∞ неопределенное). Однако исходный предел существует,

его

 

легко

можно вычислить

другим

способом,

например,

так:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − cos x

 

 

1−

 

cos x

=

1

= 1,

 

 

lim

= lim

x

применяя теорему о пределе произведения

 

 

 

 

1

 

 

x→∞ x + cos x

x→∞

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бесконечно малой функции на ограниченную, в нашем случае,

1

→ 0 при

x → ∞ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

cos x

 

≤ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40