3.3.3.2. Нормальное распределение

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.54)

где m_x , σ_x – соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для его использования нужно знать m_x и σ_x.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.55)

а интенсивность отказов - по формуле

,

где m_t σ_t – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени жизни объекта.

При нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -∞ до +∞. Поэтому использовать выражения (3.17),(3.18) можно только для случая m_t / σ_t >=2.5, когда вероятность появления отрицательных значений практически равна 0 (характерно для элементов систем автоматического управления [3.3]). На рис. 3.7 изображены кривые λ (t), Р(t) и f (t).

Рис. 3.7. Кривые нормального распределения

Если значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения времени безотказной работы таковы, что m_t/σ_t< 2.5 , ее распределение может быть лишь усечённым нормальным.

Для усеченного на интервале (t₁,t₂) распределения нормирующий множитель

(3.56)

условно принимается равным единице, если отношение средней наработки до отказа к среднему квадратическому отклонению наработки до отказа больше 2,5.

Показатели надежности при нормальном распре­делении вычисляется с помощью нормированной функ­ции Лапласа (интеграл Гаусса- Лапласа)

, (3.57)

где u = (t- m_t )/ σ_t

Известно, что интеграл Гаусса- Лаплас – нечетная функ­ция [3.1, 3.2, 3.3].

Тогда получим формулы для вычисления:

вероятности отказа

Q (t) = 0,5 + Φ(u) , (3.58)

вероятности безотказной работы

P(t) = 0.5 - Φ(u). (3.59)

Можно пользоваться нормальным законом распределения при анализе надежности элементов, подверженных процессам старения или износа.

3.3.3.3. Гамма - распределение

Гамма-распределение наработки на отказ получается (см. п. 3.1.1.2) при использовании потоков Эрланга к-го порядка. На практике это соответствует применению резервированного соединения кратности к-1 (см. п. 4.2). Отказ системы наступает только, если количество отказов элементов превысит к-1. Дадим выражения для расчета вероятности отказа:

. (3.60)

3.3.4. Марковские процессы

При решении задач анализа надежности сложных систем, имеющих множество состояний работоспособности, удобно использовать модель случайного процесса, дискретного по состояниям и непрерывного во времени, и определять вероятности нахождения системы в том или ином состоянии. В общем случае число таких состояний больше или равно двум (для простой системы).

Обозначим:

S(t) =i – состояние системы в момент времени t равно i (0,

n – общее количество возможных состояний системы,

Δt,

P_ij(t+Δt) – условная вероятность перехода системы из состояния S(t)=i в момент времени t в состояние S(t +Δt) = j (0в момент времениt+Δt,

λ_ij – интенсивности перехода системы из состояния S(t) = i в момент времени t в состояние S(t +Δt) = j (0в момент времениt+Δt.

Если вероятности перехода P_ij (t+ Δt) не зависят от поведения системы до момента времени t, то такой процесс называется марковским.

Если вероятности перехода P_ij(t+Δt)= P_ij(Δt) = λ_ijΔt не зависят от t, то такой процесс называется марковским однородным процессом.

Для такого процесса время пребывания системы в состоянии S(t) =i (0подчиняется экспоненциальному распределению (см. п. 3.3.1).

Предполагается, что интенсивности переходов удовлетворяют условиям:

,

= (3.61)

где - интенсивность сохранения состояния i (0.

Вероятности (0- пребывания системы вi состоянии определяются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

,

- начальные условия, (3.62)

.

Система дифференциальных уравнений (3.62) называется уравнениями Колмагорова [3.5].

Будем использовать модель марковских однородных процессов для определения показателей надежности восстанавливаемых и резервированных систем .

­­­­­­­–––––––––––––––––––––––––––––––––

1. Гнеденко Б.В. Математические основы теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. М.: Наука, 1966.

2. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности: учебник для вузов / Т.А. Голинкевич. М.: Высшая школа, 1977.

3. Ястребенецкий М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами / М.А. Ястребенецкий, Г.М. Иванова. М.: Энергоатомиздат, 1989

4. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. / К.А. Иыуду. М.: Высшая школа, 1989.

5. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем / Г.В. Дружинин. М.: Энергоатомиздат, 1986.