Диссертация на соискание учёной степени

В данной работе предполагается, что при осуществлении быстрых переходов не происходит изменения конформационной координаты по уравнению Ланжевена. Медленная конформационная динамика в течение промежутка времени t реализуется только в отсутствии быстрых переходов.

На основе сделанных предположений была получена марковская цепь,

которая реализовывалась с помощью метода Монте-Карло. В рамках этого метода нормально распределенная случайная величина 1 задается на i-том шаге реализации процесса в момент времени ti i t на отрезке [0,1] и

сравнивается с вычисленной вероятностью электронных переходов между ветвями КП. Если выполняется условие 1 P1 2 , реализуется электронный переход между ветвями КП. В ином случае определялась следующая случайная величина 2 , которая сравнивалась с условной вероятностью туннельного перехода. По аналогии с предыдущим случаем, если 2 P1 3 , то реализуется туннельный переход, в другом случае определяется случайная величина 3 .

При 3 P1 4 моделируется инактивационный переход, в противном случае вычисляется конформационная координата на текущем шаге по уравнению Ланжевена.

Повторяя описанную процедуру T t раз, где Т – длительность эксперимента, и вычисляя конформационную динамику на отрезках [t j , t j 1 ], на которых отсутствуют переходы, можно получить одну реализацию случайного процесса, которая является приближением исходного марковского процесса электронных и туннельных переходов.

71

2.3.3 Численная схема для ЭК-модели RyR-канала

Объединяя методы Эйлера-Марайамы для реализации конформационной динамики, метод марковских цепей и метод Монте-Карло для реализации туннельных и электронных переходов, была получена численная схема для реализации электронно-конформационной модели рианодинового канала,

которая выглядит следующим образом:

3.Задание счетчика цикла i 0.

4.Начало цикла по i 1, N .

5.Для каждого i 1, N определение случайных величин i ,

подчиненных нормальному распределению с математическим ожиданием,

равным нулю, и дисперсией, равной 1;

6.Получение случайного числа i [0,1] , подчиненное равномерному

распределению на этом отрезке;

7.Если i =0:

7.1Вычисление вероятности электронного перехода Pelect elect (Qi , i , i ) t ;

7.2Вычисление вероятности туннельного перехода Ptun tun (Qi , i , i ) t ;

7.3Если i Ptun Pelect , то

i 1 i ;

Qi 1 Qi qi t ;

Переход к (10);

7.4Определение случайного числа 1 [0,1], подчиненное равномерному

распределению на этом отрезке;

72

Qi 1 Qi ,

i 1 ( i 1) mod 2

Переход к (10).

7.7 Определение случайного числа 2 [0,1] , подчиненное равномерному распределению на этом отрезке;

7.9.1 Определение случайного числа 3 [0,1] , подчиненное равномерному распределению на этом отрезке;

Переход к (10).

8.Если i =1:

73

9.Изменение счетчика цикла i : i 1;

10.Если i t T , то переход к (4), иначе вычисление закончено.

В результате реализации численной схемы формируются векторы

Qi , qi , i , i , i 0,1,..., N , являющиеся приближениями решения начальной задачи для ЭК-модели в моменты времени ti i t .

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.28), описывающая зависимости концентраций Са2+ в отделах кардиомиоцитов от времени решалась в данной работе с помощью обыкновенного метода Эйлера, причем концентрации в каждом из отделов определялись в каждый момент времени i 1, N .

Преимуществом данной схемы численной реализации является ее универсальность. Схема подразумевает возможность изменения вида конформационного потенциала и упрощение в связи с пренебрежением некоторыми переходами на больших интервалах времени.

2.4 Описание программного комплекса

Для численных экспериментов на базе модели высвобождающей единицы с интегрированной в нее ЭК моделью динамики RyR-каналов были разработаны алгоритмы, позволяющие производить расчет при различных условиях экспериментов и различных наборах параметров. Эти алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, состоящего из двух частей. Первая часть является расчетно-демонстрационной, вторая предназначена для обработки результатов численных экспериментов.

Первая часть представляет собой вычислительную систему, ядро которой реализовано в программной среде Borland C++ Builder 6 (рис. 2.16) и является большим программным комплексом с удобными для пользователя интерфейсом и аппаратом управления моделируемыми процессами.

Особенностью, разработанного в данной диссертационной работе,

программного комплекса является его многозадачность. Этот комплекс

74

называется ReleaseUnit.exe и при определенном выборе опций в программе позволяет независимо проводить следующие эксперименты:

Моделирование динамики статистического ансамбля изолированных RyR-каналов (9х9) при фиксированном уровне Са2+ в

рамках ЭК теории.

При проведении данного типа экспериментов в программе исследуются кинетические характеристики RyR-каналов при различных параметрах ЭК-

модели. В программе осуществляется усреднение по ансамблю таких кинетических характеристик, как вероятность пребывания канала в открытом состоянии, времена пребывания в открытом и закрытом состояниях и др.

Моделирование динамики кластера взаимодействующих RyR-

каналов (9х9) при фиксированном уровне Са2+ в рамках ЭК теории.

В данном классе экспериментов исследуется влияние взаимодействия между

RyR-каналами на кинетические характеристики всего кластера.

Моделирование динамики ионов Са2+ между компартментами высвобождающей единицы, включая влияние соответствующих буферов,

в рамках модели ВЕ с учетом стохастической динамики кластера RyR-

каналов.

Рис. 2.16. Скриншот программного комплекса ReleaseUnit.exe, разработанного для проведения численных экспериментов в рамках ЭК-модели и модели ВЕ.

75

Частично обработка и аппроксимации результатов экспериментов проводились во второй части комплекса программ, реализованных в системе

Wolfram Mathematica 5.0-8.0 (рис. 2.17), пакете символьной математики с огромными возможностями вычислений и обработки данных.

Первичный параметрический анализ модели и апробация численных методов для оптимального решения уравнений модели проводились в данной среде. Однако в связи с большими затратами времени для расчетов среда

Wolfram Mathematica не удовлетворяла потребностям при решении поставленных задач при проведении длительных экспериментов (10-15 мин для

20000 итераций для каждого набора параметров модели).

Рис. 2.17. Общий вид среды Mathematica 8.0. В левом окне продемонстрирована аппроксимация результатов численных экспериментов по исследованию активности изолированных RyR-каналов точным решением уравнения Колмогорова. Справа – расчет интенсивностей электронных переходов в ЭК-модели.

Программный комплекс включает в себя более десяти программ,

позволяющих решить задачи численного моделирования и обработать результаты экспериментов.

2.5 Заключение

Дан краткий обзор электронно-конформационной модели RyR-канала,

предложенной ранее в работах [A2, A3, 93, 94].

76

В развитие модели дан детальный анализ различных параметров и факторов, влияющих на динамику канала, таких как концентрация Са2+ в cis и trans-частях вблизи канала и кооперативная динамика кластера RyR-каналов.

Впервые в ЭК-модели предложено введение инактивационного состояния, соответствующего взаимодействию ионов Са2+ с инактивационными центрами RyR-канала.

Впервые в рамках электронно-конформационной теории предложена модель взаимодействия ионов Са2+ с активационным центром RyR-канала,

учитывающая вероятности заполнения мест присоединения активационного центра ионами Са2+.

Дана детализация модели туннельных переходов, включающая введение

«зоны разрешенного туннельного перехода» вблизи минимума конформационного потенциала RyR-канала.

ЭК-модель кластера RyR-каналов объединена с моделью Са2+-

высвобождающей единицы с целью детального изучения работы внутренних Са2+-«часов» в клетках водителя сердечного ритма на макромолекулярном уровне.

Разработан многоцелевой компьютерный комплекс, реализующий алгоритмы численного решения уравнений электронно-конформационной модели, на базе которого проводились серии экспериментов, результаты которых представлены в главах 3 и 4 данной работы.

77

ГЛАВА 3. Результаты численного моделирования. Активность одиночного RyR-канала при стационарных условиях

Моделирование динамики RyR-канала проводилось в рамках схемы,

представленной на рисунке 3.1. Данная схема предполагает наличие трех энергетических уровней (E+, E-, I), двух типов переходов между ними и медленной конформационной динамики к минимумам конформационного потенциала.

E(Q)

Q

Электронные переходы

E+ E-

I E+,-

Туннельные переходы

C

Рис. 3.1. Схема динамики одиночного RyR-канала.

В ходе проведения численных экспериментов изучались зависимости конформационной координаты Q RyR-канала от времени при постоянном значении cis[Ca] для различных значений основных параметров ЭК модели

(рис. 3.2).

Варьирование параметров модели меняет характер динамики RyR-канала.

Как видно из графиков, коэффициент упругости канала К влияет на максимальное и минимальное значения конформационной координаты Q.

Параметр эффективного трения Г влияет на скорость релаксации RyR-канала к

78

локальному минимуму КП. Видно, что при достаточно малых значениях Г наблюдается колебательный характер динамики RyR-канала вблизи конформационного минимума, а при достаточно больших Г колебаний вблизи минимума не наблюдается.

В ЭК модели, согласно формуле (2.10), вероятность электронных переходов зависит от концентрации Са2+ в cis-части, в связи с этим, при изменении cis[Ca]

меняется частота переходов канала из одного состояния в другое и длительность пребывания в открытом и закрытом состояниях.

Подробно влияние параметров модели на характер динамики RyR-канала рассмотрено в данной работе далее (см. п.п. 3.2.1, 3.2.2).

Рис. 3.2. Зависимости конформационной координаты RyR-канала от времени, результаты численных экспериментов; а. при различных значениях коэффициента упругости К; б. при различных значениях коэффициента эффективного трения Г; в. при различных значениях концентрации цитозольного кальция cis[Са2+].

3.1 Анализ временных зависимостей конформационной координаты Q

При проведении численных экспериментов исследовалась динамика одиночного RyR-канала. В начальный момент времени канал находился в электронно- и конформационно-закрытом состоянии. Результаты

79

экспериментов по изучению зависимости конформационной координаты Q

от времени обрабатывались с помощью метода нормированного размаха

(R/S-анализ или метод Херста) [43, 116].

Этот метод позволяет выявить скоррелированность определенного ряда данных на больших интервалах времени и определить фрактальную

размерность временного ряда – размерность Хаусдорфа-Безиковича:

D 2 H , где Н – показатель Херста.

Согласно [116], значения Н>0.5 указывают на положительную

корреляцию (персистентный процесс), а Н<0.5 на отрицательную

корреляцию (антиперсистентный процесс) измеряемой величины со временем. И тот и другой процессы являются процессами с «памятью»,

когда последующие события определяются предшествующими. Величина Н=0.5 характеризует случайный процесс.

Среднее значение координаты Q на промежутке времени τ определяется

как:

где t – дискретное время с шагом dt. В данной работе dt выбиралось равным

между максимальным и минимальным значениями Q(t) в выборке

(кумулятивное отклонение от среднего) на интервале времени τ описывается формулой:

Стандартное отклонение Q(t) от :

80