Распределение рабочих по среднему стажу работы
58
В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цехуxгр. Весами ƒ являются численности рабочих в цехах.
Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит, лет:
59
5.2.3. Средняя гармоническая
При расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель,который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.
Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым.
Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f
Когда статистическая информация не
содержит частот / по отдельным вариантам
х совокупности, а представлена как их
произведение
,
применяется формуласредней гармониче-
ской взвешенной.Чтобы исчислить
среднюю, обозначим
,
откуда
.
Теперь преобразуем формулу средней
арифметической таким образом, чтобы по
имеющимся данным x и w можно было исчислить
среднюю. В формулу средней арифметической
взвешенной (5.4) вместо хf подставим w,
вместо f - отношение w/х и получим формулусредней гармонической взвешенной:
(5.9)
62
Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.
Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = x . f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.
Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг яблок в апреле.
Таблица 5.5
Расчет средней цены выражается соотношением
Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц - неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.
Тогда средняя цена 1 кг яблок, руб., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (5.9) средней гармонической взвешенной:
63
Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:
Полученная средняя цена 1 кг яблок является реальной величиной, ее произведение на все количество проданных яблок дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (7780 руб).
Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (5.9) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.
В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая,исчисляемая по формуле:
(5.10)
где
-
отдельные варианты обратного признака,
встречающиеся по одному разу; n - число
вариантов.
Пример.У предпринимателя имеются два автомобиля различных моделей, работающих на бензине одинаковой марки. Расход бензина у первого автомобиля равен 0,05 л/км, у второго - 0,08 л/км. Каков средний расход бензина на 100 км (или 1 км) пройденного пути?
Может показаться, что решение этой задачи заключается в расчете средней арифметической простой, т.е. расход, л/км, равен (0,05+0,008) : 2 = 0.065.
Однако такой расчет является ошибочным. Покажем это на примере одного и того же количества израсходованного бензина. Предположим, расход бензина на поездку составил 40 л (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). На 40 л бензина первая машина пройдет 800 км, т.е. (40 : 0,05), пробег второй - составит 500 км, т.е. (40 : 0,08), следовательно, общий пробег равен 1300 км.
64
Если средняя исчислена правильно, то при замене индивидуальных значений их средним не должен измениться определяющий показатель - в данном случае общий пробег.
Принимая x¯ар= 0,065 л/км, общий пробег, км, оказывается меньше на 69,23 км, так как 40 : 0,065 + 40 : 0,065 = 1230,77, что подтверждает ошибочность выполненного расчета простой средней.
Правильное решение этой задачи должно в своей основе содержать исходное (логическое) соотношение средней.
Для того чтобы определить средний расход бензина на 1км пройденного пути (x¯гар, л/км), необходимо общий расход бензина поделить на суммарный пробег обоих автомобилей:
или 6,15 л на 100 км.
Как видим, расчет сведен к исчислению средней гармонической простой (при этом конкретное количество израсходованного бензина роли в расчете не играет, главное, чтобы оно было одинаковым).
При замене индивидуальных значений признака их средней (x¯гар) общий пробег не изменится:
Если по двум частям совокупности (численности n1и n2) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить каквзвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:
(5.11)
Для закрепления знаний по теме рассмотрим задачу на применение в расчетах средней арифметической и средней гармонической.
Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре по данным табл. 5.6.
65
Таблица 5.6