TETs_Sobolev

рис. 10.2, имеем

Взаимно уничтожая u, перенося du в левую часть и деля обе части уравнения на dx, получаем второе телеграфное уравнение:

Пара выведенных телеграфных уравнений (10.1) и (10.2) позволяет определить ток и напряжение в любой точке линии в любой момент времени.

Система соответствующих уравнений относительно конца линии (т. е. выраженных через координату y, а не x ) имеет вид

>

:

10.1.2.3. Решим эти уравнения при гармоническом сигнале в установившемся режиме. Для этого сначала вместо мгновенных значений u и i подставим комплексные выражения Um(y)ej!t и Im(y)ej!t, где Um(y) и Im(y) являются комплексными амплитудами, а множитель ej!t свидетельствует о гармоническом характере изменения сигналов во времени:

зависит только от y, поэтому вместо частных производных пишем обычные производные:

8

> dIm(y)

>

< dy

y = l x, где l — длина линии, поэтому @y = @(l x) = @l @x = 0 @x = @x.

Получилась система уравнений для комплексных значений тока и напряжения. Вынесем за скобки в правых частях уравнений величины Um(y) и Im(y):

Продифференцируем первое уравнение по y и вместо подставим соответствующее выражение из второго уравнения:

d2Im2(y) = (R0 + j!L0)(G0 + j!C0)Im(y): dy

Аналогично можно получить

d2Um(y) = (R0 + j!L0)(G0 + j!C0)Um(y): dy2

Введём обозначение

√

= (R0 + j!L0)(G0 + j!C0) = + j

иназовём — постоянной распространения. Тогда уравнения (10.4)

и(10.5) примут вид:

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: p2 = 2. Его корни p1;2 = . Следовательно, решение уравнения (10.8)

где Zв — волновое сопротивление; A1 и A2 — те же самые постоянные интегрирования, что и в решении уравнения (10.8).

Волновое сопротивление связано с первичными параметрами ли-

зываются вторичными параметрами линии. Они характеризуют линию, как среду распространения сигналов. Из (10.9) имеем

Um(y) = A1e y + A2e y = A1e( +j )y + A2e ( +j )y =

=A1e yej y + A2e ye j y

—это выражение комплексного напряжения.

Перейдём к выражению для мгновенных значений. Для этого умножим Um(y) на оператор поворота ej!t и выделим из полученного комплексного выражения вещественную часть проектированием вращающегося вектора на горизонтальную ось. В результате получим

u(y; t) = A1e y cos(!t + y + 1) + A2e y cos(!t y + 2): (10:12)

Как видим, входит в показатели экспонент, вызывая изменение амплитуды гармонического колебания с изменением координаты y, и поэтому называется коэффициентом ослабления. Величина входит в аргумент косинуса, вызывая изменение фазы колебания с изменением координаты y, и поэтому называется коэффициентом фазы, или фазовой постоянной. Другими словами, характеризует ослабление, а характеризует изменение фазы колебания при прохождении сигнала через участок линии единичной длины.

Учитывая чётность косинуса, можно переписать выражение (10.12) следующим образом:

u(y; t) = A1e y cos( y+!t+ 1)+A2e ycos( y !t 2) = uпад +uотр:

Здесь первое слагаемое описывает падающую (прямую) волну, изображённую на рис. 10.3,a, а второе — отражённую (обратную) волну, изображённую на рис. 10.3,b . Действительно, с течением времени увеличение аргумента первого косинуса сдвигает график первого слагаемого к началу координат, т. е. к концу линии, а уменьшение аргумента второго косинуса с течением времени сдвигает график второго слагаемого от начала координат, т. е. от конца линии.

10.1.2.4. Выясним, с какой скоростью распространяется волна вдоль линии. Для этого достаточно проследить за скоростью переме-

Аналогично можно получить выражение для мгновенных значений то-

Графики построены в разных масштабах по оси ординат.

Рис. 10.3. Падающая и отражённая волны в длинной линии

щения точки постоянной фазы, например, гребня (т. е. одного из её максимумов). Фаза колебания прямой волны описывается выражени-

Фазовая скорость — это скорость, с которой распространяется вдоль линии гармонический сигнал одной конкретной частоты. Скорости распространения сигналов разных частот в общем случае различны.

10.1.2.5. В точке неоднородности среды распространения (т. е. в точке изменении её свойств), например в конце линии при Zн ≠ Zв происходит отражение сигнала. Коэффициент отражения определяется отношением комплексной амплитуды отражённой волны к ком-

Определить постоянные интегрирования A1 и A2 можно, исходя из граничных условий, т. е. из значений тока и напряжения в конце или в начале линии. В конце линии y = 0 и Zн = Um2=Im2, где Um2 и

464 Г л а в а 10

Im2 — напряжение и ток, а Zн — сопротивление нагрузки. Подставив

в уравнения (10.9) и (10.10) значение координаты y = 0, получим

{

Итак, значение коэффициента отражения определяется в данном случае только значением волнового сопротивления линии и значением сопротивления нагрузки. В режиме согласованной нагрузки, т. е. при Zн = Zв, коэффициент отражения равен нулю, т. е. отражённая волна отсутствует. При Zн ≠ Zв отражённая волна существует. Несложно рассчитать значение коэффициента отражения от конца линии в режимах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) (табл. 10.1).

В этих режимах коэффициент отражения вещественный. В общем слу-

больше амплитуды падающей волны. Комплексный характер коэффициента n2 свидетельствует об изменении фазы волны при её отражении. В режиме КЗ фаза волны изменяется на 180◦, в режиме ХХ фаза волны не изменяется.

Аналогично определяется коэффициент отражения обратной волны от начала линии:

где Zи — внутреннее сопротивление источника.

Отражения возникают при любых неоднородностях, в частности в местах соединения отдельных участков составной линии, имеющих

Рис. 10.4. Волны в линии при разных значениях коэффициентов отражения

волновые сопротивления, разной величины. На рис. 10.4 стрелками обозначены падающие и отражённые волны, возникающие при различных сочетаниях значений Zи, Zн и Zв. Для последнего случая на рис. 10.5 приведены графики распределения мгновенных значений напряжения отдельных волн, распространяющихся по линии. Мгновенные значения напряжений в любом сечении линии является суммой соответствующих мгновенных значений напряжений этих волн.

Наличие отражений искажает передаваемый сигнал, так как он сопровождается эхом, состоящим из отстающих во времени копий сигнала с изменёнными обычно амплитудами и фазами его спектральных составляющих. Для исключения отрицательного влияния отражений или свед´ения его к приемлемому минимуму используют отрезки линий (без потерь) в виде согласующих четвертьволновых трансформаторов или в виде параллельных короткозамкнутых шлейфов.

10.1.2.6. Рассмотрим другую причину возможных искажений передаваемого сигнала. Она кроется в искажении его комплексного