Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

131

Для того чтобы датьколичественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравниванияв рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

ˆy_t = ƒ(t),

где ˆy_t- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времениt.

Определение теоретических (расчетных) уровней ˆy_tпроизводится на основе так называемойадекватной математической модели,которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция- прямаяˆy_t = a₀ + a₁t,

где a₀, a₁- параметры уравнения:_t- время;

показательная функция ˆy_t = a₀a₁^t

степенная функция- кривая второго порядка (парабола)

ˆy_t = a₀ + a₁t + a₁t².

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов,в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:

где ˆy_t- выравненные (расчетные) уровни;y_i- фактические уровни. Параметры уравненияa_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решениемсистемы нормальных уравнений.На основе найденного уравнения тренда вычисляются

132

выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровнейy_i, плавно изменяющимися уровнямиˆy_t,наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

• Выравнивание по прямойиспользуется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

• Выравнивание по показательной функциииспользуется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим "технику" выравнивания ряда динамики по прямой:ˆy_t = a₀ + a₁tПараметрыa₀ , a₁t согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующейсистемы нормальных уравнений,полученной путем алгебраического преобразования условия (7.17):

где у- фактические (эмпирические) уровни ряда;t- время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t= 0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t - условного обозначения временибудут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

При нечетном числе уровней (например, 7) значения устанавливаются по-другому:

В обоих случаях ∑t= 0 , так что система нормальных уравнений (7.18) принимает вид:

133

Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл. 7.9, расчетные значения - табл. 7.10) выравнивание ряда динамики по прямой.

Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель - уравнение прямой: ˆy_t = a₀ + a₁t. В нашем примереn=10 - четное число.

Параметры a₀иa₁искомого уравнения прямой исчислим по формулам (7.20) и (7.21).

Таблица 7.10

Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур

134

Из табл. 7.10 находим

        ∑ˆy_t= 153,4;∑yt= 6,8;∑t²= 330,

откуда

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровниˆy_t.

Если расчеты выполнены правильно, то ∑y=∑ˆy_t. В нашем примере∑y=∑ˆy_t= 153,4. Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на a₁= 0,021 ц/га в год.

Фактические и расчетные значения урожайности зерновых культур представлены в виде графика (см. рис. 7.4).

Рис.7.4. Уровни урожайности зерновых культур:

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию,на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.

135

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой

ŷ_t= 15,34 + 0,021t

136