Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4660 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский технический университет связи и информатики
Предмет:
Теоретические основы электротехники
Файл:

TETs_Sobolev

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
27.05.2023
Размер:
23.29 Mб
Скачать
☆

480 Г л а в а 10

поэтому этот режим называется режимом бегущей волны. Сдвиг фазы между током и напряжением равен нулю, поэтому данный режим обеспечивает наилучшие условия для передачи активной мощности (P = UI cos 0 = UI).

10.2.2.5. Рассмотрим согласованную на входе (Zв = Rи) и несогласованную на выходе (Rн ≠ Zв) линию без потерь ( = 0, = j ,

Zв = Zв) при 0 < Rн < 1.

В этом режиме

 

 

 

 

Zн

Zв

 

 

 

Rн

Zв

 

n2 =

Zн + Zв

 

=

Rн

+ Zв

 

< 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, n2 = A2=A1

< 1, откуда

A

2 < A1, т. е. амплитуда отраж-

ённой волны меньше амплитуды падающей волны. Следовательно, узлов напряжения нет, так как нет полной компенсации падающей и отражённой волн, но имеют место минимумы. Нет точного удвоения

 

 

амплитуды в пучностях, но наб-

 

 

людаются максимумы. Распре-

 

 

деление амплитуд напряжения

 

 

вдоль линии представлено на

 

 

рис. 10.18.

Максимумы и ми-

 

 

нимумы вычисляются так:

Рис. 10.18. Распределение ампли-

Umax = A1

+ A2 = A1(1 + n2);

туд гармонического напряжения в

Umin = A1

A2 = A1(1 n2):

линии без потерь при 0 < Rн < 1

Этот режим называют режимом смешанных волн.

Используют понятия коэффициент бегущей волны и коэффициент стоячей волны:

Kбв =

Umin

=

1

n2

;

Kсв =

Umax

=

1 + n2

=

1

:

 

1

+ n2

 

1 n2

 

 

Umax

 

 

Umin

 

Kбв

Коэффициент бегущей волны характеризует долю бегущих волн в общем потоке и, следовательно, степень согласования.

10.2.2.6. Выясним зависимость входного сопротивления линии без потерь от её длины в режимах короткого замыкания и холостого хода.

Из (10.20) и (10.21) в режиме КЗ имеем

 

U(y)

jI2Zв sin( y)

Zвх КЗ =

 

=

 

 

= jZв tg( y) = jхвх = jXвх КЗ:

 

I

 

 

I(y)

2 cos( y)

Найдём координату первого разрыва. У тангенса он имеет место при аргументе y1 = =2, откуда y1 = =(2 ) = =(2 2 = ) = =4.

 

Из (10.24) и (10.25) в режиме ХХ имеем

 

 

U(y)

U2 cos( y)

Z

вх ХХ =

 

=

 

 

 

 

= jZв ctg( y) = jхвх = jXвх ХХ:

 

 

U

2

 

 

 

I(y)

j

sin( y)

 

 

 

 

Zв

 

 

 

 

 

 

 

Цепи с распределёнными параметрами

481

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10.19. Зависимость входно-

Рис. 10.20. Зависимость входно-

го сопротивления линии без по-

го сопротивления линии без по-

терь от её длины в режиме КЗ

терь от её длины в режиме ХХ

Найдём координаты первого и второго разрывов. У котангенса они имеют место при значениях аргумент y1 = 0 и y2 = , откуда y1 = 0 и y2 = = = =(2 = ) = =2.

Из окончательных выражений для Zвх КЗ и Zвх ХХ следует, что входное сопротивление линии без потерь в рассматриваемых режимах является реактивным. Соответствующие графики приведены на рис. 10.19 и 10.20. Характер входного сопротивления зависит от длины линии. Например, разомкнутая на конце линия длиной от 0 до=4 имеет входное сопротивление емкостного характера, так как в этом диапазоне длин волн Xвх ХХ < 0. Линия длиной l = =4 имеет входное сопротивление, равное нулю; она эквивалентна идеальному последовательному колебательному контуру. Линия длиной от=4 до =2 имеет входное сопротивление индуктивного характера, так как в этом диапазоне длин волн Xвх ХХ > 0. Линия длиной l = =2 имеет бесконечно большое входное сопротивление; она эквивалентна идеальному параллельному колебательному контуру. Резонаторы на отрезках длинных линий используются в технике СВЧ.

10.2.2.7. Входное сопротивление линии без потерь в режиме согласованной нагрузки не зависит от длины линии и равно волновому сопротивлению. Действительно, из (10.26) и (10.27) следует, что

Zвх согл =

U(y)

=

U2ej y

=

U2

= Zн = Zв:

I(y)

 

I2ej y

I2

10.2.3. Задание для предварительного расчёта

10.2.3.1. Рассчитать волновые сопротивления двух линий, имеющих следующие первичные параметры:

а) R0 = 0, L0 = 10 мГн/км, G0 = 0, C0 = 10 нФ/км;

482

Г л а в а 10

б) R0 = 0, L0 = 0;1 мГн/км, G0 = 0, C0 = 10 нФ/км.

10.2.3.2.Определить, с какой из линий, описанных в предыдущем пункте, согласована нагрузка Rн = 1 кОм.

10.2.3.3.Определить значение коэффициента отражения от конца каждой из линий, описанных в п. 10.2.3.1, при Rн = 1 кОм.

10.2.3.4.Определить значение коэффициента бегущей волны для линий, описанных в п. 10.2.3.1 при Rн = 1 кОм, а также для линии, распределение значений амплитуд в которой изображено на рис. 10.18.

10.2.4. Вопросы для самопроверки

1.В каком случае образуются пучности и узлы напряжения или тока в длинной линии?

2.Что такое режим стоячих волн?

3.Чем отличаются друг от друга распределения амплитуд напряжения вдоль согласованной на входе длинной линии без потерь в режиме короткого замыкания и в режиме холостого хода?

5.Передаётся ли активная мощность в режиме стоячих волн?

6.Как обеспечить условия наилучшей передачи активной мощ-

ности?

7.В каком случае линия и нагрузка не согласованы?

8.Что такое режим бегущей волны, и в каком случае он имеет место?

9.Чем отличаются друг от друга распределения амплитуд напряжения вдоль согласованной на входе длинной линии в режимах стоячей и бегущей волны?

10.Как рассчитываются коэффициенты бегущей и стоячей вол-

ны?

10.2.5. Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере

10.2.5.1.Исследовать распределения мгновенных значений напряжений и токов вдоль длинной линии без потерь в режимах КЗ и

ХХв различные моменты времени.

10.2.5.2.Исследовать распределение значений амплитуд напряжения и тока вдоль длинной линии без потерь, нагруженной на резистивное сопротивление, при разных значениях коэффициента отражения от конца.

10.2.5.3.Исследовать зависимость входного сопротивления линии без потерь в режимах КЗ и ХХ от её длины.

10.2.6. Порядок выполнения экспериментов

10.2.6.1. Получить с использованием системы Mathcad и занести в отчёт трёхмерные графики зависимостей значений мгновенного напряжения u(y; t) и мгновенного тока i(y; t), а также амплитуды

Цепи с распределёнными параметрами

483

напряжения Um(y; t) для согласованной на входе длинной линии без потерь в режиме короткого замыкания при Zв = 500 Ом, = 0 + j1

и гармоническом напряжении на входе. На основании полученных результатов сделать выводы о наличии и расположении узлов и пучностей напряжения и тока.

10.2.6.2.Получить и занести в отчёт графики распределения значений амплитуд напряжения Um(y) и тока Im(y), вдоль упомянутой

вп. 10.2.6.1 длинной линии при разных значениях вещественного коэффициента отражения n2 (т. е. при различных значениях сопротивления резистивной нагрузки). Определить значения коэффициента бегущей волны для всех исследованных случаев.

10.2.6.3.Получить и занести в отчёт графики зависимостей входного сопротивления упомянутой в п. 10.2.6.1 линии от её длины в режимах КЗ и ХХ.

10.2.6.4.Повторить эксперименты, описанные в пп. 10.2.6.1 и 10.2.6.2, для линии, работающей в режиме холостого хода.

10.2.7. Методические указания

10.2.7.1. При выполнении п. 10.2.6.1 целесообразно выбрать диапазоны изменения независимых переменных исходя из следующих требований: y 2 [0;30], t 2 [0;80]. Указанные диапазоны являются условными, так как при построении трёхмерных фигур в силу специфики системы Mathcad и из соображений наглядности приходится прибегать к масштабированию. Рекомендуется поворачивать получаемые трёхмерные фигуры так, чтобы ось y была направлена влево с наклоном вниз. Удобно пользоваться следующей программой:

10.2.7.2. При выполнении п. 10.2.6.2 рекомендуется устанавливать следующие значения коэффициента отражения n2: 1; 0,75; 0,5; 0,25; 0 (последнее значение соответствует режиму бегущей волны). Положительное направление оси y целесообразно ориентировать влево. Диапазоны для независимой переменной и амплитуд напряжения и тока следует установить исходя из следующих требований:

И только в этом случае.

484

Г л а в а 10

y 2 [0; 10], Um(y) 2 [0; 2], Im(y) 2 [0; 0:004]. Удобно пользоваться следующей программой:

10.2.7.3. При выполнении п. 10.2.6.3 положительное направление оси y целесообразно ориентировать влево. Диапазоны для независимой переменной и входных сопротивлений следует выбирать исходя из следующих требований: y 2 [0; 10], ZK3(y) 2 [ 4000; 4000], ZXX(y) 2 [ 4000; 4000]. Удобно пользоваться следующей программой:

10.2.7.4. Перед выполнением п. 10.2.6.4 следует поменять в соответствующих программах знаки вторых слагаемых в выражениях Uc(y,t) и Ic(y,t) на противоположные.

10.2.8. Графики

В результате выполнения экспериментальной части работы должны быть получены графики, представленные на рис. 10.21–10.23.

Цепи с распределёнными параметрами

485

Рис. 10.21. Зависимости, полученные по заданию в п. 10.2.6.1

486

Г л а в а 10

Рис. 10.22. Зависимости, полученные по заданию в п. 10.2.6.2

Цепи с распределёнными параметрами

487

Рис. 10.23. Зависимости, полученные по заданию в п. 10.2.6.3

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

При ручном расчёте переходных процессов можно избежать подчас трудоёмкого приведения операторного выражения к табличному виду. Получить оригинал функции f(t) по её операторному изображению F (p) можно с помощью формулы разложения. Если изображение является дробно-рациональной функцией

F (p) = Fч(p); Fз(p)

где

Fч(p) = ampm + am 1pm 1 + ::: + a1p + a0;

Fз(p) = bnpn + bn 1pn 1 + ::: + b1p + b0;

причём порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя (т. е. m < n), а a и b — действительные числа, то оригинал можно найти по формуле

K

Fч(pk) p t

 

 

∑

 

 

 

(П:1)

f(t) =

 

e k

;

k=1

Fз′(pk)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где pk — k-й корень уравнения Fз(p) = 0; Fч(pk) и Fз′(pk) — полином числителя и производная полинома знаменателя, в которые подставлен k-й корень знаменателя pk; K — количество корней.

Пример. Рассчитать переходный процесс в цепи, представленной на рис. 4.18 (см. п. 4.2.2.2).

Решение. Операторная эквивалентная схема цепи после коммутации приведена на рис. П.1. Система операторных уравнений, описывающих переходный процесс, имеет вид

8 E

(p) =

E

>

I1

I2(p) + I3(p);

<

 

 

 

 

 

 

>

 

 

+ L

 

 

= R1I1(p) + (R2 + pL)I2(p);

 

 

 

 

> p

 

R1 + R2

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

+ pL)I2(p) R3I3(p):

>0 = (R2

Приложения

489

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. П.1. Операторная схема цепи, представленной на рис. 4.18

После подстановки числовых значений, заданных в п. 4.2.2.2, имеем

 

>

I1(p) = I2(p) + I3(p);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

30

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

+ 0;2

 

 

 

 

 

 

= 10I1(p) + (10 + p

 

0;2)I2(p);

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

10 + 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

0 = (10 + p 0;2)I2(p)

 

 

15I3(p):

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

этой системы уравнений являются следующие выражения

Решением >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для операторных токов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1(p) =

 

 

2;1p + 150

;

I2(p) =

 

1;5p + 90

; I3(p) =

0;6p + 60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

p(p + 80)

 

p(p + 80)

p(p + 80)

Корни знаменателей: p1 = 0; p2

=

 

80.

 

 

 

 

 

 

Производная знаменателя описывается выражением Fз′(p) = 2p +

+ 80.

Следовательно, согласно (П.1) оригиналы токов определяют-

ся так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1(t) =

2;1 0 + 150

e0t +

 

2;1(

 

80) + 150

e 80t

= 1;875 + 0;225e t=0;0125 А;

2 0 + 80

 

2(

80) + 80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2(t) =

1;5 0 + 90

e0t

+

1;5(

 

80) + 90

e

80t = 1;125 + 0;375e

t=0;0125 А;

2 0 + 80

 

80) + 80

 

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

i3(t) =

0;6 0 + 60

e0t

+

0;6(

 

80) + 60

e

80t = 0;750

0;150e

t=0;0125 А:

2 0 + 80

 

80) + 80

 

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видим, выражения для токов, полученные по формуле разложения, совпадают с выражениями, рассчитанными ранее в п. 4.2.2.2 классическим методом.

Приложение 2

В процессе составления и преобразования операторных выражений удобно пользоваться основными теоремами операционного исчисления. Пусть f(t) F (p), тогда справедливы следующие положения.

Теорема линейности. Сумма взвешенных оригиналов соответ-

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности