Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Информатика / inf-ka_shpory.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
642.56 Кб
Скачать

10) Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные полиномы.

Интерполяция – частный случай аппроксимации. Решение задачи интерполирования заключается в:

1)построении интерполирующей ф-ции

2)вычислении значений таблично заданной ф-ции с пом. интерполирующей ф-ции в точках, отличных от узлов интерполяции. При этом если аргумент лежит вне отрезка наблюдения, то это экстраполяция.

Пусть дана f(х), уi = f(хi), i=0..n. Найдем ф-ю φ(х). Критерии: φ(хi)=уi – интерполяционная.

Выберем полином степени не выше n. И покажем, что в такой постановке задача им. единств реш-е. Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn

Pn(x)= уi i=0..n

a0 + a1x0 + a2x02 + ... anx0n = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + ... anx1n = y1

. . . . .. . . . . . . . . . .

a0 + a1xn + a2xn2 + ... anxnn = yn

xi ≠ xj (попарно различны) при i≠j Определитель Вандермонда.

Система имеет единст решение, след-но, задача может иметь единст решение. Задача интерполяции свелась к решению системы ур-ий. Интерполяцию используют, когда известно, что погрешности очень малы и ф-я f принадл. классу полиномов степени ≤ n.

Интерполяционный полином Лагранжа.

Ln (x) = , гдеPi(x) – вспомогат полиномы степени не выше n, уд условию

Pi(xj)= 0, i≠j

1, i=j (1)

Покажем, что удовл-ет критерию интерполяции.

Расс-рим Ln(xj) = . В соответствии со св-вом (1), все полиномы, кроме с индексомj, равны 0.

Pi(x) =

P0(x) = (x – x1) ... (x – xn)

P1(x) = (x – x0) (x – x2) ... (x – xn)

P1(xj)=0.

Коэфф-т определим из 2ой части усл-я (1). Pi(xi)=1.

=1 

Аi =

Pi(x) =  Ln(x)=

Погрешность интерполяц. полиномов R(x) = *

Для интерполирования в начале отрезка применяется 1я интерп ф-ла Ньютона.

P1n(x) = y0+ ,

x € [x0, x1]

Когда агрумент нах-ся в конце отрезка инт-ции, применять 1ю ф-лу невыгодно. Тогда используется 2я интерп ф-ла, подкулючающая узлы в обратн порядке от последнего к первому.

P2n(x) = yn+ , x € [xn-1, xn]

11) Численное интегрирование. Квадратурные формулы.

Нужно вычислить f(x)dx. Есть интегралы, к-ые нельзя вычислить за конечное число шагов. Во многих случаях достаточно вычислить приблизительно.

Идея:

1) замена непрерывного мн-ва значений отрезка интегрирования дискретным мн-вом

f(x)dxSi

2) упрощаем подынтегральную ф-ию так, чтобы легко вычислить элементарную ф-ую Si. В результате получаем формулу, к-ая сводит задачу интегрирования к суммированию.

- формула Ньютона - Котеса, где

Метод трапеций.

Исп-ся полином Лагранжа 1 степени.

n=1. два узла интерполяции совпадают с границей интегрирования.

Н0=1/2

Н1=1/2

- формула трапеции

Ошибка метода: E<(h2/12)(b-a)M

M=f(), [a,b]

Суть метода: интервал [a,b] разбивают на мн-во подынтервалов и в каждом вычисляют свой интеграл, потом суммируют.

Метод Симсона (парабол)

n=2-кол-во разбиений.

Коэф-ты Котеса:

H0=1/6

H1=2/3

H2=1/6

- формула Симсона

ошибка метода: ,h=x1-x0

Метод Монте-Карло

При вычислении многократных интегралов, рассм-мая методика приводит к большим вычислительным затратам.

Суть метода: интеграл вычисляется: I=yср, yср- среднее значение функции в многомерной области интегрирования. Нек-ый многомерный объем области интегрирования.

Для опр-ния уср случайным образом задаются тоже многомерные абсциссы в области интегрирования, тогда для этих абсцисс и ординат получаем:

уср=1/nMi

n- кол-во случайных опытов

Mi- ордината в многомерном пространстве

f(x)- ф-ия; xi=a+(b-a)RND(1)- получаем случайные абсциссы, для них вычисляем yi:

yср=1/nf(xi):

f(x)dx(b-a)ycр

Чем больше величина n, тем точнее.

Соседние файлы в папке Информатика