Диссертация на соискание учёной степени

2.2.1 Электронно-конформационная модель решетки RyR-каналов

2.2.1.1 Гамильтониан решетки RyR-каналов

Кластер RyR-каналов на мембране СР в высвобождающей единице представляется как квадратная решетка RyR-каналов с общим числом каналов до 100, каждый из которых описывается электронно-конформационной моделью одиночного RyR-канала.

В данной работе рассмотрение сопряжения каналов в кластере ограничивалось приближением, учитывающим взаимодействия только ближайших соседних каналов с «упругой» константой взаимодействия Kmn . С

учетом этих условий гамильтониан канала с номером m в решетке может быть представлен в виде:

m,n

где sxm , szm – матрицы Паули; m и n – номер канала в решетке (каналы пронумерованы от 1 до 81). При этом предполагается, что конформационные взаимодействия испытывают только соседние RyR-каналы, поэтому если m и n – номера ближайших соседей, то Kmn k , и Kmn 0 в остальных случаях.

Две ветви конформационного потенциала каждого канала решетки

определяется формулой:

потенциал (2.5) с учетом взаимодействия в приближении ближайших соседей принимает вид:

Как и в случае изолированного канала (2.5), конформационный потенциал в диабатическом случае имеет форму двух пересекающихся парабол.

2.2.1.2 Влияние концентрации Са2+ в люмене на вид конформационного

потенциала RyR-канала

61

При рассмотрении влияния ионов Са2+ на канал со стороны trans-части в модели изолированных RyR-каналов введен параметр эффективного давления p

(2.6). Можно провести аналогию между уровнем trans[Ca] в липидном бислое in vitro и значением концентрации Са2+ в люмене СР (CajSR ) in vivo:

где KCa – уровень CajSR , при котором параметр p имеет нулевое значение, n –

коэффициент Хилла. Параметр эффективного давления, как отмечалось ранее,

лежит в интервале: p [ 1;1] . В терминах уровня заполнения люмена ионами Са2+ значение p 1 соответствует минимальному, а р=1 – максимальному заполнению люмена.

Как уже отмечалось в предыдущей главе, эффективное давление является одним из важнейших параметров, определяющих форму конформационного потенциала и устойчивость того или иного состояния RyR-канала.

2.2.2 Схема динамики RyR-каналов в решетке высвобождающей единицы

Для моделирования динамики RyR-каналов в решетке высвобождающей единицы можно пренебречь существованием инактивационного состояния,

подробно описанного во второй главе данной работы, в связи с тем, что характерные времена работы внутриклеточных Са2+-«часов» малы по сравнению с характерными временами перехода RyR-канала в инактивационное состояние [24]. В дальнейшем использована простейшая схема открытия/закрытия RyR-каналов в процессе заполнения/высвобождения Са2+.

62

Для создания замкнутой модели высвобождающей единицы с учетом стохастической динамики RyR-каналов была установлена связь между параметрами теории высвобождающей единицы и ЭК-моделью.

В модели высвобождающей единицы поток высвобождающегося Са2+ в

диадное пространство зависит от числа открытых каналов в кластере.

конформационной координаты точки локального максимума нижней ветви C

конформационного потенциала (3.3.3) (см. рис. 2.3).

Таким образом, динамика концентрации кальция в отделах высвобождающей единицы вызывает изменение параметра p , который влияет на динамику состояний RyR-каналов, и как следствие, на число открытых RyR-

каналов Nopen. Переменная Nopen, в свою очередь, определяет скорость высвобождения кальция из люмена СР.

На основе вышеизложенных положений получена замкнутая объединенная модель, на базе которой в данной работе проводилось численное моделирование динамики Са2+ в отделах кардиомиоцитов.

64

2.2.4 Модель Са2+-высвобождающей единицы

Разработка модели Са2+-высвобождающей единицы основана на широко известной модели структуры клетки (рисунок 2.14) [90, 112, 113], состоящей из четырех основных компонентов: диадного пространства, цитозоля, сети СР и просвета ТЦ (люмена) СР. Особенностью данного представления является рассмотрение обобщенной Са2+ высвобождающей единицы.

Рис. 2.14 Схема кальциевых токов между компонентами Са2+-«часов».

Основываясь на схеме динамики Са2+ в клетке, введены четыре кальциевых

высвобождать), величина которого зависит от числа открытых каналов в

65

значение которого зависит от градиента концентраций Са2+ в диадном пространстве и в цитозоли (Cai ) и определяется как:

накачки СР кальцием против градиента концентрации требует энергетических затрат (фосфорилляция молекул АТФ), значение потока зависит от концентрации Са2+ в цитозоле и от параметров Са2+-насоса: kup (скорость накачки) и Kup (чувствительность насоса). Для зависимости потока от концентрации Са2+ была использована формула, заимствованная из модели [54]:

(2.27)

Кальциевые потоки в упрощенной модели сердечной клетки (рис. 2.14) с

учётом квазистационарного взаимодействия с кальциевыми буферами

описываются стандартной системой дифференциальных уравнений [91]:

В модели учитывается связывание ионов Са2+ с регуляторными глобулярными белками – буферами, которые участвуют в процессе мышечного

66

сокращения. Были учтены следующие Са2+-связывающие буферы,

содержащиеся в кардиомиоците: кальсеквестрин, кальмодулин, тропонин.

Параметры концентраций буферов, учитывающиеся в модели, взяты из работы [85]: CQtot = 10-2 М полная концентрация кальсеквестрина, CMtot = 45·10-6 М полная концентрация кальмодулина, TCtot = 31·10-6 М - полная

соответствующих буферов. Следует отметить, что все эти параметры выбраны как типичные для интегративной модели, а не для модели одиночной высвобождающей единицы.

Другими словами, было предположено, что все RyR-каналы формируют систему идентичных высвобождающих единиц, функционирующих согласованно. Параметры ЭК модели (2.5, 2.7, 2.8) при проведении численных экспериментов имели следующие значения: a = 5, K = 12, hx 0 , Г = 7.

Параметры туннелирования: A = 1, tun = 0.01 [A2].

2.3 Методы численной реализации модели

Электронно-конформационное состояние RyR-канала описывается стохастическим дифференциальным уравнением (2.7) со случайным изменением правой части и с переключением вследствие электронных и туннельных переходов (2.8, 2.10).

В формулах (2.4, 2.5) переменная электронного состояния является дискретной и принимает два значения: 0 (электронно закрытое) и 1 (электронно отрытое состояние). Слагаемое temp в уравнении (2.7) отвечает за аддитивные шумы в виде случайного винеровского процесса. Таким образом, компьютерная реализация ЭК модели должна быть основана на численных методах интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и методах

67

реализации марковских процессов. Сочетание этих методов позволило построить две численные схемы для получения наборов реализаций.

2.3.1 Метод Эйлера-Марайамы

Наиболее известным методом решения дифференциальных уравнений со

случайными членами является явный метод Эйлера, обобщенный для стохастических уравнений Марайамой (Maruyama) в 1955 году, поэтому этот метод иногда называют методом Эйлера-Марайамы [114, 115].

Стохастическое дифференциальное уравнение Ито, описывающее изменение

со временем некоторой переменной X t , имеет вид [115]:

винеровский процесс. Данный интервал времени можно дискретизировать с

W (ti 1 ) W (ti ) ~ ti 1 ti t ,

где – нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. С учетом этого схема метода принимает вид:

вычисленная методом Монте Карло на i-ом шаге интегрирования системы уравнений.

68

Если обозначить скорость изменения координаты Q как q dQdt , то для

уравнения Ланжевена (2.7) в ЭК-модели, описывающего изменение конформационной координаты RyR-канала, метод Эйлера-Марайамы имеет вид:

2.3.2 Реализация электронных и туннельных переходов. Метод Монте-

Карло

Электронные и туннельные переходы в ЭК-модели можно представить в терминах дискретного марковского процесса с различными вероятностями переходов между состояниями марковской цепи. Для описания случайных марковских процессов обычно используют метод Монте-Карло, который заключается в применении генератора псевдослучайных чисел для моделирования случайного процесса переходов между состояниями.

Простейшим способом описания инактивационного состояния является введение новой переменной μ, принимающей два значения: μ=1, если канал инактивирован, μ=0 в остальных случаях. Если ввести функцию Хэвисайда

где I – энергия инактивационного состояния.

Диабатический конформационный потенциал (2.5) может быть описан следующей формулой:

69

Для инактивационного состояния, была введена новая переменная μ.

Рассмотрим состояние канала 1: Q, , в определенный момент времени t .

В следующий момент времени t t система может оказаться в состояниях 2:

Предполагается, что потоки событий электронных и туннельных переходов между состояниями являются пуассоновскими. Опираясь на это предположение, дискретизируем марковский процесс с таким малым шагом по времени t , что за этот промежуток времени может произойти только одно событие перехода.

На каждом шаге интегрирования случайного процесса вероятности туннельного, электронного перехода между ветвями КП и вероятность перехода в инактивационное состояние определялись следующим образом:

Ptun (t) tun (Q(t)) t,

Так как события туннельных и электронных переходов являются независимыми, то вероятность покинуть состояние 1 за время t равна

Pel (t) Ptun (t) Pinact (t) .

Однако для построения цепи нужно знать еще вероятности переходов в

«состояние 2» и «состояние 3» при условии, что канал покинет «состояние 1».

Эти вероятности могут быть вычислены по следующим формулам:

70