Дифф_Исчисление_11
.pdfТЕОРЕМА о достаточных условиях возрастания (убывания) функции в точке
Пусть функция |
f : [a, b]→ R, x0 (a, b). Пусть функция f |
имеет в точке x 0 |
производную f ′(x0 ). |
Тогда в точке x 0 функция f строго |
возрастает, если |
f ′(x0 )> 0, и строго убывает, если f ′(x0 )< 0 .
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f ′(x0 )> 0. |
Так как |
f ′(x0 )= lim |
f (x)− f (x0 ), |
то |
существует |
||
|
|
|
|
x→x0 |
x − x0 |
|
|
|
O (x ) (a, b ): |
x O (x ) справедливо неравенство |
f (x)− f (x0 )> 0. Значит, ес- |
||||||
ε |
0 |
ε |
0 |
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ли x - x0 > 0, то |
f (x)- f (x0 )> 0, т. е. |
f (x) > f (x0 ). Если x - x0 < 0, то |
f (x) < f (x0 ). |
|||||
Это и означает, что f строго возрастает в точке x 0 (рис. 10.1). |
|
|
||||||
|
В случае |
f ′(x0 )< 0аналогично доказывается, |
что функция |
f строго убывает |
||||
в точке x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Определение.
Точка x0 X называется
1)точкой локального максимума (локального минимума);
2)точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума),
если существует такая окрестность Oε (x0 )= (x0 − ε, x0 + ε ) этой точки, что, соот-
ветственно,
1) " x ÎOε (x0 ) f (x) £ f (x0 ) (f (x) ³ f (x0 ));
2) x Oε (x0 )\ {x0 } f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).
Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.
31
Теорема Ферма о равенстве нулю производной
(Пьер Ферма (1601–1665 гг.) – выдающийся французский математик.)
ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума)
Пусть f : X → R определена на множестве Х и x0 X – внутренняя точка множества Х. Если x0 точка локального экстремума и существует f ′(x0 ) , то f ′(x0 ) = 0 .
Доказательство.
Если f ′(x0 )> 0, |
то |
функция |
f (x) строго возрастает |
в точке |
|
x0 , а если |
f ′(x0 )< 0, то функция |
f (x) строго убывает в точке x0 . Значит, локальный экстре- |
|||||
мум возможен только при условии |
f ′(x0 ) = 0 . |
|
|
|
||
Замечание. Условие |
f ′(x0 ) = 0 будучи необходимым для локального экс- |
|||||
тремума, не является достаточным. Действительно, функция |
f (x) = x3 |
|
строго воз- |
|||
растает на всей числовой оси. Вместе с тем, ее производная |
′ |
2 |
обращает- |
|||
|
||||||
f (x) = 3x |
|
ся в ноль при x = 0 .
у
x1 x2 х
Рис. 10.2
С другой стороны, локальный экстремум может достигаться в точках, где функция не дифференцируема или даже разрывна. На рисунке 10.2 x1, x2 – точки локальных экстремумов.
32
10.2 Формулы конечных приращений, их приложения
Пусть функция f : X → R определена на множестве X и x0 X – предель-
ная точка X .
ТЕОРЕМА Ролля о среднем
(Мишель Ролль (1652 –1719 гг.) – французский математик).
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
(a, b) (во всех внутренних точках). Если f (a) = f (b) , то существует такая точка
ξ (a, b), что |
′ |
f (ξ) = 0 . |
|
y |
|
M
m
o |
a |
ξ1 |
ξ2 |
b |
x |
|
|
Рис. 10.3
Доказательство.
Так как функция f (x) непре-
рывна на отрезке [a, b], то, по второй теореме Вейерштрасса, в некоторых точках она достигает своих макси- мального M и минимального значений на этом отрезке. Если
M = m, то f (x) ≡ M = m x (a, b) и
|
′ |
|
|
f (x) = 0 x (a, b). |
|
Пусть M ¹ m . Так как f (a) = f (b) , то, по крайней мере, одно из значений |
||
( M или m ) достигается во внутренней точке отрезка [a, b]. Тогда по |
теореме |
|
Ферма в этой точке производная |
f ′ равна нулю. Теорема доказана. |
|
Геометрически теорема Ролля показывает, что в некоторых точках интер- |
||
вала (a, b) (на рис. 10.3 точки ξ1, |
ξ2 ) касательная к графику функции параллельна |
|
оси Ox . |
|
|
Следствие. Если функция |
f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и |
|
f (a) = f (b) = 0 , то найдется хотя бы одна точка ξ (a, b), в которой |
′ |
|
f (ξ) = 0 . |
Иначе, между двумя нулями функции найдется хотя бы один нуль производной.
33
ТЕОРЕМА Лагранжа о среднем
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
(a, b) (во всех внутренних точках). Тогда существует точка ξ (a, b) |
такая, что |
||||
¢ |
f (b)− f (a) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
b - a |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
f (b)− f (a) = |
′ |
(10.2.1) |
|
|
|
f (ξ)(b − a). |
Формулу (10.2.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
|
Доказательство. Сведем задачу к теореме Ролля. Выберем λ так, чтобы для |
||||||||||||||||
функции |
ϕ(x):= f (x)− λ x |
выполнялось |
|
равенство |
ϕ(a)= ϕ(b). |
Имеем |
|||||||||||
ϕ(a):= f (a)− λ a, ϕ(b):= f (b)− λ b . Из уравнения |
f (a)− λ a = f (b)− λ b |
вытекает, |
|||||||||||||||
что |
l = |
f (b)− f (a) |
. |
|
Таким |
образом, j(x):= f (x)- |
f (b)− f (a) |
× x , |
причем |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
b - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b - a |
|
||
ϕ(a)= ϕ(b). Функция |
ϕ(x) непрерывна на отрезке |
[a, b] |
и дифференцируема на |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
(a, b). По теореме Ролля существует точка ξ (a, b) такая, что ϕ (ξ) = 0. Это озна- |
|||||||||||||||||
чает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
¢ |
(x)= |
f (b)− f (a) |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f (ξ) = λ , т. е. f |
|
|
b - a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Следствие о постоянстве функции, имеющей равную нулю производную. |
||||||||||||||||
Пусть функция f (x) |
непрерывна на отрезке [a, b] и |
′ |
|
|
|
||||||||||||
f |
(x) = 0 x (a, b). Тогда |
||||||||||||||||
f (x) ≡ C x [a, b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
′ |
x (a, b). Рассмотрим две произвольные |
||||||||||
|
Доказательство |
. Пусть |
|||||||||||||||
|
f (x) = 0 |
||||||||||||||||
точки |
x0 , x (a, b) и пусть, например, |
|
x > x0 . |
Тогда |
[x0 , x] (a, b). По теореме |
||||||||||||
Лагранжа |
f (x)− f (x0 )= f ′(ξ)(x − x0 ), где |
ξ некоторая точка из интервала (a, b). |
34
Так |
как |
f |
′ |
, |
то |
f (x)− f (x0 )= 0 x < x0 . |
Поэтому |
(ξ) = 0 |
|||||||
f (x) = f (x0 )= const, |
x [a, b]. |
|
|
|
Геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 10.4)
у |
В |
|
М
А
α
а |
ξ |
b |
х |
Рис. 10.4
ТЕОРЕМА Коши о среднем
′ |
|
f (ξ) = tg α – есть тангенс угла на- |
|
клона касательной |
к графику функции |
y = f (x) в точке |
ξ (a, b), отношение |
tg α = f (b)− f (a) – тангенс угла наклона b − a
прямой, соединяющей точки A(a, f (a)) и
B(b, f (b)) графика функции. Таким обра-
зом, теорема утверждает, что на кривой y = f (x) существует точка M (x, f (x))
такая, что через эту точку можно провес- ти касательную параллельно хорде AB .
Пусть функции f (x) и g(x)непрерывны на отрезке [a, b] и дифференци-
|
|
|
|
′ |
" x Î(a, b). Тогда найдется |
|
руемы в интервале (a, b) и пусть производная g (x) ¹ 0 |
||||||
точка x Î(a, b) такая, что |
|
|
|
|
||
|
f (b)− f (a) |
|
′ |
|
||
|
= |
f (ξ) |
. |
(10.2.2) |
||
|
g(b)− g(a) |
|
′ |
|||
|
|
g (ξ) |
|
Доказательство.
Сведем задачу к теореме Ролля. Введем функцию j(x):= f (x)- l g(x) и под-
берем λ так, чтобы выполнялось равенство ϕ(a)= ϕ(b). Имеем j(a):= f (a)- l g(a), j(b):= f (b)- lg(b). Из уравнения f (a)- l g(a) = f (b)- l g(b)
находим
35
|
λ = |
f (b)− f (a) |
|
|
|
|
|
. |
|
(10.2.3) |
|
|
g(b)− g(a) |
|
|||
Заметим, что g(b) ¹ g(a), так как в противном случае |
′ |
||||
$hÎ(a, b): g (h) = 0 , что |
|||||
противоречит условию |
′ |
ϕ(x) непрерывна на отрезке |
|||
g (x) ¹ 0 " x Î(a, b). Функция |
[a, b] и дифференцируема на (a, b), причем ϕ(a)= ϕ(b). По теореме Ролля сущест-
′ |
|
|
|
|
|
|
вует точка x Î(a, b) такая, что ϕ (ξ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
|
|
(10.2.4) |
j (x) º f |
(x)- l g (x) = 0 . |
|
|
|||
|
|
|
f |
′ |
|
|
′ |
, находим λ = |
(ξ) |
. С учетом (10.2.3), полу- |
|||
|
′ |
|
||||
Из (10.2.4) в силу того, что g (x) ¹ 0 |
|
|||||
|
|
|
g (ξ) |
|
чим (10.2.2). Теорема доказана.
Замечание. Теорема Лагранжа – частный случай теоремы Коши при g(x) = x , а теорема Ролля – частный случай теоремы Лагранжа. Во всех этих тео-
ремах речь идет о существовании некоторого числа x Î(a, b), точное значение ко-
торого остается неизвестным. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши обычно называют
теоремами о среднем значении.
Сформулированные и доказанные теоремы легли в основу доказательства мощного метода раскрытия неопределенностей, который нашел швейцарский ма- тематик Иоганн Бернулли, но опубликовал французский математик Гийом Лопи-
таль (1661–1704).
(Лопиталь Гийом Франсуа Антуан (1661–1704), французский математик, автор первого учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу которого легли лекции швейцар- ского математика Иоганна Бернулли (1667–1748)).
10.3 Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
ТЕОРЕМА о нахождении предела отношения функций через предел отношения производных
Пусть функции f (x) и g(x):
1)дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки x0 ;
2)g(x) ¹ 0 и g′(x) ¹ 0 в этой окрестности;
36
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) существует lim |
f (x) |
= A |
(конечный или бесконечный); |
|
|
|
|
|||||||||||||
g′(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim |
f (x)= lim |
g(x)= ∞ . |
|
|
|
|
|||||||||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда существует lim |
f (x) |
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= |
lim |
f (x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g′(x) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
g(x) |
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Замечание. |
Правило |
Лопиталя |
можно рассматривать и |
в |
случае |
|||||||||||||||
x = ∞, x |
|
= +∞, x = −∞. |
В этом случае достаточно сделать замену |
x = |
1 |
|
и вос- |
|||||||||||||
|
t |
|||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пользоваться результатом теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим случай |
lim |
f (x)= lim |
g(x) = 0 . Доопределим функцию |
f (x): |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x0 )= 0 и g(x0 )= 0 . Так как теперь lim |
f (x) = f (x0 ), |
lim g(x) = g(x0 ), то функ- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
ции f (x) и g(x) будут непрерывны в точке x0 . Поэтому на [x0 , x], где x – любая |
точка окрестности точки x0 , функции |
f (x) и g(x) непрерывны, дифференцируе- |
||||||||||||||||
мы и |
′ |
|
|
|
|
Î(x0 , x). Т. е. применима теорема Коши: |
|
|
|||||||||
g (x) ¹ 0 " x |
|
|
|||||||||||||||
ξ (x , x): |
|
f (x) |
= |
f (x)− f (x0 )= |
f ′(ξ) |
. Если x → x , то ξ → x |
|
и поэтому |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
g(x) |
|
g (ξ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
g(x)− g(x0 ) |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) |
|
|
|
f |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
||||
lim |
= lim |
(ξ) |
= |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→x0 |
g(x) |
ξ→x0 |
g′(ξ) |
x→x0 |
g′(x) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Случай lim |
f (x)= lim g(x)= ∞ оставляем без доказательства. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
Замечания.
1. При применении правила Лопиталя дифференцируется числитель и зна- менатель дроби отдельно.
37
2. Правило Лопиталя применяется только к дробям.
Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей вида (¥ - ¥),
(0 × ¥), (1¥ ), (00 ) и т. д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.
Рассмотрим примеры раскрытия некоторых неопределенностей.
Неопределенность (0 × ¥):
|
|
f (x)× g(x) = (0 × ¥) = lim |
f (x)× |
1 |
|
|
f (x) |
æ |
0 ö |
|||
lim |
|
= lim |
|
|
= ç |
|
÷. |
|||||
g(x) |
g(x) |
|
||||||||||
x®x |
0 |
x®x |
0 |
|
x®x |
0 |
è |
0 ø |
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
Неопределенность (∞ − ∞):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x)ö |
|
|
é(¥ × 0), lim |
|
g(x) |
|
= 1, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
f (x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
x®x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim ( f (x)- g(x)) = (¥ - ¥) = lim |
|
f (x)ç1 - |
|
|
|
|
|
|
÷ = |
|
ê |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|||||||
x®x0 |
|
|
|
|
x®x0 |
è |
|
|
|
f |
(x)ø |
|
|
ê |
¥, |
lim |
|
¹ 1. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
x®x |
0 |
|
|
f (x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенности (1¥ ), (00 ), (¥0 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim ( f (x))g(x) = lim (eln f (x))g(x) = lim eg(x)×ln f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x®x0 |
x®x0 |
|
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ lncos5x |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 10.1. Вычислить предел lim ç |
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
è sin2 4x |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ ln cos5x ö |
æ |
0 ö |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
× (- sin 5x)×5 ÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. lim ç |
|
|
÷ = |
ç |
÷ = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x®0 |
è |
sin2 4x ø |
è |
0 ø |
x®0 |
ç |
|
|
2sin 4xcos4x × 4 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
= cos5x ®1, x ® 0; cos4x ®1, x ® 0 |
= lim |
æ (- sin 5x)× 5 ö |
|
æ |
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ = ç |
|
|
÷ = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
æ (- cos5x)× 25 |
|
|
|
|
|
|
x®0 |
è 8sin 4x |
ø |
|
è |
0 ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= lim |
ö |
= - |
25 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x®0 |
è 8cos 4x × 4 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10.2. Вычислить предел |
lim |
(x × ln x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. lim (x × ln x) = (0 × ¥) = |
|
|
|
|
ln x |
|
æ ¥ |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
|
|
|
||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
ç |
÷ = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1/ x2 ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
x®0 |
+ |
|
|
|
|
x®0 |
+ 1/ x |
|
è ¥ |
ø |
x®0 |
+ |
|
|
lim x = 0 .
x®0+
38
Пример 10.3. Вычислить предел lim xx .
x®0+
Решение. lim xx = (00 )= lim (eln x )x |
= lim ex×ln x |
|||
x®0+ |
x®0+ |
|
x®0+ |
|
|
|
|
æ 1 |
ö |
Пример 10.4. Вычислить предел lim xçex |
-1÷. |
|||
|
x®¥ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
è |
ø |
lim |
(x×ln x) |
= e0 =1. |
= ex→0+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ -1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
æ 1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x × ç |
|
|
÷ |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
e x -1 |
æ |
0 ö |
|
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
lim xçe x |
-1÷ |
= (¥ × 0) = |
|
|
|
|
|
|
® 0, e x ®1 |
= 1. |
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= ç |
|
÷ |
= lim |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||
1/ x |
|
æ |
-1ö |
|
x |
|||||||||||||||||||||
x®¥ |
ç |
|
÷ |
|
x®¥ |
è |
0 ø |
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10.5. Вычислить предел lim(2x - 9)x2 −25 .
x®5
2 x
lim(2x - 9)x2 −25
x®5
10× lim ln(2x-9)
= e x→5 x2 -25
|
|
|
|
ln(2x-9) |
|
|
2x |
|
lim 2xln(2x-9) |
æ 0 |
ö |
|
|
|||
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
x2 -25 |
|
|
|||
|
|
|
) |
2 |
|
|
= e |
= 2x ®10, x ® 5 |
= |
|||||||
= (1 )= lim(e |
|
|
-25 |
|
|
= ç |
÷ |
|||||||||
|
x®5 |
|
|
x |
|
|
|
|
è 0 |
ø |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
×2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10×lim |
2x-9 |
= e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= e x→5 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз, если от неопреде- ленности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы должны оставаться справедливыми.
Пример 10.6. Вычислить |
lim |
xn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x®+¥ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Значение предела lim |
|
xn |
æ ¥ |
ö |
|
|
n × xn-1 |
æ |
¥ ö |
|
||||
|
|
= ç |
¥ |
÷ |
= |
lim |
ex |
= ç |
¥ |
÷ |
= |
|||
|
|
|||||||||||||
|
x®+¥ ex |
è |
ø |
|
x®+¥ |
è |
ø |
|
= |
lim |
n(n -1)xn-1 |
|
= K = |
lim |
n! |
= 0 позволяет сравнить бесконечно большие при |
|
|
ex |
|
||||||
|
x®+¥ |
|
|
x®+¥ ex |
|
|||
x → +∞ |
функции: |
показательная функция ex – бесконечно большая функция |
большего порядка по сравнению со степенной функцией xn – бесконечно боль-
39
шой при x → +∞ .
4. Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь то-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
гда, когда существует предел отношения производных |
lim |
f (x) |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
ϕ′(x) |
|
||||
|
|
Пример 10.7. Значение предела lim |
x - cos x |
= |
æ ¥ |
ö |
получить по правилу |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
÷ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x + cos x |
|
è ¥ |
ø |
|
|
|
|
|
|||
Лопиталя нельзя, поскольку |
lim |
(x − cos x)′ |
|
= lim |
1+ sin x |
– не существует (пове- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ (x + cos x)′ |
x→∞ 1− sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
дение sin x |
при x → ∞ неопределенное). Однако исходный предел существует, |
||||||||||||||||||||||||
его |
|
легко |
можно вычислить |
другим |
способом, |
например, |
так: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − cos x |
|
|
1− |
|
cos x |
= |
1 |
= 1, |
|
|
|||||||||||||
lim |
= lim |
x |
применяя теорему о пределе произведения |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
x→∞ x + cos x |
x→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
бесконечно малой функции на ограниченную, в нашем случае, |
1 |
→ 0 при |
x → ∞ , |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
x |
|
cos x |
|
≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40