4.5.3. Особенности расчета резервированных восстанавливаемых систем

4.5.3.1. Ненагруженное резервирование с восстановлением

Система, состоящая из равнонадежных элементов - одного основ­ного и k резервных, может находиться в лю­бом из (k+2) состояний:

0 – все элементы работоспособны;

1 — один элемент в неработоспособном состоянии/восстанавливается;

j – когда j элементов в неработоспособном состоянии/ восстанавливаются;

k+1 – когда все (k+1) эле­ментов в неработоспособном состоянии/ восстанавливаются.

Предполагается, что при замене работающего эле­мента на резервный перерыва в работе системы не про­исходит, поэтому отказ системы наступает при одновре­менной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k+1).

Рассмотрим случай так называемого полностью ограниченного восстановления [3], когда имеется одна ремонтная бригада, обслуживающая систему и независимо от числа отказавших элементов одновременно может восстанавливаться только один.

Предполагаем вариант резервирования с абсо­лютно надежными переключателями. В случае ненагруженного резерва (см.п.4.2) резервные элементы до момента их включения вместо отказавших основных имеют интенсивность отказов λ=0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт.

Рис. 4.5. Схема состояний системы, состоящей из основного и k одинаковых элементов в ненагруженном резерве при ограниченном (а) и неограниченном (б) восстановлении

Схема состояний системы представлена на рис. 4.5 (а). Система дифференциальных уравнений имеет следую­щий вид:

(4.46)

При t→∞ система (4.46) переходит в систему алгебраи­ческих уравнений:

(4.47)

Система алгебраических уравнений (4.47) является зависимой и если попытаться ее решить как независимую систему, то будет получен тривиальный результат- P_j =0 (j=0,1,…k+1).

Для решения системы (5-10) необходимо добавить уравнение связи

(4.48)

и из системы (4.47) исключить любое одно уравнение. Обычно исключают самое сложное.

В результате решения системы (4.47) совместно с уравнением (4.48) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

(4.49)

Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неогра­ниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутст­вует. Схема состояний для ненагруженного резерва и не­ограниченного восстановления представлена на рис. 4.5 (б).

В результате решения системы уравнений при Р'_j (t) =0 получим:

(4.50)

4.5.3.2. Нагруженное резервирование замещением с восстановлением

Схемы состояний для системы, состоящей из одного основного и k элементов, в нагруженном резерве пред­ставлены на рис. 4.6

Рис. 4.6. Схема состояний системы, состоящей из основного и k элементов в нагруженном резерве при ограниченном (а) и неограниченном (б) восстановлении

Рассуждая аналогично п. 4.5.3.1, получим:

для ограниченного восстановления

(4.51)

для неограниченного восстановления

(4.52)

Выражение (4.52) предста­вляет собой вероятность слу­чайного исхода, имеющего би­номиальное распределение. Это объясняется независимостью отказов и восстановлений эле­ментов.

На рис. 4.7 пред­ставлена схема состояний для нагруженной дублированной системы, где основной и резервный элемент имеют различные интенсивности отказов λ₁ и λ₂ и используется ограниченное восстанов­ление.

Обозначим состояния системы следующим образом:

0. оба элемента системы работоспособны

1. первый элемент отказал, восстанавливается, вместо него включился в работу резервный

2. второй элемент отказал, восстанавливается, вместо него включился в работу резервный

3. и основной и запасной элементы отказали. Отказ системы и ее восстановление

Рис. 4.7. Схема состояний системы, состоящей из двух элементов с разными интенсивностями отказов

В этом случае

При t→∞ К_П=Р₃, К_г=1 - Р₃.

При подготовке к занятиям попробуйте записать систему дифференциальных уравнений (см. п. 4.5.2), а для установившегося режима – систему алгебраических уравнений.