4.4.2. Резервирова­ние замещением ненагруженное и облегченное с абсолютно надёжными переключателями.

4.4.2.1.Общее ненагруженное резервирование замещением

Рассмот­рим случай общего резервирования. Считаем, что резервные системы не могут отказывать до момента их включения в работу, также предполагаем, что индикаторы состояния основной или резервных цепей идеальны.

При раздельном ре­зервировании приведенные ниже формулы справедливы для отдельных участков резервированной схемы.

Резервированная система будет безотказно работать на отрезке времени [0,t] при следующих возможных событиях:

1. основная система не отказала на интервале времени [0,t],

2. работающая система отказала на интервале времени [τ,τ+Δτ], где

τ <t, Δτ→0, но работоспособный резервный элемент включился в работу и безотказно отработал интервал времени [τ, t- τ].

При принятых допущениях вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и k резервных устройств, вычисляется по рекуррентной формуле

(4.28)

где P_k(t) —вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и k—1 резервных устройств; P_(k+1)(t—τ) —вероятность безотказной работы (k+1)-го резервного устройства в течение наработки (t—τ) при условии, что до момента τ это устройство бы­ло работоспособно; f_k(τ) —плотность распределения на­работки до отказа системы, имеющей одно основное и k—1 резервных устройств.

В случае показательного распределения наработки до отказа и равнонадежных элементах имеет место простейший поток отказов и вероятность безотказной работы системы определяется ситуацией, когда в резервированной системе число отказавших цепей η<= k (используем закон Пуассона):

(4.29)

где λ₀— интенсивность отказов одного из k+1 парал­лельно соединенных на схеме, резервирования устройств.

Средняя наработка до отказа

(4.30)

Так как при ненагруженном резерве значения нара­ботки τ₁, τ₂, … τ_k+1 системы в состояниях 1, 2, ..., (k+1) можно считать независимыми случайными величинами, при (k+1)≥5 распределение наработки до отказа ре­зервированной системы будет практически нормальным.

4.4.2.2. Облегченное резервирование замещением

При облегченном резерве запасной элемент до его включения в основной режим работает под неполной нагрузкой и поэтому тоже может отказать.

Вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и k резервных устройств, рассчитывается по рекуррентной формуле

(4.31)

где P_k(t) — вероятность безотказной работы системы, имеющей одно основное и k—1 резервных устройств; Р_k+1(τ) —вероятность безотказной работы (k+1)-гo ре­зервного устройства до момента τ включения его в рабо­ту; P_(k+1)(t—τ) — вероятность безотказной работы (k+1)-го резервного устройства в течение наработки (t—τ) от момента τ включения его в работу до момента t; f_k(τ) — плотность распределения наработки до отказа системы, имеющей одно основное и k—1 резервных уст­ройств.

В случае показательного распределения наработки до отказа

(4.32)

где λ₀ – интенсивность отказов работающего устройства, λ₁ интенсивность отказов резервного устройства, находящегося в облегченном резерве (λ₁ < λ₀ ).

Средняя наработка до отказа системы

(4.33)

4.4.3. Резервирование с учетом надежности пере­ключателей.

При общем нагруженном резервировании (рис. 4-2, в) вероятность безотказной работы системы

(4.34)

где P(t) - вероятность безотказной работы основной или резервной системы в течение наработки (0, t), P_П(t) - вероятность безотказной работы переключаю­щего устройства в течение наработки (0, t).

При раздельном нагруженном резервировании веро­ятность безотказной работы

(4.35)