4.4.4. Скользящее резервирование

Логическая схема представлена на рис 2.4.д. В случае одного нена­груженного резервного и m работающих элементов система может находиться в течение наработки (0, t) в одном из двух несовместных работоспособных состояниях:

все элементы основной системы работают безотказно;

отказал один основной элемент из общего числа m+1 элементов, причем переключатель ра­ботоспособен. Суммируя вероятности этих состояний, по­лучаем:

(4.36)

где Р_П(τ) —вероятность безотказной работы переключа­теля до момента τ включения резервного элемента; P(t—τ)—вероятность безотказной работы резервного элемента с момента τ его включения; f(τ) — плотность распределения наработки до отказа одного элемента основной системы; P(t)—вероятность безотказной ра­боты одного элемента основной системы.

При показательном распределении наработки до отказа

(4.37)

где λ — интенсивность отказов работающего элемента; λ_П — интенсивность отказов переключателя.

В случае двух резервных элементов необходимо рас­сматривать четыре несовместных состояния, при которых возможна безотказная работа системы.

4.5. Расчет надежности ремонтируемых систем

4.5.1. Общая характеристика методов расчета надежности ремонтируемых систем

Показатели надежности ремонтируемых невосста­навливаемых в процессе применения систем обычно вы­числяются на отрезке времени работы (по наработке), для восстанавливаемых в процессе эксплуатации систем используется календарное время.

Наиболее часто при расчетах надежности применяются два метода, которые условно на­зываются: метод интегральных уравнений и метод диф­ференциальных уравнений, (см. п. 3.3.4, марковская модель изменения состояния системы).

Метод интегральных уравнений основан на допуще­нии, что значение времени (наработки) между последо­вательными отказами и времени восстановления явля­ются независимыми случайными величинами. Составля­ются и решаются интегральные или интегро-дифференциальные уравнения, связывающие вероятности нахож­дения объекта в различных состояниях. При этом нет принципи­альных ограничений на законы распределения времени (наработки) между отказами и времени восстановления элементов. Обычно сравнительно просто составить сами уравнения. Однако решение этих уравнений часто встречает большие трудности. Точные конечные результаты полу­чены лишь для некоторых законов распределения для дублированных систем.

В методе дифференциальных уравнений использовано допущение об экспоненциальном распределениях времени (наработки) между отказами и времени восстановления. По исходным данным об эксплуатации системы строится модель эксплуатации в виде графа ( схемы) состояний и путей перехода из состояния в состояние. Развитие метода дифферен­циальных уравнений привело к формированию ряда правил определения функций вероятностей пребывания системы в определенном состоянии непосредственно по схеме состояний.

Правила применения метода дифференциальных уравнений

Вначале перечисляются возможные состояния системы, и составляется ее математическая (логическая) мо­дель в виде схемы состояний, на которой прямоугольни­ками или кружками изображаются возможные состоя­ния и стрелками — возможные направления переходов из одного состояния в другое на бесконечно малом отрезке времени (см. например, рис. 5.4).При этом надо иметь в виду, что на бесконечно малом отрезке времени возможен только либо один отказ, либо одно восстановление.

1. По схеме состояний со­ставляют систему дифференциальных уравнений для ве­роятностей состояний, которые формально записываются следующим образом:

• левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний, а каждый член правой части уравнения получается пу­тем умножения интенсивности перехода, стоящей над стрелкой, связанной с данным состоянием, на соответст­вующую вероятность состояния;

• знак каждого произведения в правой части зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в про­тивном случае);

• число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящим в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

2. Решение системы дифференциальных уравнений с по­мощью преобразований Лапласа [4.1, 4.3, 4.4] или каким-либо дру­гим методом позволяет определить требуемые показа­тели надежности.

3. Если перерывы в работе системы допустимы, в каче­стве показателей надежности обычно используют функ­цию готовности K_Г(t) и функцию простоя K_П(t) или со­ответствующие коэффициенты (см. гл. 2). При этом часто рассматривают установившийся режим эксплуата­ции при t→ ∞. Тогда P'_j(t)=0 и система дифференци­альных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.

4. Когда перерывы в работе системы недопустимы, в ка­честве показателей надежности используются (t) – условные вероятности безотказной непрерывной работы в течение заданного времени выполнения задачи при усло­вии, что в начальный момент времени все элементы си­стемы работоспособны. В рассматриваемом случае име­ются «поглощающие» состояния и необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при со­ответствующих начальных условиях.