Дифф_Исчисление_11

y′′

-

+

-

у

Ç

0

È

2

Ç

х

Рис. 12.8

у

График данной функции представлен

на рис. 12.9

0

1

2

х

y

В случае вертикальной асимптоты неогра-

ниченное удаление точки графика от начала ко-

y = f (x)

x = x0

ординат равносильно тому, что

f (x)

→ ∞ при

x → x0 , а стремление к нулю расстояния между

x

графиком и асимптотой равносильно тому, что

x → x0 . Отсюда следует

61

ний lim f (x) или

lim f (x) равно + ∞ или –∞.

x→x0 −0

x→x0 +0

1

1

→ −∞ = 3−∞

Находим lim

3

x−2

=

x − 2 → −0,

= 0 ,

x − 2

x→2−0

1

1

→ +∞ = 3+∞ = +∞ . Здесь прямая x = 2 (y ³ 0) –

lim 3

x−2

=

x − 2 → +0,

x − 2

x→2+0

Замечание. Если

lim f (x) ¹ ¥ и f (x0 ) не существует, то x0 – точка разры-

x→x0

ва функции.

Пример 12.9. f (x) =

sin x

,

f (0) не существует. Имеем

lim

sin x

=1. Верти-

x

x→0

x

кальных асимптот график функции не имеет.

Пример 12.10.

Функция

f (x) = ln x не имеет

разрывов, однако

lim ln x = -¥. Поэтому x = 0 – вертикальная асимптота.

x→+0

ТЕОРЕМА.

Для

существования наклонной асимптоты

y = kx + b

графика

функции y = f (x) при

x → +∞ ( x → −∞) необходимо и достаточно, чтобы суще-

lim

f (x)

= k Ù lim ( f (x) - kx) = b

(12.4.1)

x

x→+∞

x→+∞

æ

f (x)

ö

ç lim

= k Ù lim ( f (x) - kx) = b÷ .

(12.4.2)

è x→−∞ x

x→−∞

ø

При этом при

x → +∞

и при

у

x → −∞

указанные

пределы

могут

быть различными (правая наклонная

L

асимптота

и,

соответственно,

левая

К

наклонная асимптота).

M (x, f (x))

Доказательство.

α

х

Пусть

y = kx + b –

наклонная

асимптота графика функции. Расстоя-

Рис. 12.10

ние от точки графика функции до

асимптоты изображается

на

рисунке

(Рис. 12.10) отрезком КМ. Заметим, что ÐKML = a,

LM =

KM

. Так как коорди-

cosa

наты точки

M есть (x,

f (x)), то координаты точки L есть (x, kx + b). Поэтому

LM = kx + b − f (x). По

определению

y = kx + b

–

наклонная

асимптота

KM → 0 LM → 0 lim ( f (x)− (kx + b)) = 0 b = lim ( f (x)− kx).

Тогда

x→+∞

x→+∞

существует

бесконечно

малая функция β(x)

при

x → +∞

такая,

что

равенстве

перейдем

к

пределу

при

x → +∞ :

f (x)

- k =

b

β(x)

æ f (x)

ö

æ b

b(x)ö

k = lim

f (x)

+

,

lim ç

- k ÷

=

lim ç

+

÷

= 0.

Отсюда

.

x

x

x

x→+∞è

x

ø

x→+∞è x

x

ø

x→+∞

x

Пример 12.11.Найти асимптоты графика функции y = 3

−

2x

x2 e

3 .

Область определения функции D(y) = R ;

y(x)³ 0 при x R ,

y(0)= 0.

Вертикальных асимптот нет, т.

к. функция непрерывна при всех

x R . Найдем

наклонные асимптоты y = kx + b :

k

=

lim

y(x)

= lim

1

= 0;

+

x

× e2x 3

x →+∞

x→+∞ 3

x

æ

3

ö′

3

x

2

2

x

æ

¥ ö

ç

÷

1

b

lim

y(x) =

lim

lim

è

ø

lim

= 0

=

=

ç

÷ =

(e2x 3 )¢

=

;

+

x→+∞

x→+∞ e2x 3

è

¥ ø

x→+∞

x→+∞ 3

x

×e2x 3

y(x)

e− 2x 3

3

e−2x 3

k−

æ ¥

ö

x2

=

lim

=

lim

= ç

÷

= -2

lim

= -¥ .

x

3 x

1

x→−∞

x→+∞

è ¥

ø

x→+∞

Следовательно, при

x → +∞

имеем

правую

горизонтальную

асимптоту

1.

y =

(x −1)3

;

2. y = 3

e−

2x

x2

3

;

3(x + 1)2

f (x) = 2x - 33

;

3.

(x -1)2

1.

y =

(x −1)3

.

3(x + 1)2

А)

Область определения

функции

D(y)= (− ∞;−1)U (−1;+∞). Функция

обращается в ноль при

x =1, при

x = 0

y = −

1

, т. е. график функции пересекает

3

æ

1

ö

ось Ox в точке (1; 0), ось Oy в точке ç

0;-

÷. При

x (− ∞; − 1)U (− 1;1)

y < 0 , а

3

è

ø

при x (1;+ ∞) y > 0 (рис. 12.11).

sgn y

-

-

+

x

-1

1

Рис. 12.11

Б)

Исследуем

точку разрыва

x = −1.

Так

как

пределы функции

при

x → −1− 0

(слева)

и при

x → −1+ 0

(справа)

бесконечны,

т.

е.

у

(1; 0)

− 1

5

х

− 2

−

2x

y = 3 x2

2.

3 .

e

А)

Область определения функции D(y) = R ;

y(x)³ 0 при x R , y(0)= 0.

Б)

Вертикальных асимптот нет, т.

к.

функция непрерывна

при всех

x R . Найдем наклонные асимптоты y = kx + b :

k

=

lim

y(x)

= lim

1

= 0;

× e2x 3

+

x →+∞

x

x→+∞ 3

x

æ3

ö′

3

x

2

2

x

æ ¥

ö

ç

÷

1

b+

y(x)=

è

ø

=

lim

lim

=

ç

¥

÷ =

lim

=

lim

= 0 ;

x→+∞

x→+∞ e2x 3

è

ø

x→+∞ (e2x 3 )¢

x→+∞ 3 x × e2x 3

y(x)

e− 2x 3

3

e−2x 3

k−

æ

¥ ö

x2

=

lim

=

lim

= ç

÷

= -2

lim

= -¥.

x

3 x

1

x→−∞

x→+∞

è

¥ ø

x→+∞

y′ < 0 , при x Î(0;1) y′ > 0 . На каждом из промежутков (- ¥; 0],

[1; + ¥) функция

убывает, на промежутке x Î[0;1] функция возрастает (рис. 12.14);

y′

-

+

-

y

0

1

х

Рис. 12.14

æ

3

ö

0,51); в точке

e

−2

локальный минимум (0; 0); локальный максимум ç1;

÷ » (1;

è

ø

(0; 0) – вертикальная полукасательная x = 0, y(x)³ 0 .

Г)

Определим

промежутки

выпуклости

и

точки

перегиба графика

ния 2x 2 - 4x - 1 = 0

: x

=1 -

6

,

x

2

=1+

6

(x » -0,22; x

2

» 2,22). Так как

1

2

2

1

y′′ > 0 при x Î (- ¥; x )

и при x Î(x

; + ¥), то на этих интервалах график функции

1

2

является выпуклым вниз. Аналогично при x (x ; 0)U (0; x

2

)

y′′ < 0, т. е. на соот-

1

ветствующих интервалах график функции выпуклый вверх, рис. 12.15.

y′′

+

–

–

+

у

È х1

Ç 0

Ç х2

È х

Рис. 12.15

Точки перегиба графика

функции

(x1; y1 ),

(x2 ; y2 ).

Здесь

y1 = y(x1 )» 0,43,

68

y2 = y(x2 )≈ 0,39. График функции представлен на рис. 12.16.

у

3

2

3 e-2 3

−1

x1

1

2 х2

3

х

Рис. 12.16

3. y = 3 (x + 3) x2 .

А)

Область

определения

x R ;

y = 0 при

x = 0

и при

x = −3. При

x (− ∞; − 3) y < 0 , а при x (− 3; 0)U (0;+∞) y > 0 . Точки (− 3; 0) и (0; 0) являют-

ся точками пересечения графика функции с осями координат.

Б)

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена и непрерыв-

на на множестве действительных чисел.

Для наклонной асимптоты y = k x + b

найдем коэффициенты:

3

y

(x + 3)x2

b = lim (y − k x)= lim (3

k = lim

=

lim

=1;

(x + 3)x2

− x) =1,

x→±∞ x

x→±∞

x

x→±∞

x→±∞

т. е. y = x +1 – наклонная асимптота.

В)

Найдем производную y′(x)=

x + 2

; y′(x)= 0 при x = −2 и y′(x)

3

(x + 3)2 x

y′

+

+

-

+

у

− 3

− 2

0

х

Рис. 12.17

При x (− 2; 0) y¢ < 0 ; при

x (− ∞; − 3),

x (− 3; − 2),

x (0;+∞) y′ > 0 . На про-

(функция y = 3

касательную

x = −3

(x + 3) x2

в точке

x = −3

непрерывна и

lim

y'(x)= +∞).

Поскольку

y(x)

непрерывна

в

нуле

и

x→−3

lim

y′(x)= −∞,

lim

y′(x)= +∞ ; то полупрямая

x = 0,

y ³ 0 является и левой и

x→0−

x→0

+

правой полукасательной к графику функции в точке (0;

0). Следовательно, точка

(0; 0) - точка возврата кривой.

Г)

Определим промежутки выпуклости и точки перегиба графика функ-

ции. Находим вторую производную

y′′(x)= −

2

. Знаки второй производ-

3 x4(x + 3)5

ной:

y′′(x)< 0

при

x (− 3; 0) и при

x (0; + ∞),

y′′(x) >

0

при x (− ∞; − 3)

(рис.

y′′

+

-

-

y

È -3

Ç 0

Ç

х